Супералгебра Ли

Algebraic structure used in theoretical physics

В математике супералгебра Ли является обобщением алгебры Ли , включающим градуировку . Супералгебры Ли играют важную роль в теоретической физике , где они используются для описания математики суперсимметрии . ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$

Используемое здесь понятие градуировки отличается от второй градуировки, имеющей когомологическое происхождение. Градуированная алгебра Ли (скажем, градуированная или ), которая является антикоммутативной и имеет градуированное тождество Якоби, также имеет градуировку; это «свертывание» алгебры на нечетные и четные части. Такое свертывание обычно не называют «супер». Таким образом, суперградуированные супералгебры Ли несут пару ‑градаций : одна из которых суперсимметрична, а другая — классическая. Пьер Делинь называет суперсимметричную суперградацией , а классическую — когомологической градацией . Эти две градации должны быть совместимыми, и часто возникают разногласия относительно того, как их следует рассматривать. ^[1] ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$

Определение

Формально супералгебра Ли — это неассоциативная Z ₂ - градуированная алгебра или супералгебра над коммутативным кольцом (обычно R или C ), чей продукт [·, ·], называемый суперскобкой Ли или суперкоммутатором , удовлетворяет двум условиям (аналогам обычные аксиомы алгебры Ли с градуировкой):

Супер кососимметрия:

${\displaystyle [x,y]=-(-1)^{|x||y|}[y,x].\ }$

Тождество Супер Якоби: ^[2]

${\displaystyle (-1)^{|x||z|}[x,[y,z]]+(-1)^{|y||x|}[y,[z,x]]+(-1)^{|z||y|}[z,[x,y]]=0,}$

где x , y и z являются чистыми в Z ₂ -градуации. Здесь, | х | обозначает степень x (0 или 1). Степень [x,y] — это сумма степеней x и y по модулю 2.

Иногда добавляют также аксиомы для | х | = 0 (если 2 обратимо, это следует автоматически) и для | х | = 1 (если 3 обратимо, это следует автоматически). Когда основное кольцо представляет собой целые числа или супералгебра Ли является свободным модулем, эти условия эквивалентны условию выполнения теоремы Пуанкаре – Биркгофа – Витта (и, вообще говоря, они являются необходимыми условиями для выполнения теоремы). ${\displaystyle [x,x]=0}$ ${\displaystyle [[x,x],x]=0}$

Как и в случае с алгебрами Ли, универсальной обертывающей алгебре супералгебры Ли можно придать структуру алгебры Хопфа .

Комментарии

Супералгебры Ли проявляются в физике по-разному. В традиционной суперсимметрии четные элементы супералгебры соответствуют бозонам , а нечетные элементы — фермионам . Это соответствует скобке с нулевой оценкой:

${\displaystyle |[a,b]|=|a|+|b|}$

Это не всегда так; например, в BRST-суперсимметрии и в формализме Баталина – Вилковиского все наоборот, что соответствует скобке наличия градуировки -1:

${\displaystyle |[a,b]|=|a|+|b|-1}$

Это различие становится особенно актуальным, когда алгебра имеет не одно, а два градуированных ассоциативных произведения . Помимо скобки Ли, может существовать и «обычное» произведение, что дает начало супералгебре Пуассона и алгебре Герстенхабера . Подобные градуировки наблюдаются и в теории деформаций .

Характеристики

Пусть – супералгебра Ли. Изучая тождество Якоби, можно увидеть, что существует восемь случаев в зависимости от того, являются ли аргументы четными или нечетными. Они делятся на четыре класса, индексированные по количеству нечетных элементов: ^[3] ${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {g}}_{0}\oplus {\mathfrak {g}}_{1}}$

1. Никаких лишних элементов. Утверждение просто, что это обычная алгебра Ли. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}}$
2. Один странный элемент. Тогда это -модуль для действия . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{1}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}}$ ${\displaystyle \mathrm {ad} _{a}:b\rightarrow [a,b],\quad a\in {\mathfrak {g}}_{0},\quad b,[a,b]\in {\mathfrak {g}}_{1}}$
3. Два странных элемента. Тождество Якоби утверждает, что скобка является симметричным -отображением. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{1}\otimes {\mathfrak {g}}_{1}\rightarrow {\mathfrak {g}}_{0}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{1}}$
4. Три странных элемента. Для всех , . ${\displaystyle b\in {\mathfrak {g}}_{1}}$ ${\displaystyle [b,[b,b]]=0}$

Таким образом, четная подалгебра супералгебры Ли образует (нормальную) алгебру Ли, когда все знаки исчезают, а суперскобка становится нормальной скобкой Ли, в то время как является линейным представлением , и существует симметрично - эквивариантное линейное отображение такое, что ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{1}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}}$ ${\displaystyle \{\cdot ,\cdot \}:{\mathfrak {g}}_{1}\otimes {\mathfrak {g}}_{1}\rightarrow {\mathfrak {g}}_{0}}$

${\displaystyle [\left\{x,y\right\},z]+[\left\{y,z\right\},x]+[\left\{z,x\right\},y]=0,\quad x,y,z\in {\mathfrak {g}}_{1}.}$

Условия (1)–(3) линейны и все их можно понять в терминах обычных алгебр Ли. Условие (4) является нелинейным и его труднее всего проверить при построении супералгебры Ли, исходя из обычной алгебры Ли ( ) и представления ( ). ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{1}}$

Инволюция

A ^∗ Супералгебра Ли — это комплексная супералгебра Ли, оснащенная инволютивным антилинейным отображением самой себя в себя, которая соблюдает градуировку Z ₂ и удовлетворяет условию [ x , y ] ^*  = [ y ^* , x ^* ] для всех x и y в супералгебре Ли . (Некоторые авторы предпочитают соглашение [ x , y ] ^*  = (−1) ^{| x || y |} [ y ^* , x ^* ]; замена * на −* переключает между двумя соглашениями.) Его универсальная обертывающая алгебра была бы обычная ^* -алгебра .

Примеры

Для любой ассоциативной супералгебры можно определить суперкоммутатор на однородных элементах формулой ${\displaystyle A}$

${\displaystyle [x,y]=xy-(-1)^{|x||y|}yx\ }$

а затем распространяется по линейности на все элементы. Тогда алгебра вместе с суперкоммутатором становится супералгеброй Ли. Самый простой пример этой процедуры, возможно, - это когда пространство всех линейных функций супервекторного пространства обращено к самому себе. Когда это пространство обозначается или . ^[4] С помощью скобки Ли, указанной выше, пространство обозначается . ^[5] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbf {End} (V)}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V=\mathbb {K} ^{p|q}}$ ${\displaystyle M^{p|q}}$ ${\displaystyle M(p|q)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(p|q)}$

Алгебра Пуассона — это ассоциативная алгебра вместе со скобкой Ли. Если алгебре задана Z ₂ -градуировка, такая, что скобка Ли становится суперскобкой Ли, то получается супералгебра Пуассона . Если, кроме того, ассоциативное произведение сделать суперкоммутативным , то получится суперкоммутативная супералгебра Пуассона.

Произведение Уайтхеда на гомотопических группах дает множество примеров супералгебр Ли над целыми числами.

Супер -Алгебра Пуанкаре порождает изометрии плоского суперпространства .

Классификация

Простые комплексные конечномерные супералгебры Ли были классифицированы Виктором Кацем .

Это (исключая алгебры Ли): ^[6]

Специальная линейная супералгебра Ли . ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(m|n)}$

Супералгебра Ли — это подалгебра, состоящая из матриц с нулевым суперследом. Это просто, когда . Если , то единичная матрица порождает идеал. Факторирование этого идеала приводит к тому, что просто для . ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(m|n)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(m|n)}$ ${\displaystyle m\not =n}$ ${\displaystyle m=n}$ ${\displaystyle I_{2m}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(m|m)/\langle I_{2m}\rangle }$ ${\displaystyle m\geq 2}$

Ортосимплектическая супералгебра Ли . ${\displaystyle {\mathfrak {osp}}(m|2n)}$

Рассмотрим четную невырожденную суперсимметричную билинейную форму на . Тогда ортосимплектическая супералгебра Ли является подалгеброй, состоящей из матриц, которые оставляют эту форму инвариантной: ее четная часть определяется выражением . ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{m|2n}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(m|2n)}$ $${\displaystyle {\mathfrak {osp}}(m|2n)=\{X\in {\mathfrak {gl}}(m|2n)\mid \langle Xu,v\rangle +(-1)^{|X||u|}\langle u,Xv\rangle =0{\text{ for all }}u,v\in \mathbb {C} ^{m|2n}\}.}$$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(m)\oplus {\mathfrak {sp}}(2n)}$

Исключительная супералгебра Ли . ${\displaystyle D(2,1;\alpha )}$

Существует семейство (9∣8)-мерных супералгебр Ли, зависящее от параметра . Это деформации . Если и , то D(2,1,α) проста. Более того , если и находятся на одной орбите при отображениях и . ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle D(2,1)={\mathfrak {osp}}(4|2)}$ ${\displaystyle \alpha \not =0}$ ${\displaystyle \alpha \not =-1}$ ${\displaystyle D(2,1;\alpha )\cong D(2,1;\beta )}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \alpha \mapsto \alpha ^{-1}}$ ${\displaystyle \alpha \mapsto -1-\alpha }$

Исключительная супералгебра Ли . ${\displaystyle F(4)}$

Он имеет размерность (24|16). Его четная часть определяется выражением . ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2)\oplus {\mathfrak {so}}(7)}$

Исключительная супералгебра Ли . ${\displaystyle G(3)}$

Он имеет размерность (17|14). Его четная часть определяется выражением . ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2)\oplus G_{2}}$

Есть также две так называемые странные серии под названием и . ${\displaystyle {\mathfrak {pe}}(n)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {q}}(n)}$

Типы Картана . Их можно разделить на четыре семейства: , , и . Для простых супералгебр Ли типа Картана нечетная часть уже не полностью приводима под действием четной части. ${\displaystyle W(n)}$ ${\displaystyle S(n)}$ ${\displaystyle {\widetilde {S}}(2n)}$ ${\displaystyle H(n)}$

Классификация бесконечномерных простых линейно компактных супералгебр Ли

Классификация состоит из 10 серий W ( m , n ), S ( m , n ) ((m,n) ≠ (1,1)), H(2m,n) , K (2m + 1, n ) , НО(м, м) ( м ≥ 2), ШО ( м , м ) ( м ≥ 3), КО ( м , м + 1), СКО(м, м + 1; β) ( м ≥ 2), ШО  ~ (2 т , 2 т ), СКО  ~ (2 т + 1, 2 т + 3) и пять исключительных алгебр:

Е(1, 6) , Е(5, 10) , Е(4, 4) , Е(3, 6) , Е(3, 8)

Последние два особенно интересны (по мнению Каца), поскольку в качестве алгебры нулевого уровня они имеют стандартную модельную калибровочную группу SU (3) × SU (2) × U (1). Бесконечномерные (аффинные) супералгебры Ли являются важными симметриями в теории суперструн . В частности, алгебры Вирасоро с суперсимметриями имеют центральные расширения только до . ^[7] ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle K(1,{\mathcal {N}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}=4}$

Теоретико-категорное определение

В теории категорий супералгебру Ли можно определить как неассоциативную супералгебру , произведение которой удовлетворяет условию

• ${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]\circ ({\operatorname {id} }+\tau _{A,A})=0}$
• ${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]\circ ([\cdot ,\cdot ]\otimes {\operatorname {id} }\circ ({\operatorname {id} }+\sigma +\sigma ^{2})=0}$

где σ — циклическое перестановочное переплетение . В схематическом виде: ${\displaystyle ({\operatorname {id} }\otimes \tau _{A,A})\circ (\tau _{A,A}\otimes {\operatorname {id} })}$

Смотрите также

• Алгебра Герстенхабера
• Любая алгебра Ли
• Алгебра Грассмана
• Представление супералгебры Ли.
• Суперпространство
• Супергруппа
• Универсальная обертывающая алгебра

Примечания

1. См. обсуждение этой трудности Делинем.
2. Фройнд 1983, с. 8
3. Варадараджан 2004, с. 89
4. Варадараджан 2004, с. 87
5. Варадараджан 2004, с. 90
6. Ченг С.-Дж. ;Ван В. (2012). Двойственности и представления супералгебр Ли. Провиденс, Род-Айленд. п. 12. ISBN 978-0-8218-9118-6. ОСЛК  809925982.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link) CS1 maint: multiple names: authors list (link)
7. Кац 2010 г.

Рекомендации

• Ченг, С.-Дж.; Ван, В. (2012). Двойственности и представления супералгебр Ли . Аспирантура по математике. Том. 144. стр. 302 стр. ISBN 978-0-8218-9118-6.
• Фройнд, прокурор (1983). Введение в суперсимметрию . Кембриджские монографии по математической физике. Издательство Кембриджского университета . дои : 10.1017/CBO9780511564017. ISBN 978-0521-356-756.
• Грозман П.; Лейтес, Д.; Щепочкина, И. (2005). «Супералгебры Ли теории струн». Acta Mathematica Vietnamica . 26 (2005): 27–63. arXiv : hep-th/9702120 . Бибкод : 1997геп.th....2120G.
• Кац, В.Г. (1977). «Супералгебры Ли». Достижения в математике . 26 (1): 8–96. дои : 10.1016/0001-8708(77)90017-2 .
• Кац, В.Г. (2010). «Классификация бесконечномерных простых групп суперсимметрии и квантовая теория поля». Видения в математике . стр. 162–183. arXiv : математика/9912235 . дои : 10.1007/978-3-0346-0422-2_6. ISBN 978-3-0346-0421-5. S2CID  15597378.
• Манин, Ю.И. (1997). Теория калибровочного поля и сложная геометрия ((2-е изд.) Изд.). Берлин: Шпрингер. ISBN 978-3-540-61378-7.
• Муссон, ИМ (2012). Супералгебры Ли и обертывающие алгебры. Аспирантура по математике . Том. 131. стр. 488 стр. ISBN . 978-0-8218-6867-6.
• Варадараджан, В.С. (2004). Суперсимметрия для математиков: Введение. Курант Конспект лекций по математике. Том. 11. Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-3574-6.

Исторический

• Фрёлихер, А.; Нийенхейс, А. (1956). «Теория векторнозначных дифференциальных форм. Часть I». Indagationes Mathematicae . 59 : 338–350. дои : 10.1016/S1385-7258(56)50046-7..
• Герстенхабер, М. (1963). «Когомологическая структура ассоциативного кольца». Анналы математики . 78 (2): 267–288. дои : 10.2307/1970343. JSTOR  1970343.
• Герстенхабер, М. (1964). «О деформации колец и алгебр». Анналы математики . 79 (1): 59–103. дои : 10.2307/1970484. JSTOR  1970484.
• Милнор, JW ; Мур, Дж. К. (1965). «О строении алгебр Хопфа». Анналы математики . 81 (2): 211–264. дои : 10.2307/1970615. JSTOR  1970615.

Внешние ссылки

• Ирвинг Каплански + Супералгебры Ли