Формула следа Артура–Сельберга

В математике формула следа Артура–Сельберга является обобщением формулы следа Сельберга из группы SL ₂ на произвольные редуктивные группы над глобальными полями , разработанной Джеймсом Артуром в длинной серии статей с 1974 по 2003 год. Она описывает характер представления G ( A ) на дискретной части L²
₀( G ( F )\ G ( A )) группы L ² ( G ( F )\ G ( A )) в терминах геометрических данных, где G — редуктивная алгебраическая группа, определенная над глобальным полем F , а A — кольцо аделей группы F .

Существует несколько различных версий формулы следа. Первая версия представляла собой неуточненную формулу следа , члены которой зависят от операторов усечения и имеют тот недостаток, что они не являются инвариантными. Позже Артур нашел инвариантную формулу следа и стабильную формулу следа , которые больше подходят для приложений. Простая формула следа (Flicker & Kazhdan 1988) менее общая, но ее легче доказать. Локальная формула следа является аналогом над локальными полями. Относительная формула следа Жаке является обобщением, в котором интегрируется функция ядра по недиагональным подгруппам.

Обозначение

• F — это глобальное поле , такое как поле рациональных чисел.
• A — кольцо аделей F.
• G — редуктивная алгебраическая группа, определенная над F.

Компактный корпус

В случае, когда G ( F )\ G ( A ) компактно, представление расщепляется в прямую сумму неприводимых представлений, а формула следа аналогична формуле Фробениуса для характера представления, индуцированного из тривиального представления подгруппы конечного индекса .

В компактном случае, который по существу принадлежит Сельбергу, группы G ( F ) и G ( A ) можно заменить любой дискретной подгруппой Γ локально компактной группы G с Γ \ G компактом. Группа G действует на пространстве функций на Γ\ G правым регулярным представлением R , и это продолжается до действия группового кольца группы G , рассматриваемого как кольцо функций f на G . Характер этого представления задается обобщением формулы Фробениуса следующим образом. Действие функции f на функцию φ на Γ\ G задается формулой

${\displaystyle \displaystyle R(f)(\phi )(x)=\int _{G}f(y)\phi (xy)\,dy=\int _{\Gamma \backslash G}\sum _{\gamma \in \Gamma }f(x^{-1}\gamma y)\phi (y)\,dy.}$

Другими словами, R ( f ) является интегральным оператором в L ² (Γ\ G ) (пространстве функций на Γ\ G ) с ядром

${\displaystyle \displaystyle K_{f}(x,y)=\sum _{\gamma \in \Gamma }f(x^{-1}\gamma y).}$

Следовательно, след R ( f ) определяется выражением

${\displaystyle \displaystyle \operatorname {Tr} (R(f))=\int _{\Gamma \backslash G}K_{f}(x,x)\,dx.}$

Ядро K можно записать как

${\displaystyle K_{f}(x,y)=\sum _{o\in O}K_{o}(x,y)}$

где O — множество классов сопряженности в Γ , а

${\displaystyle K_{o}(x,y)=\sum _{\gamma \in o}f(x^{-1}\gamma y)=\sum _{\delta \in \Gamma _{\gamma }\backslash \Gamma }f(x^{-1}\delta ^{-1}\gamma \delta y)}$

где — элемент класса сопряженности , а — его централизатор в . ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle o}$ ${\displaystyle \Gamma _{\gamma }}$ ${\displaystyle \Gamma }$

С другой стороны, след также дается

${\displaystyle \displaystyle \operatorname {Tr} (R(f))=\sum _{\pi }m(\pi )\operatorname {Tr} (f(\pi ))}$

где — кратность неприводимого унитарного представления в , а — оператор в пространстве , заданный соотношением . ${\displaystyle m(\pi )}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle L^{2}(\Gamma \backslash G)}$ ${\displaystyle f(\pi )}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \int _{G}f(y)\pi (y)dy}$

Примеры

• Если Γ и G оба конечны, формула следа эквивалентна формуле Фробениуса для характера индуцированного представления.
• Если G — группа R действительных чисел, а Γ — подгруппа Z целых чисел, то формула следа становится формулой суммирования Пуассона .

Трудности в некомпактном случае

В большинстве случаев формулы следа Артура–Сельберга частное G ( F )\ G ( A ) не является компактным, что вызывает следующие (тесно связанные) проблемы:

• Представление на L ² ( G ( F )\ G ( A )) содержит не только дискретные компоненты, но и непрерывные компоненты.
• Ядро больше не интегрируемо по диагонали, а операторы R ( f ) больше не являются следовыми.

Артур справился с этими проблемами, усекая ядро ​​в точках возврата таким образом, что усеченное ядро ​​интегрируемо по диагонали. Этот процесс усечения вызывает много проблем; например, усеченные члены больше не инвариантны относительно сопряжения. Манипулируя членами дальше, Артур смог получить инвариантную формулу следа, члены которой инвариантны.

Исходная формула следа Сельберга изучала дискретную подгруппу Γ вещественной группы Ли G ( R ) (обычно SL ₂ ( R ) ). В более высоком ранге удобнее заменить группу Ли адельной группой G ( A ) . Одна из причин этого заключается в том, что дискретную группу можно взять как группу точек G ( F ) для F (глобального) поля, с которым легче работать, чем с дискретными подгруппами групп Ли. Это также упрощает работу с операторами Гекке .

Формула следа в некомпактном случае

Одна из версий формулы следа (Артур, 1983) утверждает равенство двух распределений на G ( A ) :

${\displaystyle \sum _{o\in O}J_{o}^{T}=\sum _{\chi \in X}J_{\chi }^{T}.}$

Левая часть — геометрическая часть формулы следа и представляет собой сумму по классам эквивалентности в группе рациональных точек G ( F ) группы G , тогда как правая часть — спектральная часть формулы следа и представляет собой сумму по некоторым представлениям подгрупп группы G ( A ) .

Распределения

Геометрические термины

Спектральные термины

Формула инвариантного следа

Версия формулы следа выше не особенно проста в использовании на практике, одна из проблем заключается в том, что члены в ней не инвариантны относительно сопряжения. Артур (1981) нашел модификацию, в которой члены инвариантны.

Формула инвариантного следа гласит:

${\displaystyle \sum _{M}{\frac {|W_{0}^{M}|}{|W_{0}^{G}|}}\sum _{\gamma \in (M(Q))}a^{M}(\gamma )I_{M}(\gamma ,f)=\sum _{M}{\frac {|W_{0}^{M}|}{|W_{0}^{G}|}}\int _{\Pi (M)}a^{M}(\pi )I_{M}(\pi ,f)\,d\pi }$

где

• f — тестовая функция на G ( A )
• M пробегает конечное множество рациональных подгрупп Леви группы G
• ( M ( Q )) — множество классов сопряженности M ( Q )
• Π( M ) — множество неприводимых унитарных представлений M ( A )
• a ^M (γ) связано с объемом M ( Q ,γ)\ M ( A ,γ)
• a ^M (π) связано с кратностью неприводимого представления π в L ² ( M ( Q )\ M ( A ))
• ${\displaystyle \displaystyle I_{M}(\gamma ,f)}$ связано с ${\displaystyle \displaystyle \int _{M(A,\gamma )\backslash M(A)}f(x^{-1}\gamma x)\,dx}$
• ${\displaystyle \displaystyle I_{M}(\pi ,f)}$связано со следом ${\displaystyle \displaystyle \int _{M(A)}f(x)\pi (x)\,dx}$
• W ₀ ( M ) — группа Вейля для M .

Стабильная формула следа

Langlands (1983) предположил возможность стабильного уточнения формулы следа, которое может быть использовано для сравнения формулы следа для двух различных групп. Такая стабильная формула следа была найдена и доказана Arthur (2002).

Два элемента группы G ( F ) называются стабильно сопряженными , если они сопряжены над алгебраическим замыканием поля F . Дело в том, что при сравнении элементов в двух разных группах, связанных, например, внутренним скручиванием, обычно не получается хорошего соответствия между классами сопряженности, а только между классами устойчивой сопряженности. Поэтому для сравнения геометрических членов в формулах следа для двух разных групп хотелось бы, чтобы члены были не просто инвариантны относительно сопряженности, но и хорошо вели себя на классах устойчивой сопряженности; они называются устойчивыми распределениями .

Формула стабильного следа записывает члены формулы следа группы G в терминах стабильных распределений. Однако эти стабильные распределения не являются распределениями на группе G , а являются распределениями на семействе квазирасщепленных групп, называемых эндоскопическими группами G. Нестабильные орбитальные интегралы на группе G соответствуют стабильным орбитальным интегралам на ее эндоскопических группах H.

Простая формула следа

Существует несколько простых форм формулы следа, которые ограничивают компактно поддерживаемые тестовые функции f некоторым образом (Flicker & Kazhdan 1988). Преимущество этого в том, что формула следа и ее доказательство становятся намного проще, а недостаток в том, что полученная формула менее мощна.

Например, если функции f являются каспидальны, это означает, что

${\displaystyle \int _{n\in N(A)}f(xny)\,dn=0}$

для любого унипотентного радикала N собственной параболической подгруппы (определенной над F ) и любых x , y из G ( A ) оператор R ( f ) имеет образ в пространстве параболических форм, поэтому он компактен.

Приложения

Жаке и Ленглендс (1970) использовали формулу следа Сельберга для доказательства соответствия Жаке–Ленглендса между автоморфными формами на GL ₂ и его скрученными формами. Формула следа Артура–Сельберга может быть использована для изучения подобных соответствий на группах более высокого ранга. Она также может быть использована для доказательства нескольких других особых случаев функториальности Ленглендса, таких как смена базы, для некоторых групп.

Коттвиц (1988) использовал формулу следа Артура–Сельберга для доказательства гипотезы Вейля о числах Тамагавы .

Лаффорг (2002) описал, как формула следа используется в его доказательстве гипотезы Ленглендса для общих линейных групп над функциональными полями.

Смотрите также

• Форма волны Мааса
• Гармоническая форма Мааса
• Догадки Артура

Ссылки

• Артур, Джеймс (1981), «Формула следа в инвариантной форме», Annals of Mathematics , вторая серия, 114 (1): 1–74, doi :10.2307/1971376, JSTOR  1971376, MR  0625344
• Артур, Джеймс (1983), «Формула следа для редуктивных групп» (PDF) , Конференция по теории автоморфизма (Дижон, 1981) , Publ. Math. Univ. Paris VII, т. 15, Париж: Univ. Paris VII, стр. 1–41, CiteSeerX  10.1.1.207.4897 , doi :10.1007/978-1-4684-6730-7_1, ISBN 978-0-8176-3135-2, МР  0723181
• Артур, Джеймс (2002), «Формула стабильного следа. I. Общие разложения» (PDF) , Журнал Института математики Жюсье , 1 (2): 175–277, doi :10.1017/S1474-748002000051, MR  1954821, архивировано из оригинала (PDF) 2008-05-09
• Артур, Джеймс (2005), «Введение в формулу следа» (PDF) , Гармонический анализ, формула следа и многообразия Шимуры , Clay Math. Proc., т. 4, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , стр. 1–263, MR  2192011, архивировано из оригинала (PDF) 2008-05-09
• Фликер, Юваль З.; Каждан, Дэвид А. (1988), «Простая формула следа», Journal d'Analyse Mathématique , 50 : 189–200, doi : 10.1007/BF02796122
• Гелбарт, Стивен (1996), Лекции по формуле следа Артура-Сельберга , University Lecture Series, т. 9, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , arXiv : math.RT/9505206 , doi :10.1090/ulect/009, ISBN 978-0-8218-0571-8, MR  1410260, S2CID  118372096
• Жаке, Х.; Ленглендс, Роберт П. (1970), Автоморфные формы на GL(2), Lecture Notes in Mathematics, т. 114, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi :10.1007/BFb0058988, ISBN 978-3-540-04903-6, MR  0401654, S2CID  122773458
• Конно, Такуя (2000), «Обзор формулы следа Артура-Сельберга» (PDF) , Surikaisekikenkyusho Kõkyuroku (1173): 243–288, MR  1840082
• Коттвиц, Роберт Э. (1988), «Числа Тамагавы», Ann. of Math. , 2, 127 (3): 629–646, doi :10.2307/2007007, JSTOR  2007007, MR  0942522
• Лабесс, Жан-Пьер (1986), «Формула следов Артура-Зельберга», Asterisque (133): 73–88, MR  0837215
• Ленглендс, Роберт П. (2001), «Формула следа и ее применение: введение в работу Джеймса Артура», Канадский математический вестник , 44 (2): 160–209, doi : 10.4153/CMB-2001-020-8 , ISSN  0008-4395, MR  1827854
• Lafforgue, Laurent (2002), «Chtoucas de Drinfeld, formula des traces d'Arthur-Selberg et conformance de Langlands», Труды Международного конгресса математиков, т. I (Пекин, 2002) , Пекин: Higher Ed. Press, стр. 383–400, MR  1989194
• Ленглендс, Роберт П. (1983), Les débuts d'une Formula des Traces стабильные, Publications Mathématiques de l'Université Paris VII [Математические публикации Парижского университета VII], том. 13, Париж: Парижский университет VII UER de Mathématiques, MR  0697567
• Shokranian, Salahoddin (1992), Формула следа Сельберга-Артура , Lecture Notes in Mathematics, т. 1503, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi :10.1007/BFb0092305, ISBN 978-3-540-55021-1, МР  1176101

Внешние ссылки

• Работы Джеймса Артура Архивировано 2021-05-16 в Wayback Machine в институте Клэя
• Архив собраний сочинений Джеймса Артура на кафедре математики Университета Торонто