Формула Эйлера–Маклорена

Формула суммирования

В математике формула Эйлера–Маклорена — это формула для разности между интегралом и тесно связанной с ним суммой . Она может использоваться для аппроксимации интегралов конечными суммами или, наоборот, для оценки конечных сумм и бесконечных рядов с использованием интегралов и техники исчисления . Например, многие асимптотические разложения выводятся из этой формулы, а формула Фаульхабера для суммы степеней является ее непосредственным следствием.

Формула была открыта независимо Леонардом Эйлером и Колином Маклореном около 1735 года. Эйлеру она была нужна для вычисления медленно сходящихся бесконечных рядов, а Маклорен использовал ее для вычисления интегралов. Позднее она была обобщена до формулы Дарбу .

Формула

Если m и n — натуральные числа , а f ( x ) — непрерывная функция с действительными или комплексными значениями для действительных чисел x в интервале [ m , n ] , то интеграл можно аппроксимировать суммой (или наоборот) (см. метод прямоугольников ). Формула Эйлера–Маклорена дает выражения для разности между суммой и интегралом в терминах высших производных f ^{( k )} ( x ), вычисленных в конечных точках интервала, то есть x = m и x = n . $${\displaystyle I=\int _{m}^{n}f(x)\,dx}$$ $${\displaystyle S=f(m+1)+\cdots +f(n-1)+f(n)}$$

Явно, для положительного целого числа p и функции f ( x ) , которая является p раз непрерывно дифференцируемой на интервале [ m , n ] , мы имеем где B _k — k -е число Бернулли (при этом B ₁ = ⁠ $${\displaystyle S-I=\sum _{k=1}^{p}{{\frac {B_{k}}{k!}}\left(f^{(k-1)}(n)-f^{(k-1)}(m)\right)}+R_{p},}$$1/2⁠ ) ​​и R _p — ошибка , которая зависит от n , m , p и f и обычно мала для подходящих значений p .

Формула часто записывается с индексом, принимающим только четные значения, поскольку нечетные числа Бернулли равны нулю, за исключением B ₁ . В этом случае мы имеем ^{[1] [2]} или, альтернативно, $${\displaystyle \sum _{i=m}^{n}f(i)=\int _{m}^{n}f(x)\,dx+{\frac {f(n)+f(m)}{2}}+\sum _{k=1}^{\left\lfloor {\frac {p}{2}}\right\rfloor }{\frac {B_{2k}}{(2k)!}}\left(f^{(2k-1)}(n)-f^{(2k-1)}(m)\right)+R_{p},}$$ $${\displaystyle \sum _{i=m+1}^{n}f(i)=\int _{m}^{n}f(x)\,dx+{\frac {f(n)-f(m)}{2}}+\sum _{k=1}^{\left\lfloor {\frac {p}{2}}\right\rfloor }{\frac {B_{2k}}{(2k)!}}\left(f^{(2k-1)}(n)-f^{(2k-1)}(m)\right)+R_{p}.}$$

Оставшийся срок

Остаточный член возникает, поскольку интеграл обычно не равен сумме в точности. Формула может быть получена путем применения повторного интегрирования по частям к последовательным интервалам [ r , r + 1] для r = m , m + 1, …, n − 1. Граничные члены в этих интегрированиях приводят к основным членам формулы, а оставшиеся интегралы образуют остаточный член.

Остаточный член имеет точное выражение в терминах периодизированных функций Бернулли P _k ( x ) . Полиномы Бернулли могут быть определены рекурсивно с помощью B ₀ ( x ) = 1 и, для k ≥ 1 , Периодизированные функции Бернулли определяются как где ⌊ x ⌋ обозначает наибольшее целое число, меньшее или равное x , так что x − ⌊ x ⌋ всегда лежит в интервале [0,1) . $${\displaystyle {\begin{aligned}B_{k}'(x)&=kB_{k-1}(x),\\\int _{0}^{1}B_{k}(x)\,dx&=0.\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle P_{k}(x)=B_{k}{\bigl (}x-\lfloor x\rfloor {\bigr )},}$$

При таком обозначении остаточный член R _p равен $${\displaystyle R_{p}=(-1)^{p+1}\int _{m}^{n}f^{(p)}(x){\frac {P_{p}(x)}{p!}}\,dx.}$$

Когда k > 0 , можно показать, что для 0 ≤ x ≤ 1 , где ζ обозначает дзета-функцию Римана ; один из подходов к доказательству этого неравенства состоит в получении ряда Фурье для полиномов B _k ( x ) . Граница достигается для четных k, когда x равен нулю. Член ζ ( k ) может быть опущен для нечетных k, но доказательство в этом случае более сложное (см. Лемер). ^[3] Используя это неравенство, размер остаточного члена можно оценить как $${\displaystyle {\bigl |}B_{k}(x){\bigr |}\leq {\frac {2\cdot k!}{(2\pi )^{k}}}\zeta (k),}$$ $${\displaystyle \left|R_{p}\right|\leq {\frac {2\zeta (p)}{(2\pi )^{p}}}\int _{m}^{n}\left|f^{(p)}(x)\right|\,dx.}$$

Низшие случаи

Числа Бернулли от B ₁ до B ₇ равны ⁠1/2⁠ , ⁠1/6⁠ , 0, − ⁠1/30⁠ , 0, ⁠1/42⁠ , 0. Таким образом, случаи низшего порядка формулы Эйлера–Маклорена следующие: $${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{i=m}^{n}f(i)-\int _{m}^{n}f(x)\,dx&={\frac {f(m)+f(n)}{2}}+\int _{m}^{n}f'(x)P_{1}(x)\,dx\\&={\frac {f(m)+f(n)}{2}}+{\frac {1}{6}}{\frac {f'(n)-f'(m)}{2!}}-\int _{m}^{n}f''(x){\frac {P_{2}(x)}{2!}}\,dx\\&={\frac {f(m)+f(n)}{2}}+{\frac {1}{6}}{\frac {f'(n)-f'(m)}{2!}}+\int _{m}^{n}f'''(x){\frac {P_{3}(x)}{3!}}\,dx\\&={\frac {f(m)+f(n)}{2}}+{\frac {1}{6}}{\frac {f'(n)-f'(m)}{2!}}-{\frac {1}{30}}{\frac {f'''(n)-f'''(m)}{4!}}-\int _{m}^{n}f^{(4)}(x){\frac {P_{4}(x)}{4!}}\,dx\\&={\frac {f(m)+f(n)}{2}}+{\frac {1}{6}}{\frac {f'(n)-f'(m)}{2!}}-{\frac {1}{30}}{\frac {f'''(n)-f'''(m)}{4!}}+\int _{m}^{n}f^{(5)}(x){\frac {P_{5}(x)}{5!}}\,dx\\&={\frac {f(m)+f(n)}{2}}+{\frac {1}{6}}{\frac {f'(n)-f'(m)}{2!}}-{\frac {1}{30}}{\frac {f'''(n)-f'''(m)}{4!}}+{\frac {1}{42}}{\frac {f^{(5)}(n)-f^{(5)}(m)}{6!}}-\int _{m}^{n}f^{(6)}(x){\frac {P_{6}(x)}{6!}}\,dx\\&={\frac {f(m)+f(n)}{2}}+{\frac {1}{6}}{\frac {f'(n)-f'(m)}{2!}}-{\frac {1}{30}}{\frac {f'''(n)-f'''(m)}{4!}}+{\frac {1}{42}}{\frac {f^{(5)}(n)-f^{(5)}(m)}{6!}}+\int _{m}^{n}f^{(7)}(x){\frac {P_{7}(x)}{7!}}\,dx.\end{aligned}}}$$

Приложения

Базельская проблема

Задача Базеля заключается в определении суммы $${\displaystyle 1+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{16}}+{\frac {1}{25}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}.}$$

Эйлер вычислил эту сумму с точностью до 20 знаков после запятой, используя всего несколько членов формулы Эйлера–Маклорена в 1735 году. Это, вероятно, убедило его, что сумма равна ⁠π ²/6⁠ , что он доказал в том же году. ^[4]

Суммы, включающие многочлен

Если f — многочлен , а p достаточно велико, то остаточный член исчезает. Например, если f ( x ) = x ³ , мы можем выбрать p = 2 , чтобы получить после упрощения $${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}i^{3}=\left({\frac {n(n+1)}{2}}\right)^{2}.}$$

Аппроксимация интегралов

Формула дает способ приближения конечного интеграла. Пусть a < b будут конечными точками интервала интегрирования. Зафиксируем N , количество точек для использования в приближении, и обозначим соответствующий размер шага как h = ⁠б − а/Н − 1⁠ . Положим x _i = a + ( i − 1) h , так что x ₁ = a и x _N = b . Тогда: ^[5] $${\displaystyle {\begin{aligned}I&=\int _{a}^{b}f(x)\,dx\\&\sim h\left({\frac {f(x_{1})}{2}}+f(x_{2})+\cdots +f(x_{N-1})+{\frac {f(x_{N})}{2}}\right)+{\frac {h^{2}}{12}}{\bigl [}f'(x_{1})-f'(x_{N}){\bigr ]}-{\frac {h^{4}}{720}}{\bigl [}f'''(x_{1})-f'''(x_{N}){\bigr ]}+\cdots \end{aligned}}}$$

Это можно рассматривать как расширение правила трапеции путем включения поправочных членов. Обратите внимание, что это асимптотическое расширение обычно не сходится; есть некоторый p , зависящий от f и h , такой, что члены после порядка p быстро увеличиваются. Таким образом, остаточный член обычно требует пристального внимания. ^[5]

Формула Эйлера–Маклорена также используется для детального анализа ошибок в числовой квадратуре . Она объясняет превосходную производительность формулы трапеций на гладких периодических функциях и используется в некоторых методах экстраполяции . Квадратура Кленшоу–Кертиса по сути является заменой переменных для приведения произвольного интеграла к интегралам периодических функций, где подход Эйлера–Маклорена очень точен (в этом конкретном случае формула Эйлера–Маклорена принимает форму дискретного косинусного преобразования ). Этот метод известен как периодизирующее преобразование.

Асимптотическое разложение сумм

В контексте вычисления асимптотических разложений сумм и рядов обычно наиболее полезной формой формулы Эйлера–Маклорена является $${\displaystyle \sum _{n=a}^{b}f(n)\sim \int _{a}^{b}f(x)\,dx+{\frac {f(b)+f(a)}{2}}+\sum _{k=1}^{\infty }\,{\frac {B_{2k}}{(2k)!}}\left(f^{(2k-1)}(b)-f^{(2k-1)}(a)\right),}$$

где a и b — целые числа. ^[6] Часто разложение остается справедливым даже после принятия пределов a → −∞ или b → +∞ или обоих. Во многих случаях интеграл в правой части можно вычислить в замкнутой форме в терминах элементарных функций , хотя сумма в левой части не может. Тогда все члены асимптотического ряда можно выразить в терминах элементарных функций. Например, $${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(z+k)^{2}}}\sim \underbrace {\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{(z+k)^{2}}}\,dk} _{={\dfrac {1}{z}}}+{\frac {1}{2z^{2}}}+\sum _{t=1}^{\infty }{\frac {B_{2t}}{z^{2t+1}}}.}$$

Здесь левая часть равна ψ ⁽¹⁾ ( z ) , а именно полигамма-функции первого порядка, определяемой соотношением

${\displaystyle \psi ^{(1)}(z)={\frac {d^{2}}{dz^{2}}}\log \Gamma (z);}$

гамма -функция Γ( z ) равна ( z − 1)!, когда z — положительное целое число . Это приводит к асимптотическому разложению для ψ ⁽¹⁾ ( z ) . Это разложение, в свою очередь, служит отправной точкой для одного из выводов точных оценок погрешности для приближения Стирлинга факториальной функции.

Примеры

Если s — целое число больше 1, то имеем: $${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k^{s}}}\approx {\frac {1}{s-1}}+{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{(s-1)n^{s-1}}}+{\frac {1}{2n^{s}}}+\sum _{i=1}{\frac {B_{2i}}{(2i)!}}\left[{\frac {(s+2i-2)!}{(s-1)!}}-{\frac {(s+2i-2)!}{(s-1)!n^{s+2i-1}}}\right].}$$

Собирая константы в значение дзета-функции Римана , можно записать асимптотическое разложение: $${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k^{s}}}\sim \zeta (s)-{\frac {1}{(s-1)n^{s-1}}}+{\frac {1}{2n^{s}}}-\sum _{i=1}{\frac {B_{2i}}{(2i)!}}{\frac {(s+2i-2)!}{(s-1)!n^{s+2i-1}}}.}$$

Для s, равного 2, это упрощается до или $${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k^{2}}}\sim \zeta (2)-{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{2n^{2}}}-\sum _{i=1}{\frac {B_{2i}}{n^{2i+1}}},}$$ $${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k^{2}}}\sim {\frac {\pi ^{2}}{6}}-{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{2n^{2}}}-{\frac {1}{6n^{3}}}+{\frac {1}{30n^{5}}}-{\frac {1}{42n^{7}}}+\cdots .}$$

При s = 1 соответствующая методика дает асимптотическое разложение для гармонических чисел : где γ ≈ 0,5772... — постоянная Эйлера–Маскерони . $${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}\sim \gamma +\log n+{\frac {1}{2n}}-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{2k}}{2kn^{2k}}},}$$

Доказательства

Вывод методом математической индукции

Мы изложим аргументацию, приведенную в Апостоле. ^[1]

Выше были введены полиномы Бернулли B _n ( x ) и периодические функции Бернулли P _n ( x ) для n = 0, 1, 2, ....

Первые несколько полиномов Бернулли — это $${\displaystyle {\begin{aligned}B_{0}(x)&=1,\\B_{1}(x)&=x-{\tfrac {1}{2}},\\B_{2}(x)&=x^{2}-x+{\tfrac {1}{6}},\\B_{3}(x)&=x^{3}-{\tfrac {3}{2}}x^{2}+{\tfrac {1}{2}}x,\\B_{4}(x)&=x^{4}-2x^{3}+x^{2}-{\tfrac {1}{30}},\\&\,\,\,\vdots \end{aligned}}}$$

Значения B _n (1) являются числами Бернулли B _n . Обратите внимание, что при n ≠ 1 имеем и при n = 1 , $${\displaystyle B_{n}=B_{n}(1)=B_{n}(0),}$$ $${\displaystyle B_{1}=B_{1}(1)=-B_{1}(0).}$$

Функции P _n согласуются с полиномами Бернулли на интервале [0, 1] и являются периодическими с периодом 1. Кроме того, за исключением случая n = 1 , они также непрерывны. Таким образом, $${\displaystyle P_{n}(0)=P_{n}(1)=B_{n}\quad {\text{for }}n\neq 1.}$$

Пусть k — целое число, и рассмотрим интеграл , где $${\displaystyle \int _{k}^{k+1}f(x)\,dx=\int _{k}^{k+1}u\,dv,}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}u&=f(x),\\du&=f'(x)\,dx,\\dv&=P_{0}(x)\,dx&{\text{since }}P_{0}(x)&=1,\\v&=P_{1}(x).\end{aligned}}}$$

Интегрируя по частям , получаем $${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{k}^{k+1}f(x)\,dx&={\bigl [}uv{\bigr ]}_{k}^{k+1}-\int _{k}^{k+1}v\,du\\&={\bigl [}f(x)P_{1}(x){\bigr ]}_{k}^{k+1}-\int _{k}^{k+1}f'(x)P_{1}(x)\,dx\\&=B_{1}(1)f(k+1)-B_{1}(0)f(k)-\int _{k}^{k+1}f'(x)P_{1}(x)\,dx.\end{aligned}}}$$

Используя B ₁ (0) = − ⁠1/2⁠ , В ₁ (1) = ⁠1/2⁠ , и суммируя вышесказанное от k = 0 до k = n − 1 , получаем $${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{n}f(x)\,dx&=\int _{0}^{1}f(x)\,dx+\cdots +\int _{n-1}^{n}f(x)\,dx\\&={\frac {f(0)}{2}}+f(1)+\dotsb +f(n-1)+{\frac {f(n)}{2}}-\int _{0}^{n}f'(x)P_{1}(x)\,dx.\end{aligned}}}$$

Добавление ⁠ф ( н ) − ф (0)/2⁠ в обе стороны и переставляя, мы имеем $${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}f(k)=\int _{0}^{n}f(x)\,dx+{\frac {f(n)-f(0)}{2}}+\int _{0}^{n}f'(x)P_{1}(x)\,dx.}$$

Это случай формулы суммирования p = 1. Чтобы продолжить индукцию, применим интегрирование по частям к члену ошибки: где $${\displaystyle \int _{k}^{k+1}f'(x)P_{1}(x)\,dx=\int _{k}^{k+1}u\,dv,}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}u&=f'(x),\\du&=f''(x)\,dx,\\dv&=P_{1}(x)\,dx,\\v&={\tfrac {1}{2}}P_{2}(x).\end{aligned}}}$$

Результат интегрирования по частям: $${\displaystyle {\begin{aligned}{\bigl [}uv{\bigr ]}_{k}^{k+1}-\int _{k}^{k+1}v\,du&=\left[{\frac {f'(x)P_{2}(x)}{2}}\right]_{k}^{k+1}-{\frac {1}{2}}\int _{k}^{k+1}f''(x)P_{2}(x)\,dx\\&={\frac {B_{2}}{2}}(f'(k+1)-f'(k))-{\frac {1}{2}}\int _{k}^{k+1}f''(x)P_{2}(x)\,dx.\end{aligned}}}$$

Суммирование от k = 0 до k = n − 1 и подстановка этого значения для члена ошибки низшего порядка приводит к случаю p = 2 формулы: $${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}f(k)=\int _{0}^{n}f(x)\,dx+{\frac {f(n)-f(0)}{2}}+{\frac {B_{2}}{2}}{\bigl (}f'(n)-f'(0){\bigr )}-{\frac {1}{2}}\int _{0}^{n}f''(x)P_{2}(x)\,dx.}$$

Этот процесс можно итерировать. Таким образом, мы получаем доказательство формулы суммирования Эйлера–Маклорена, которое можно формализовать с помощью математической индукции , в которой шаг индукции опирается на интегрирование по частям и на тождества для периодических функций Бернулли.

Смотрите также

• Подведение итогов по Чезаро
• суммирование Эйлера
• квадратурная формула Гаусса–Кронрода
• Формула Дарбу
• Суммирование Эйлера–Буля

Ссылки

1. Apostol, TM (1 мая 1999 г.). «Элементарный взгляд на формулу суммирования Эйлера». The American Mathematical Monthly . 106 (5). Математическая ассоциация Америки: 409–418. doi :10.2307/2589145. ISSN  0002-9890. JSTOR  2589145.
2. "Цифровая библиотека математических функций: суммы и последовательности". Национальный институт стандартов и технологий .
3. Лемер, Д. Х. (1940). «О максимумах и минимумах многочленов Бернулли». The American Mathematical Monthly . 47 (8): 533–538. doi :10.2307/2303833. JSTOR  2303833.
4. Pengelley, David J. (2007). «Танцы между непрерывным и дискретным: формула суммирования Эйлера». Euler at 300 . MAA Spectrum. Вашингтон, округ Колумбия: Математическая ассоциация Америки. стр. 169–189. arXiv : 1912.03527 . MR  2349549.
5. Devries, Paul L.; Hasbrun, Javier E. (2011). Первый курс вычислительной физики (2-е изд.). Jones and Bartlett Publishers. стр. 156.
6. Абрамовиц, Милтон ; Стиган, Ирен А. , ред. (1972). Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами . Нью-Йорк: Dover Publications . С. 16, 806, 886. ISBN 978-0-486-61272-0.

Дальнейшее чтение

• Gould, HW; Squire, William (1963). «Вторая формула Маклорена и ее обобщение». Amer. Math. Monthly . 70 (1): 44–52. doi :10.2307/2312783. JSTOR  2312783. MR  0146551.
• Гурдон, Ксавье; Себах, Паскаль (2002). «Введение в числа Бернулли».
• Мартенсен, Эрих (2005). «О обобщенной формуле Эйлера-Маклорена». Z. Angew. Math. Mech . 85 (12): 858–863. Bibcode :2005ZaMM...85..858M. doi :10.1002/zamm.200410217. MR  2184846. S2CID  123419717.
• Монтгомери, Хью Л.; Воган , Роберт К. (2007). Мультипликативная теория чисел I. Классическая теория . Кембриджские трактаты по высшей математике. Том 97. С. 495–519. ISBN 978-0-521-84903-6.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Формулы интеграции Эйлера – Маклорена». Математический мир .