Форма Черна–Саймонса

Вторичные характеристические классы 3-многообразий

В математике формы Черна–Саймонса — это определенные вторичные характеристические классы . ^[1] Теория названа в честь Шиинг-Шен Черна и Джеймса Харриса Саймонса , соавторов статьи 1974 года под названием «Характеристические формы и геометрические инварианты», из которой возникла эта теория. ^[2]

Определение

Имея многообразие и алгебру Ли со значениями 1-формы над ним, мы можем определить семейство p -форм : ^[3] ${\displaystyle \mathbf {A} }$

В одном измерении 1-форма Черна–Саймонса задается выражением

${\displaystyle \operatorname {Tr} [\mathbf {A} ].}$

В трех измерениях 3-форма Черна–Саймонса задается выражением

${\displaystyle \operatorname {Tr} \left[\mathbf {F} \wedge \mathbf {A} -{\frac {1}{3}}\mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \right]=\operatorname {Tr} \left[d\mathbf {A} \wedge \mathbf {A} +{\frac {2}{3}}\mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \right].}$

В пяти измерениях 5-форма Черна–Саймонса задается выражением

${\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {Tr} \left[\mathbf {F} \wedge \mathbf {F} \wedge \mathbf {A} -{\frac {1}{2}}\mathbf {F} \wedge \mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \wedge \mathbf {A} +{\frac {1}{10}}\mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \right]\\[6pt]={}&\operatorname {Tr} \left[d\mathbf {A} \wedge d\mathbf {A} \wedge \mathbf {A} +{\frac {3}{2}}d\mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \wedge \mathbf {A} +{\frac {3}{5}}\mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \wedge \mathbf {A} \right]\end{aligned}}}$

где кривизна F определяется как

${\displaystyle \mathbf {F} =d\mathbf {A} +\mathbf {A} \wedge \mathbf {A} .}$

Общая форма Черна–Саймонса определяется таким образом, что ${\displaystyle \omega _{2k-1}}$

${\displaystyle d\omega _{2k-1}=\operatorname {Tr} (F^{k}),}$

где произведение клина используется для определения F ^k . Правая часть этого уравнения пропорциональна k -му характеру Черна связи . ${\displaystyle \mathbf {A} }$

В общем случае p -форма Черна–Саймонса определена для любого нечетного p . ^[4]

Применение в физике

В 1978 году Альберт Шварц сформулировал теорию Черна-Саймонса , раннюю топологическую квантовую теорию поля , используя формы Черна-Саймонса. ^[5]

В калибровочной теории интеграл формы Черна - Саймонса является глобальным геометрическим инвариантом и обычно калибровочно инвариантен по модулю сложения целого числа.

Смотрите также

• Гомоморфизм Черна–Вейля
• Хиральная аномалия
• Топологическая квантовая теория поля
• полином Джонса

Ссылки

1. Freed, Daniel (15 января 2009 г.). "Замечания о теории Черна–Саймонса" (PDF) . Получено 1 апреля 2020 г. .
2. Черн, Шиин-Шен; Тянь, Г.; Ли, Питер (1996). Математик и его математические работы: избранные труды С. С. Черна. World Scientific. ISBN 978-981-02-2385-4.
3. "Форма Черна-Саймонса в nLab". ncatlab.org . Получено 1 мая 2020 г. .
4. Мур, Грег (7 июня 2019 г.). «Введение в теории Черна-Саймонса» (PDF) . Техасский университет . Получено 7 июня 2019 г.
5. Шварц, А.С. (1978). «Функция распределения вырожденного квадратичного функционала и инварианты Рэя-Зингера». Письма в математическую физику . 2 (3): 247–252. Bibcode :1978LMaPh...2..247S. doi :10.1007/BF00406412. S2CID  123231019.

Дальнейшее чтение

• Черн, С.-С. ; Саймонс, Дж. (1974). «Характерные формы и геометрические инварианты». Annals of Mathematics . Вторая серия. 99 (1): 48–69. doi :10.2307/1971013. JSTOR  1971013.
• Бертлманн, Рейнхольд А. (2001). «Форма Черна–Саймонса, оператор гомотопии и аномалия». Аномалии в квантовой теории поля (пересмотренное издание). Clarendon Press . стр. 321–341. ISBN 0-19-850762-3.