фрактал Ляпунова

Тип фрактала

Стандартный логистический фрактал Ляпунова с итерационной последовательностью AB, в области [2, 4] × [2, 4].

Деталь фрактала Ляпунова в виде ласточки. Итерационная последовательность AB, в области [3.81, 3.87] x [3.81, 3.87].

Обобщенный логистический фрактал Ляпунова с итерационной последовательностью AABAB, в области [2, 4] × [2, 4].

Обобщенный логистический фрактал Ляпунова с итерационной последовательностью BBBBBBAAAAAA в области параметров роста ( A , B ) в [3.4, 4.0] × [2.5, 3.4], известный как Zircon Zity .

В математике фракталы Ляпунова (также известные как фракталы Маркуса–Ляпунова ) — это бифуркационные фракталы, полученные из расширения логистического отображения , в котором степень роста популяции, r , периодически переключается между двумя значениями A и B. ^[1 ]

Фрактал Ляпунова строится путем отображения областей устойчивости и хаотического поведения (измеренных с помощью показателя Ляпунова ) в плоскости a − b для заданных периодических последовательностей a и b . На изображениях желтый цвет соответствует (устойчивости), а синий — (хаосу). ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda <0}$ ${\displaystyle \lambda >0}$

Фракталы Ляпунова были открыты в конце 1980-х годов ^[2] немецко-чилийским физиком Марио Маркусом из Института молекулярной физиологии Макса Планка . Они были представлены широкой публике в научно-популярной статье о развлекательной математике, опубликованной в журнале Scientific American в 1991 году . ^[3]

Характеристики

Фракталы Ляпунова обычно рисуются для значений A и B в интервале . Для больших значений интервал [0,1] уже не является стабильным, и последовательность, вероятно, будет притягиваться бесконечностью, хотя сходящиеся циклы конечных значений продолжают существовать для некоторых параметров. Для всех итерационных последовательностей диагональ a = b всегда такая же, как для стандартной однопараметрической логистической функции. ${\displaystyle [0,4]}$

Последовательность обычно начинается со значения 0,5, которое является критической точкой итеративной функции. ^[4] Другие (даже комплекснозначные) критические точки итеративной функции в течение одного полного раунда — это те, которые проходят через значение 0,5 в первом раунде. Сходящийся цикл должен притягивать по крайней мере одну критическую точку. ^[5] Следовательно, все сходящиеся циклы можно получить, просто сдвинув итеративную последовательность и оставив начальное значение 0,5. На практике сдвиг этой последовательности приводит к изменениям во фрактале, поскольку некоторые ветви покрываются другими. Например, фрактал Ляпунова для итеративной последовательности AB (см. верхний рисунок справа) не является идеально симметричным относительно a и b .

Алгоритм

Алгоритм вычисления фракталов Ляпунова работает следующим образом: ^[6]

1. Выберите строку из букв A и B любой нетривиальной длины (например, AABAB).
2. Постройте последовательность, образованную последовательными членами строки, повторенными необходимое количество раз. ${\displaystyle S}$
3. Выберите точку . ${\displaystyle (a,b)\in [0,4]\times [0,4]}$
4. Определите функцию , если , и если . ${\displaystyle r_{n}=a}$ ${\displaystyle S_{n}=A}$ ${\displaystyle r_{n}=b}$ ${\displaystyle S_{n}=B}$
5. Пусть , и вычислим итерации . ${\displaystyle x_{0}=0.5}$ ${\displaystyle x_{n+1}=r_{n}x_{n}(1-x_{n})}$
6. Вычислите показатель Ляпунова: На практике аппроксимируется путем выбора достаточно большого значения и отбрасывания первого слагаемого, как для .
   ${\displaystyle \lambda =\lim _{N\rightarrow \infty }{1 \over N}\sum _{n=1}^{N}\log \left|{dx_{n+1} \over dx_{n}}\right|=\lim _{N\rightarrow \infty }{1 \over N}\sum _{n=1}^{N}\log |r_{n}(1-2x_{n})|}$
   ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle r_{0}(1-2x_{0})=r_{n}\cdot 0=0}$ ${\displaystyle x_{0}=0.5}$
7. Раскрасьте точку в соответствии с полученным значением . ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle \lambda }$
8. Повторите шаги (3–7) для каждой точки в плоскости изображения.

Больше итераций

• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 

Больше измерений

Анимация 3D фрактала Ляпунова с последовательностью ABBBCA

Фракталы Ляпунова можно вычислить более чем в двух измерениях. Строка последовательности для n -мерного фрактала должна быть построена из алфавита с n символами, например, "ABBBCA" для 3D-фрактала, который может быть визуализирован либо как 3D-объект, либо как анимация, показывающая "срез" в направлении C для каждого кадра анимации, как в примере, приведенном здесь.

Примечания

1. См. Маркус и Хесс 1989, стр. 553.
2. См. Маркус и Хесс 1989 и Маркус 1990.
3. См. Дьюдни 1991.
4. См. Маркус 1990, стр. 483.
5. См. Маркус 1990, стр. 486.
6. См. Маркус 1990, стр. 481, 483 и Маркус и Хесс 1998.

Ссылки

• Дьюдни, АК (1991). «Прыжок в пространство Ляпунова». Scientific American . 265 (3): 130–132. doi :10.1038/scientificamerican0991-178.
• Маркус, Марио; Гесс, Бенно (1989). «Ляпуновские показатели логистического отображения с периодическим воздействием». Компьютеры и графика . 13 (4): 553–558. doi :10.1016/0097-8493(89)90019-8.
• Маркус, Марио (1990). «Хаос в картах с непрерывными и прерывистыми максимумами». Компьютеры в физике . 4 (5): 481. doi :10.1063/1.4822940.
• Маркус, Марио; Гесс, Бенно (1998). "Глава 12. Показатели Ляпунова логистического отображения с периодическим воздействием". В Клиффорде А. Пиковере (ред.). Хаос и фракталы. Компьютерное графическое путешествие . Elsevier. стр. 73-78. doi :10.1016/B978-0-444-50002-1.X5000-0. ISBN 978-0-444-50002-1.
• Маркус, Марио, «Die Kunst der Mathematik», Verlag Zweitausendeins, ISBN Франкфурта 978-3-86150-767-3 

Внешние ссылки

• Фракталы и хаос EFG – показатели Ляпунова
• Элерт, Гленн. «Пространство Ляпунова». Гипертекстовая книга «Хаос » .