показатель Ляпунова

Скорость разделения бесконечно близких траекторий

В математике показатель Ляпунова или характеристический показатель Ляпунова динамической системы — это величина, характеризующая скорость разделения бесконечно близких траекторий . Количественно две траектории в фазовом пространстве с начальным вектором разделения расходятся (при условии, что расхождение можно рассматривать в рамках линеаризованного приближения) со скоростью, заданной выражением ${\displaystyle \delta \mathbf {Z} _{0}}$

$${\displaystyle |\delta \mathbf {Z} (t)|\approx e^{\lambda t}|\delta \mathbf {Z} _{0}|}$$

где - показатель Ляпунова. ${\displaystyle \lambda }$

Скорость разделения может быть разной для разных ориентаций начального вектора разделения. Таким образом, существует спектр показателей Ляпунова , число которых равно размерности фазового пространства. Наибольший показатель Ляпунова принято называть максимальным показателем Ляпунова (МПЛ), поскольку он определяет понятие предсказуемости для динамической системы. Положительный МПЛ обычно принимается как указание на то, что система хаотична (при соблюдении некоторых других условий, например, компактности фазового пространства). Обратите внимание, что произвольный начальный вектор разделения обычно будет содержать некоторую компоненту в направлении, связанном с МПЛ, и из-за экспоненциальной скорости роста влияние других показателей будет со временем стираться.

Показатель назван в честь Александра Ляпунова .

Определение максимального показателя Ляпунова

Максимальный показатель Ляпунова можно определить следующим образом: $${\displaystyle \lambda =\lim _{t\to \infty }\lim _{|\delta \mathbf {Z} _{0}|\to 0}{\frac {1}{t}}\ln {\frac {|\delta \mathbf {Z} (t)|}{|\delta \mathbf {Z} _{0}|}}}$$

Предел обеспечивает справедливость линейного приближения в любой момент времени. ^[1] ${\displaystyle |\delta \mathbf {Z} _{0}|\to 0}$

Для дискретной системы времени (карты или итерации с фиксированной точкой) для орбиты, начинающейся с этого, это переводится как: ${\displaystyle x_{n+1}=f(x_{n})}$ ${\displaystyle x_{0}}$ $${\displaystyle \lambda (x_{0})=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{i=0}^{n-1}\ln |f'(x_{i})|}$$

Определение спектра Ляпунова

Ведущий вектор Ляпунова.

Для динамической системы с уравнением эволюции в n –мерном фазовом пространстве спектр показателей Ляпунова в общем случае зависит от начальной точки . Однако обычно нас будет интересовать аттрактор (или аттракторы) динамической системы, и обычно будет один набор показателей, связанный с каждым аттрактором. Выбор начальной точки может определить, на каком аттракторе система окажется, если их больше одного. (Для гамильтоновых систем, у которых нет аттракторов, это не имеет значения.) Показатели Ляпунова описывают поведение векторов в касательном пространстве фазового пространства и определяются из матрицы Якоби эта Якобиан определяет эволюцию касательных векторов, заданных матрицей , через уравнение с начальным условием . Матрица описывает, как малое изменение в точке распространяется в конечную точку . Предел определяет матрицу (условия существования предела задаются теоремой Оселедца ). Показатели Ляпунова определяются собственными значениями . ${\displaystyle {\dot {x}}_{i}=f_{i}(x)}$ $${\displaystyle \{\lambda _{1},\lambda _{2},\ldots ,\lambda _{n}\}\,,}$$ ${\displaystyle x_{0}}$ $${\displaystyle J_{ij}(t)=\left.{\frac {df_{i}(x)}{dx_{j}}}\right|_{x(t)}}$$ ${\displaystyle Y}$ $${\displaystyle {\dot {Y}}=JY}$$ ${\displaystyle Y_{ij}(0)=\delta _{ij}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle x(0)}$ ${\displaystyle x(t)}$ $${\displaystyle \Lambda =\lim _{t\rightarrow \infty }{\frac {1}{2t}}\log(Y(t)Y^{T}(t))}$$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle \lambda _{i}}$ ${\displaystyle \Lambda }$

Набор показателей Ляпунова будет одинаковым почти для всех начальных точек эргодической компоненты динамической системы.

Показатель Ляпунова для линеаризации, изменяющейся во времени

Для введения показателя Ляпунова рассмотрим фундаментальную матрицу (например, для линеаризации вдоль стационарного решения в непрерывной системе), фундаментальная матрица состоит из линейно-независимых решений первого приближения системы. Сингулярные числа матрицы являются квадратными корнями из собственных значений матрицы . Наибольший показатель Ляпунова имеет вид ^[2] Ляпунов доказал, что если система первого приближения регулярна (например, все системы с постоянными и периодическими коэффициентами регулярны) и ее наибольший показатель Ляпунова отрицателен, то решение исходной системы асимптотически устойчиво по Ляпунову . Позднее О. Перроном было установлено, что требование регулярности первого приближения является существенным. ${\displaystyle X(t)}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle \exp \left(\left.{\frac {df^{t}(x)}{dx}}\right|_{x_{0}}t\right)}$ ${\displaystyle \{\alpha _{j}{\big (}X(t){\big )}\}_{1}^{n}}$ ${\displaystyle X(t)}$ ${\displaystyle X(t)^{*}X(t)}$ ${\displaystyle \lambda _{\mathrm {max} }}$ $${\displaystyle \lambda _{\mathrm {max} }=\max \limits _{j}\limsup _{t\rightarrow \infty }{\frac {1}{t}}\ln \alpha _{j}{\big (}X(t){\big )}.}$$

Эффект Перрона инверсии знака наибольшего показателя Ляпунова

В 1930 году О. Перрон построил пример системы второго порядка, где первое приближение имеет отрицательные показатели Ляпунова вдоль нулевого решения исходной системы, но при этом это нулевое решение исходной нелинейной системы неустойчиво по Ляпунову. Более того, в некоторой окрестности этого нулевого решения почти все решения исходной системы имеют положительные показатели Ляпунова. Также можно построить обратный пример, в котором первое приближение имеет положительные показатели Ляпунова вдоль нулевого решения исходной системы, но при этом это нулевое решение исходной нелинейной системы устойчиво по Ляпунову. ^{[3] [4]} Эффект инверсии знаков показателей Ляпунова решений исходной системы и системы первого приближения с одинаковыми начальными данными впоследствии был назван эффектом Перрона. ^{[3] [4]}

Контрпример Перрона показывает, что отрицательный наибольший показатель Ляпунова, как правило, не указывает на устойчивость, а положительный наибольший показатель Ляпунова, как правило, не указывает на хаос.

Поэтому линеаризация, изменяющаяся во времени, требует дополнительного обоснования. ^[4]

Основные свойства

Если система консервативна (т.е. диссипация отсутствует ), элемент объема фазового пространства останется неизменным вдоль траектории. Таким образом, сумма всех показателей Ляпунова должна быть равна нулю. Если система диссипативная, сумма показателей Ляпунова отрицательна.

Если система представляет собой поток и траектория не сходится к одной точке, то один показатель всегда равен нулю — показатель Ляпунова, соответствующий собственному значению с собственным вектором в направлении потока. ${\displaystyle L}$

Значение спектра Ляпунова

Спектр Ляпунова может быть использован для оценки скорости производства энтропии, фрактальной размерности и размерности Хаусдорфа рассматриваемой динамической системы . ^[5] В частности, из знания спектра Ляпунова можно получить так называемую размерность Ляпунова (или размерность Каплана–Йорка ) , которая определяется следующим образом: где — максимальное целое число, такое, что сумма наибольших показателей степеней все еще неотрицательна. представляет собой верхнюю границу информационной размерности системы. ^[6] Более того, сумма всех положительных показателей Ляпунова дает оценку энтропии Колмогорова–Синая в соответствии с теоремой Песина. ^[7] Наряду с широко используемыми численными методами оценки и вычисления размерности Ляпунова существует эффективный аналитический подход, основанный на прямом методе Ляпунова со специальными функциями типа Ляпунова. ^[8] Показатели Ляпунова ограниченной траектории и ляпуновская размерность аттрактора инвариантны относительно диффеоморфизма фазового пространства. ^[9] ${\displaystyle D_{KY}}$ $${\displaystyle D_{KY}=k+\sum _{i=1}^{k}{\frac {\lambda _{i}}{|\lambda _{k+1}|}}}$$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle D_{KY}}$

Мультипликативное обратное значение наибольшего показателя Ляпунова иногда упоминается в литературе как время Ляпунова и определяет характерное время e -свертки. Для хаотических орбит время Ляпунова будет конечным, тогда как для регулярных орбит оно будет бесконечным.

Численный расчет

Точки внутри и вне множества Мандельброта, раскрашенные показателем Ляпунова.

В общем случае расчет показателей Ляпунова, как определено выше, не может быть выполнен аналитически, и в большинстве случаев приходится прибегать к численным методам. Ранний пример, который также представлял собой первую демонстрацию экспоненциальной расходимости хаотических траекторий, был выполнен Р. Х. Миллером в 1964 году. ^[10] В настоящее время наиболее часто используемая численная процедура оценивает матрицу на основе усреднения нескольких конечных временных приближений предела, определяющего . ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$

Один из наиболее используемых и эффективных численных методов вычисления спектра Ляпунова для гладкой динамической системы основан на периодической ортонормализации Грама–Шмидта векторов Ляпунова , чтобы избежать несовпадения всех векторов вдоль направления максимального расширения. ^{[11] [12] [13] [14]} Описан спектр Ляпунова различных моделей. ^[15] Представлены исходные коды для нелинейных систем, таких как отображение Хенона, уравнения Лоренца, дифференциальное уравнение с запаздыванием и т. д. ^{[16] [17] [18]}

Для расчета показателей Ляпунова из ограниченных экспериментальных данных были предложены различные методы. Однако существует множество трудностей с применением этих методов, и к таким проблемам следует подходить с осторожностью. Основная трудность заключается в том, что данные не полностью исследуют фазовое пространство, а скорее ограничиваются аттрактором, который имеет очень ограниченное (если вообще имеет) расширение вдоль определенных направлений. Эти более тонкие или более сингулярные направления в наборе данных связаны с более отрицательными показателями. Было показано, что использование нелинейных отображений для моделирования эволюции малых смещений от аттрактора значительно улучшает способность восстанавливать спектр Ляпунова, ^{[19] [20]} при условии, что данные имеют очень низкий уровень шума. Также была исследована сингулярная природа данных и ее связь с более отрицательными показателями. ^[21]

Локальный показатель Ляпунова

В то время как (глобальный) показатель Ляпунова дает меру общей предсказуемости системы, иногда интересно оценить локальную предсказуемость вокруг точки x ₀ в фазовом пространстве. Это можно сделать с помощью собственных значений матрицы Якоби J ⁰ ( x ₀ ) . Эти собственные значения также называются локальными показателями Ляпунова. ^[22] Локальные показатели не инвариантны относительно нелинейного изменения координат.

Условный показатель Ляпунова

Этот термин обычно используется в отношении синхронизации хаоса , в котором есть две системы, которые связаны, как правило, однонаправленным образом, так что есть приводная (или главная) система и ответная (или подчиненная) система. Условные показатели являются показателями ответной системы, а приводная система рассматривается просто как источник (хаотического) сигнала привода. Синхронизация происходит, когда все условные показатели отрицательны. ^[23]

Смотрите также

• Теория Хаоса
• Хаотическое смешивание для альтернативного вывода
• Гипотеза Идена о размерности Ляпунова
• Теория Флоке
• Теорема Лиувилля (Гамильтониан)
• размерность Ляпунова
• время Ляпунова
• Анализ количественной рекуррентности
• теорема Оселедца
• Эффект бабочки

Ссылки

1. Ченчини, М.; и др. (2010). World Scientific (ред.). Хаос от простых моделей к сложным системам . World Scientific. ISBN 978-981-4277-65-5.
2. Темам, Р. (1988). Бесконечномерные динамические системы в механике и физике . Кембридж: Springer-Verlag.
3. НВ Кузнецов; Г.А. Леонов (2005). "Об устойчивости по первому приближению для дискретных систем". Труды. 2005 Международная конференция Физика и управление, 2005 (PDF) . Том. Труды Том 2005. С. 596–599. doi :10.1109/PHYCON.2005.1514053. ISBN 978-0-7803-9235-9. S2CID  31746738.
4. GA Leonov; NV Kuznetsov (2007). "Time-Varying Linearization and the Perron effects" (PDF) . International Journal of Bifurcation and Chaos . 17 (4): 1079–1107. Bibcode :2007IJBC...17.1079L. CiteSeerX 10.1.1.660.43 . doi :10.1142/S0218127407017732. 
5. Кузнецов, Николай; Рейтманн, Фолькер (2020). Оценки размерности аттрактора для динамических систем: теория и вычисления. Cham: Springer.
6. Kaplan, J. & Yorke, J. (1979). "Хаотическое поведение многомерных дифференциальных уравнений". В Peitgen, HO & Walther, HO (ред.). Функциональные дифференциальные уравнения и аппроксимация неподвижных точек . Нью-Йорк: Springer. ISBN 978-3-540-09518-7.
7. Песин, Ю. Б. (1977). «Характеристические показатели Ляпунова и гладкая эргодическая теория». Обзоры РАН . 32 (4): 55–114. Bibcode :1977RuMaS..32...55P. doi :10.1070/RM1977v032n04ABEH001639. S2CID  250877457.
8. Кузнецов, Н. В. (2016). «Размерность Ляпунова и ее оценка методом Леонова». Physics Letters A. 380 ( 25–26): 2142–2149. arXiv : 1602.05410 . Bibcode : 2016PhLA..380.2142K. doi : 10.1016/j.physleta.2016.04.036. S2CID  118467839.
9. Кузнецов, Н.В.; Алексеева, ТА; Леонов, ГА (2016). «Инвариантность показателей Ляпунова и размерности Ляпунова для регулярных и нерегулярных линеаризаций». Нелинейная динамика . 85 (1): 195–201. arXiv : 1410.2016 . doi :10.1007/s11071-016-2678-4. S2CID  119650438.
10. Миллер, Р. Х. (1964). «Необратимость в малых звездных динамических системах». The Astrophysical Journal . 140 : 250. Bibcode : 1964ApJ...140..250M. doi : 10.1086/147911.
11. Бенеттин, Г.; Галгани, Л.; Джорджилли, А.; Стрелцин, Дж. М. (1980). «Характеристические показатели Ляпунова для гладких динамических систем и для гамильтоновых систем; метод вычисления всех из них. Часть 1: Теория». Meccanica . 15 : 9–20. doi :10.1007/BF02128236. S2CID  123085922.
12. Бенеттин, Г.; Галгани, Л.; Джорджили, А.; Стрелцин, Дж. М. (1980). «Характеристические показатели Ляпунова для гладких динамических систем и для гамильтоновых систем; Метод вычисления всех из них. Часть 2: Численное применение». Meccanica . 15 : 21–30. doi :10.1007/BF02128237. S2CID  117095512.
13. Шимада, И.; Нагашима, Т. (1979). «Численный подход к эргодической проблеме диссипативных динамических систем». Progress of Theoretical Physics . 61 (6): 1605–1616. Bibcode :1979PThPh..61.1605S. doi : 10.1143/PTP.61.1605 .
14. Экман, Ж. -П.; Рюэль, Д. (1985). «Эргодическая теория хаоса и странные аттракторы». Reviews of Modern Physics . 57 (3): 617–656. Bibcode : 1985RvMP...57..617E. doi : 10.1103/RevModPhys.57.617. S2CID  18330392.
15. Спротт, Жюльен Клинтон (27 сентября 2001 г.). Хаос и анализ временных рядов . Oxford University Press. ISBN 978-0198508403.
16. Спротт, Жюльен Клинтон (26 мая 2005 г.). «Программное обеспечение спектра экспоненты Ляпунова».
17. Спротт, Жюльен Клинтон (4 октября 2006 г.). «Показатели Ляпунова для дифференциальных уравнений с запаздыванием».
18. Томо, Накамура (19 октября 2022 г.). «нелинейные системы и спектр Ляпунова».
19. Брайант, П.; Браун, Р.; Абарбанель, Х. (1990). «Экспоненты Ляпунова из наблюдаемых временных рядов». Physical Review Letters . 65 (13): 1523–1526. Bibcode :1990PhRvL..65.1523B. doi :10.1103/PhysRevLett.65.1523. PMID  10042292.
20. Браун, Р.; Брайант, П.; Абарбанель, Х. (1991). «Вычисление спектра Ляпунова динамической системы из наблюдаемого временного ряда». Physical Review A. 43 ( 6): 2787–2806. Bibcode : 1991PhRvA..43.2787B. doi : 10.1103/PhysRevA.43.2787. PMID  9905344.
21. Брайант, PH (1993). «Размеры экстенсиональной сингулярности для странных аттракторов». Physics Letters A. 179 ( 3): 186–190. Bibcode : 1993PhLA..179..186B. doi : 10.1016/0375-9601(93)91136-S.
22. Абарбанель, HDI; Браун, Р.; Кеннел, МБ (1992). «Локальные показатели Ляпунова, вычисленные по наблюдаемым данным». Журнал нелинейной науки . 2 (3): 343–365. Bibcode : 1992JNS.....2..343A. doi : 10.1007/BF01208929. S2CID  122542761.
23. См., например, Pecora, LM; Carroll, TL; Johnson, GA; Mar, DJ; Heagy, JF (1997). «Основы синхронизации в хаотических системах, концепции и приложения». Хаос: междисциплинарный журнал нелинейной науки . 7 (4): 520–543. Bibcode :1997Chaos...7..520P. doi : 10.1063/1.166278 . PMID  12779679.

Дальнейшее чтение

• Кузнецов, Николай; Рейтманн, Фолькер (2020). Оценки размерности аттрактора для динамических систем: теория и вычисления. Cham: Springer.
• М.-Ф. Данца и Н.В. Кузнецов (2018). "Matlab Code for Lyapunov Exponents of Fractional-Order Systems". International Journal of Bifurcation and Chaos . 25 (5): 1850067–1851392. arXiv : 1804.01143 . Bibcode : 2018IJBC...2850067D. doi : 10.1142/S0218127418500670.
• Cvitanović P., Artuso R., Mainieri R., Tanner G. и Vattay G. Хаос: классический и квантовый Институт Нильса Бора, Копенгаген 2005 – учебник о хаосе доступен по лицензии Free Documentation License
• Freddy Christiansen & Hans Henrik Rugh (1997). "Вычисление спектров Ляпунова с непрерывной ортонормализацией Грама–Шмидта". Нелинейность . 10 (5): 1063–1072. arXiv : chao-dyn/9611014 . Bibcode : 1997Nonli..10.1063C. doi : 10.1088/0951-7715/10/5/004. S2CID  122976405. Архивировано из оригинала 25.04.2006.
• Салман Хабиб и Роберт Д. Райн (1995). «Симплектическое вычисление показателей Ляпунова». Physical Review Letters . 74 (1): 70–73. arXiv : chao-dyn/9406010 . Bibcode :1995PhRvL..74...70H. doi :10.1103/PhysRevLett.74.70. PMID  10057701. S2CID  19203665.
• Говиндан Рангараджан; Салман Хабиб и Роберт Д. Райн (1998). «Показатели Ляпунова без перемасштабирования и реортогонализации». Physical Review Letters . 80 (17): 3747–3750. arXiv : chao-dyn/9803017 . Bibcode : 1998PhRvL..80.3747R. doi : 10.1103/PhysRevLett.80.3747. S2CID  14483592.
• X. Zeng; R. Eykholt & RA Pielke (1991). «Оценка спектра экспоненты Ляпунова из коротких временных рядов низкой точности». Physical Review Letters . 66 (25): 3229–3232. Bibcode :1991PhRvL..66.3229Z. doi :10.1103/PhysRevLett.66.3229. PMID  10043734.
• Э. Аурел; Дж. Боффетта; Крисанти; Г Паладин; Вульпиани (1997). «Предсказуемость в целом: расширение понятия показателя Ляпунова». Дж. Физ. А: Математика. Ген . 30 (1): 1–26. arXiv : чао-дин/9606014 . Бибкод : 1997JPhA...30....1A. дои : 10.1088/0305-4470/30/1/003. S2CID  54697488.
• F Ginelli; P Poggi; A Turchi; H Chaté; R Livi; A Politi (2007). "Характеристика динамики с помощью ковариантных векторов Ляпунова" (PDF) . Physical Review Letters . 99 (13): 130601. arXiv : 0706.0510 . Bibcode :2007PhRvL..99m0601G. doi :10.1103/PhysRevLett.99.130601. hdl :2158/253565. PMID  17930570. S2CID  21992110. Архивировано из оригинала (PDF) 2008-10-31.

Программное обеспечение

• [1] Р. Хеггер, Х. Канц и Т. Шрайбер, Нелинейный анализ временных рядов, TISEAN 3.0.1 (март 2007 г.).
• [2] Продукт ChaosKit от Scientio вычисляет показатели Ляпунова среди других хаотических мер. Доступ предоставляется онлайн через веб-сервис и демонстрационную версию Silverlight.
• [3] Архивировано 28.06.2022 в Wayback Machine Лаборатория программного обеспечения для математических развлечений доктора Рональда Джо Рекорда включает графический клиент X11, lyap, для графического исследования показателей Ляпунова принудительной логистической карты и других карт единичного интервала. Также доступны содержимое и страницы руководства лаборатории программного обеспечения mathrec.
• [4] Программное обеспечение на этой странице было разработано специально для эффективного и точного расчета полного спектра показателей. Сюда входит LyapOde для случаев, когда известны уравнения движения, а также Lyap для случаев, связанных с экспериментальными данными временных рядов. LyapOde, который включает исходный код, написанный на "C", также может вычислять условные показатели Ляпунова для связанных идентичных систем. Он предназначен для того, чтобы позволить пользователю предоставить свой собственный набор уравнений модели или использовать один из включенных. Нет никаких неотъемлемых ограничений на количество переменных, параметров и т. д. Lyap, который включает исходный код, написанный на Fortran, также может вычислять векторы направления Ляпунова и может характеризовать сингулярность аттрактора, что является основной причиной трудностей при расчете более отрицательных показателей из данных временных рядов. В обоих случаях есть обширная документация и примеры входных файлов. Программное обеспечение может быть скомпилировано для работы в системах Windows, Mac или Linux/Unix. Программное обеспечение работает в текстовом окне и не имеет графических возможностей, но может генерировать выходные файлы, которые можно легко построить с помощью такой программы, как Excel.

Внешние ссылки

• Эффекты Перрона инверсии знаков показателей Ляпунова