Оптическая передаточная функция

Функция, определяющая, как оптическая система захватывает различные пространственные частоты.

Иллюстрация функции оптической передачи (OTF) и ее связи с качеством изображения. Оптическая передаточная функция хорошо сфокусированной (а) и расфокусированной оптической системы формирования изображений без аберраций (г). Поскольку оптическая передаточная функция этих систем действительна и неотрицательна, оптическая передаточная функция по определению равна передаточной функции модуляции (MTF). Изображения точечного источника и спицевой цели с высокой пространственной частотой показаны на (b,e) и (c,f) соответственно. Обратите внимание, что масштаб изображений точечных источников (b,e) в четыре раза меньше, чем масштаб изображений спиц.

Функция оптической передачи ( OTF ) оптической системы, такой как камера , микроскоп , человеческий глаз или проектор, определяет, как захватываются или передаются различные пространственные частоты. Он используется инженерами-оптиками для описания того, как оптика проецирует свет от объекта или сцены на фотопленку, матрицу детекторов , сетчатку , экран или просто на следующий элемент в цепи оптической передачи. Вариант, передаточная функция модуляции ( MTF ), пренебрегает фазовыми эффектами, но во многих ситуациях эквивалентен OTF.

Любая передаточная функция определяет реакцию на периодический синусоидальный рисунок, проходящий через систему линз, как функцию его пространственной частоты или периода, а также его ориентации. Формально ОТФ определяется как преобразование Фурье функции рассеяния точки ( PSF, то есть импульсная характеристика оптики, изображения точечного источника). Как преобразование Фурье, OTF является комплексным; но оно будет иметь действительное значение в обычном случае PSF, симметричного относительно своего центра. MTF формально определяется как величина (абсолютное значение) комплексного OTF.

На изображении справа показаны функции оптического преобразования для двух разных оптических систем на панелях (а) и (d). Первый соответствует идеальной, ограниченной дифракцией системе визуализации с круглым зрачком . Его передаточная функция примерно постепенно уменьшается с пространственной частотой, пока не достигнет дифракционного предела, в данном случае при 500 циклах на миллиметр или периоде 2 мкм. Поскольку эта система визуализации фиксирует периодические особенности, такие маленькие, как этот период, можно сказать, что ее разрешение составляет 2 мкм. ^[1] На панели (d) показана оптическая система, которая находится не в фокусе. Это приводит к резкому снижению контрастности по сравнению с системой визуализации, ограниченной дифракцией. Видно, что контраст равен нулю около 250 циклов/мм или периодов 4 мкм. Это объясняет, почему изображения для системы вне фокуса (д, е) более размыты, чем изображения для системы, ограниченной дифракцией (б, в). Обратите внимание, что хотя система вне фокуса имеет очень низкий контраст на пространственных частотах около 250 циклов/мм, контраст на пространственных частотах вблизи дифракционного предела 500 циклов/мм ограничен дифракцией. При внимательном рассмотрении изображения на панели (f) видно, что изображение спиц с большой плотностью вблизи центра мишени относительно четкое.

Определение и связанные с ним понятия

Поскольку оптическая передаточная функция ^[2] (OTF) определяется как преобразование Фурье функции рассеяния точки (PSF), она, вообще говоря, представляет собой комплексную функцию пространственной частоты . Проекция определенного периодического паттерна представлена ​​комплексным числом с абсолютным значением и комплексным аргументом, пропорциональным относительному контрасту и сдвигу проецируемой проекции соответственно.

Различные тесно связанные характеристики оптической системы, проявляющей кому, типичную аберрацию, возникающую вне оси. (а) Функция рассеяния точки (PSF) представляет собой изображение точечного источника. (б) Изображение линии называется функцией расширения линии, в данном случае вертикальной линии. Функция расширения линии прямо пропорциональна вертикальной интеграции изображения, распределенного по точкам. Оптическая передаточная функция (OTF) определяется как преобразование Фурье функции разброса точек и, таким образом, обычно представляет собой двумерную комплексную функцию. Обычно показан только одномерный срез (c), соответствующий преобразованию Фурье функции линейного расширения. Толстая зеленая линия обозначает действительную часть функции, тонкая красная линия — мнимую часть. Часто показывается только абсолютное значение сложной функции, это позволяет визуализировать двумерную функцию (г); однако чаще всего отображается только одномерная функция (e). Последняя обычно нормируется на нулевой пространственной частоте и называется передаточной функцией модуляции (MTF). Для полноты комплексный аргумент иногда представляет собой функцию фазового переноса (PhTF), показанную на панели (f).

Часто наибольший интерес представляет снижение контраста, и перевод паттерна можно игнорировать. Относительный контраст определяется абсолютным значением оптической передаточной функции, функции, обычно называемой передаточной функцией модуляции ( MTF ). Его значения показывают, какая часть контраста объекта фиксируется на изображении в зависимости от пространственной частоты. ФПМ имеет тенденцию к уменьшению с увеличением пространственной частоты от 1 до 0 (на дифракционном пределе); однако функция часто не является монотонной . С другой стороны, когда важна также трансляция образов, комплексный аргумент оптической передаточной функции может быть изображен как вторая функция с действительным знаком, обычно называемая функцией фазового переноса ( PhTF ). Комплексную оптическую передаточную функцию можно рассматривать как комбинацию этих двух вещественных функций:

${\displaystyle \mathrm {OTF} (\nu )=\mathrm {MTF} (\nu )e^{i\,\mathrm {PhTF} (\nu )}}$

где

${\displaystyle \mathrm {MTF} (\nu )=\left\vert \mathrm {OTF} (\nu )\right\vert ,}$

${\displaystyle \mathrm {PhTF} (\nu )=\mathrm {arg} (\mathrm {OTF} (\nu )),}$

и представляет функцию комплексного аргумента, а – пространственную частоту периодического паттерна. В общем , это вектор с пространственной частотой для каждого измерения, т.е. он также указывает направление периодической структуры. ${\displaystyle \mathrm {arg} (\cdot )}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \nu }$

Импульсная характеристика хорошо сфокусированной оптической системы представляет собой трехмерное распределение интенсивности с максимумом в фокальной плоскости и, таким образом, может быть измерена путем записи стопки изображений при перемещении детектора в осевом направлении. Следовательно, трехмерную оптическую передаточную функцию можно определить как трехмерное преобразование Фурье импульсной характеристики. Хотя обычно используется только одномерный, а иногда и двумерный разрез, трехмерная оптическая передаточная функция может улучшить понимание работы микроскопов, таких как микроскоп со структурированной подсветкой.

Согласно определению передаточной функции , она должна указывать долю света, обнаруженную от объекта-точечного источника. Однако обычно наиболее важным является контраст относительно общего количества обнаруженного света. Таким образом, обычной практикой является нормализация оптической передаточной функции к обнаруженной интенсивности, следовательно . ${\displaystyle \mathrm {OTF} (0)=\mathrm {MTF} (0)}$ ${\displaystyle \mathrm {MTF} (0)\equiv 1}$

Как правило, оптическая передаточная функция зависит от таких факторов, как спектр и поляризация излучаемого света, а также положение точечного источника. Например, контрастность и разрешение изображения обычно оптимальны в центре изображения и ухудшаются к краям поля зрения. Когда происходят значительные изменения, оптическая передаточная функция может быть рассчитана для набора репрезентативных положений или цветов.

Иногда более практично определить передаточные функции на основе двоичного шаблона черно-белых полос. Передаточная функция для черно-белого периодического узора одинаковой ширины называется передаточной функцией контраста (CTF) . ^[3]

Примеры

OTF идеальной системы линз

Идеальная система линз обеспечит высококонтрастную проекцию без смещения периодической структуры, следовательно, оптическая передаточная функция идентична передаточной функции модуляции. Обычно контраст постепенно снижается до нуля в точке, определяемой разрешением оптики. Например, идеальная, не аберрированная оптическая система формирования изображения с диафрагмой f/4 , используемая на видимой длине волны 500 нм, будет иметь оптическую передаточную функцию, изображенную на правом рисунке.

Передаточная функция и пример изображения идеальной системы визуализации без оптических аберраций (ограниченной дифракцией).

Из графика видно, что контраст постепенно уменьшается и достигает нуля на пространственной частоте 500 циклов на миллиметр, иными словами, оптическое разрешение проекции изображения составляет 1/500 ^{миллиметра} , или 2 микрометра. Соответственно, для этого конкретного устройства формирования изображений спицы становятся все более и более размытыми по направлению к центру, пока не сольются в серый неразрешенный диск. Отметим, что иногда оптическая передаточная функция задается в единицах пространства объекта или образца, угла наблюдения, ширины пленки или нормируется на теоретический максимум. Преобразование между ними обычно заключается в умножении или делении. Например, микроскоп обычно увеличивает все в 10–100 раз, а зеркальная камера обычно уменьшает увеличение объектов на расстоянии 5 метров в 100–200 раз.

Разрешение устройства цифрового изображения ограничено не только оптикой, но и количеством пикселей, в частности расстоянием между ними. Как объясняется теоремой выборки Найквиста-Шеннона , чтобы соответствовать оптическому разрешению данного примера, пиксели каждого цветового канала должны быть разделены на 1 микрометр, что составляет половину периода в 500 циклов на миллиметр. Большее количество пикселей на сенсоре того же размера не позволит получить более мелкие детали. С другой стороны, если расстояние между пикселями превышает 1 микрометр, разрешение будет ограничено расстоянием между пикселями; более того, наложение псевдонимов может привести к дальнейшему снижению точности изображения.

ОТФ несовершенной системы линз

Несовершенная, аберрированная система визуализации может обладать оптической передаточной функцией, изображенной на следующем рисунке.

Передаточная функция и пример изображения системы оптической визуализации f/4 на длине волны 500 нм со сферической аберрацией и стандартным коэффициентом Цернике 0,25.

В идеальной системе линз контраст достигает нуля при пространственной частоте 500 циклов на миллиметр. Однако на более низких пространственных частотах контраст значительно ниже, чем у идеальной системы в предыдущем примере. Фактически, в некоторых случаях контраст становится нулевым даже для пространственных частот ниже 500 циклов на миллиметр. Это объясняет наличие серых круглых полос на изображении спиц, показанном на рисунке выше. Между серыми полосами спицы инвертируются от черного к белому и наоборот , это называется инверсией контраста, напрямую связано с изменением знака в действительной части оптической передаточной функции и представляет собой сдвиг на половина периода для некоторых периодических закономерностей.

Хотя можно утверждать, что разрешение как идеальной, так и несовершенной системы составляет 2 мкм, или 500 пл/мм, ясно, что изображения в последнем примере менее резкие. Определение разрешения, которое больше соответствует воспринимаемому качеству, вместо этого будет использовать пространственную частоту, на которой появляется первый ноль, 10 мкм или 100 LP/мм. Определения разрешения, даже для идеальных систем визуализации, сильно различаются. Более полную и однозначную картину дает оптическая передаточная функция.

ОПФ оптической системы с невращательной симметричной аберрацией

При просмотре через оптическую систему с трилистниковой аберрацией изображение точечного объекта будет иметь вид трехконечной звезды (а). Поскольку функция рассеяния точки не является вращательно-симметричной, ее может хорошо описать только двумерная оптическая передаточная функция (b). Высота графика поверхности указывает абсолютное значение, а оттенок указывает на комплексный аргумент функции. Мишень в виде спицы, отображаемая таким устройством формирования изображения, показана в результате моделирования на (c).

Оптические системы и, в частности, оптические аберрации не всегда вращательно-симметричны. Таким образом, периодические узоры, имеющие разную ориентацию, могут отображаться с разным контрастом, даже если их периодичность одинакова. Таким образом, оптическая передаточная функция или передаточные функции модуляции обычно являются двумерными функциями. На следующих рисунках показан двумерный эквивалент идеальной и несовершенной системы, обсуждавшейся ранее, для оптической системы с трилистником , невращательно-симметричной аберрацией.

Оптические передаточные функции не всегда имеют действительные значения. Паттерны периодов могут смещаться на любую величину, в зависимости от аберрации в системе. Обычно это относится к невращательно-симметричным аберрациям. Оттенок цветов поверхностных графиков на рисунке выше указывает на фазу. Можно видеть, что в то время как для вращательно-симметричных аберраций фаза равна либо 0, либо π и, следовательно, передаточная функция имеет действительное значение, для невращательно-симметричной аберрации передаточная функция имеет мнимую составляющую, и фаза изменяется непрерывно.

Практический пример – видеосистема высокой четкости

В то время как оптическое разрешение , обычно используемое применительно к системам камер, описывает только количество пикселей в изображении и, следовательно, возможность отображения мелких деталей, передаточная функция описывает способность соседних пикселей изменяться с черного на белое в ответ на изменение цвета изображения. узоры различной пространственной частоты и, следовательно, реальную способность отображать мелкие детали как с полным, так и с пониженным контрастом. Изображение, воспроизведенное с помощью оптической передаточной функции, которая «скатывается» на высоких пространственных частотах, в повседневном языке будет выглядеть «размытым».

На примере современной видеосистемы высокой четкости (HD) с разрешением 1920 на 1080 пикселей теорема Найквиста утверждает, что в идеальной системе должно быть возможно полностью разрешить (с истинными переходами от черного к белому) в общей сложности 1920 пикселей. сочетание черных и белых чередующихся линий, иначе называемое пространственной частотой 1920/2 = 960 пар линий на ширину изображения или 960 циклов на ширину изображения (также возможны определения в циклах на единицу угла или на мм, но обычно менее четко видно при работе с камерами и больше подходит для телескопов и т. д.). На практике это далеко не так, и пространственные частоты, приближающиеся к частоте Найквиста, обычно будут воспроизводиться с уменьшающейся амплитудой, так что мелкие детали, хотя и могут быть видны, по контрасту значительно уменьшаются. Это приводит к интересному наблюдению, что, например, телевизионное изображение стандартной четкости, полученное с помощью пленочного сканера, использующего передискретизацию , как описано ниже, может казаться более резким, чем изображение высокой четкости, снятое на камеру с плохой функцией передачи модуляции. Эти два изображения демонстрируют интересную разницу, которую часто упускают из виду: первая имеет полный контраст в деталях до определенного момента, но затем не имеет действительно мелких деталей, тогда как последняя содержит более мелкие детали, но с настолько уменьшенным контрастом, что в целом кажется худшим.

Трехмерная оптическая передаточная функция

Трехмерные функции рассеяния точки (a,c) и соответствующие передаточные функции модуляции (b,d) широкопольного микроскопа (a,b) и конфокального микроскопа (c,d). В обоих случаях числовая апертура объектива равна 1,49, а показатель преломления среды 1,52. Предполагается, что длина волны излучаемого света составляет 600 нм, а в случае конфокального микроскопа — длина волны возбуждающего света 500 нм с круговой поляризацией. Срез вырезается для визуализации внутреннего распределения интенсивности. Цвета, показанные на логарифмической цветовой шкале, обозначают освещенность (a,c) и спектральную плотность (b,d), нормированные к максимальному значению.

Хотя обычно изображение считается плоским или двумерным, система формирования изображения будет создавать трехмерное распределение интенсивности в пространстве изображения, которое в принципе можно измерить. например, двумерный датчик можно преобразовать для получения трехмерного распределения интенсивности. Изображение точечного источника также представляет собой трехмерное (3D) распределение интенсивности, которое может быть представлено функцией трехмерного распределения точек. В качестве примера на рисунке справа показана трехмерная функция распределения точек в пространстве объектов широкоугольного микроскопа (а) рядом с функцией конфокального микроскопа (в). Хотя используется тот же объектив микроскопа с числовой апертурой 1,49, ясно, что функция рассеяния конфокальной точки более компактна как в латеральных размерах (x,y), так и в осевом измерении (z). Можно справедливо заключить, что разрешение конфокального микроскопа превосходит разрешение широкопольного микроскопа во всех трех измерениях.

Трехмерную оптическую передаточную функцию можно рассчитать как трехмерное преобразование Фурье трехмерной функции рассеяния точек. Его величина с цветовой кодировкой показана на панелях (b) и (d) и соответствует функциям разброса точек, показанным на панелях (a) и (c) соответственно. Передаточная функция широкопольного микроскопа имеет опору , которая вдвое меньше, чем у конфокального микроскопа во всех трех измерениях, что подтверждает ранее отмеченное более низкое разрешение широкопольного микроскопа. Обратите внимание, что вдоль оси z при x  =  y  = 0 передаточная функция равна нулю везде, кроме начала координат. Отсутствие конуса — хорошо известная проблема, которая не позволяет делать оптические срезы с помощью широкоугольного микроскопа. ^[4]

Двумерная оптическая передаточная функция в фокальной плоскости может быть рассчитана путем интегрирования трехмерной оптической передаточной функции вдоль оси z . Хотя трехмерная передаточная функция широкопольного микроскопа (б) равна нулю на оси z при z  ≠ 0; ее интеграл, двумерный оптический перенос, достигает максимума при x  =  y  = 0. Это возможно только потому, что трехмерная оптическая передаточная функция расходится в начале координат x  =  y  =  z  = 0. Значения функции вдоль оси z Оптическая передаточная функция 3D соответствует дельта-функции Дирака .

Расчет

Большинство программ для оптического проектирования имеют функциональные возможности для расчета оптической или модуляционной передаточной функции конструкции линзы. Идеальные системы, подобные приведенным здесь примерам, легко рассчитываются численно с использованием такого программного обеспечения, как Julia , GNU Octave или Matlab , а в некоторых конкретных случаях даже аналитически. Оптическая передаточная функция может быть рассчитана двумя подходами: ^[5]

1. как преобразование Фурье функции рассеяния некогерентной точки , или
2. как автокорреляция функции зрачка оптической системы

Математически оба подхода эквивалентны. Численные вычисления обычно наиболее эффективно выполняются с помощью преобразования Фурье; однако аналитические расчеты могут быть более удобными при использовании подхода автокорреляции.

Пример

Идеальная система линз с круглой апертурой

Автокорреляция функции зрачка

Поскольку оптическая передаточная функция представляет собой преобразование Фурье функции рассеяния точки , а функция рассеяния точки представляет собой абсолютный квадрат обратной преобразованной функции зрачка Фурье , оптическая передаточная функция также может быть рассчитана непосредственно из функции зрачка . Из теоремы о свертке видно, что оптическая передаточная функция на самом деле является автокорреляцией функции зрачка . ^[5]

Зрачковая функция идеальной оптической системы с круглой апертурой представляет собой диск единичного радиуса. Таким образом, оптическая передаточная функция такой системы может быть рассчитана геометрически по площади пересечения двух одинаковых дисков на расстоянии , где – пространственная частота, нормированная на наивысшую передаваемую частоту. ^[2] Обычно оптическая передаточная функция нормализуется до максимального значения, равного единице для , поэтому полученную площадь следует разделить на . ${\displaystyle 2\nu }$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \nu =0}$ ${\displaystyle \pi }$

Площадь пересечения можно рассчитать как сумму площадей двух одинаковых сегментов окружности : , где – угол сегмента окружности. Подставив и используя равенства и , уравнение площади можно переписать как . Следовательно, нормированная оптическая передаточная функция определяется выражением: ${\displaystyle \theta /2-\sin(\theta )/2}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle |\nu |=\cos(\theta /2)}$ ${\displaystyle \sin(\theta )/2=\sin(\theta /2)\cos(\theta /2)}$ ${\displaystyle 1=\nu ^{2}+\sin(\arccos(|\nu |))^{2}}$ ${\displaystyle \arccos(|\nu |)-|\nu |{\sqrt {1-\nu ^{2}}}}$

${\displaystyle \operatorname {OTF} (\nu )={\frac {2}{\pi }}\left(\arccos(|\nu |)-|\nu |{\sqrt {1-\nu ^{2}}}\right).}$

Более подробное обсуждение можно найти в ^[5] и. ^{[2] : 152–153.}

Численная оценка

Одномерную оптическую передаточную функцию можно рассчитать как дискретное преобразование Фурье функции расширения линии. Эти данные отображаются на графике относительно данных пространственной частоты . В этом случае полином шестого порядка подгоняется к кривой зависимости MTF от пространственной частоты , чтобы показать тенденцию. Частота среза 50% определяется для получения соответствующей пространственной частоты. Таким образом, по этим данным определяется приблизительное положение наилучшего фокуса испытуемого агрегата .

Данные MTF в зависимости от пространственной частоты нормализуются путем подгонки к ним полинома шестого порядка, образующего плавную кривую. Определяется 50%-ная частота среза и находится соответствующая пространственная частота , что дает приблизительное положение наилучшего фокуса .

Преобразование Фурье функции рассеяния линии (LSF) не может быть определено аналитически с помощью следующих уравнений:

${\displaystyle \operatorname {MTF} ={\mathcal {F}}\left[\operatorname {LSF} \right]\qquad \qquad \operatorname {MTF} =\int f(x)e^{-i2\pi \,xs}\,dx}$

Следовательно, преобразование Фурье численно аппроксимируется с использованием дискретного преобразования Фурье . ^[6] ${\displaystyle {\mathcal {DFT}}}$

${\displaystyle \operatorname {MTF} ={\mathcal {DFT}}[\operatorname {LSF} ]=Y_{k}=\sum _{n=0}^{N-1}y_{n}e^{-ik{\frac {2\pi }{N}}n}\qquad k\in [0,N-1]}$

где

• ${\displaystyle Y_{k}\,}$= значение MTF ${\displaystyle k^{\text{th}}}$
• ${\displaystyle N\,}$= количество точек данных
• ${\displaystyle n\,}$= индекс
• ${\displaystyle k\,}$= срок данных LSF ${\displaystyle k^{\text{th}}}$
• ${\displaystyle y_{n}\,}$= положение пикселя ${\displaystyle n^{\text{th}}\,}$
• ${\displaystyle i={\sqrt {-1}}}$

${\displaystyle e^{\pm ia}=\cos(a)\,\pm \,i\sin(a)}$

${\displaystyle \operatorname {MTF} ={\mathcal {DFT}}[\operatorname {LSF} ]=Y_{k}=\sum _{n=0}^{N-1}y_{n}\left[\cos \left(k{\frac {2\pi }{N}}n\right)-i\sin \left(k{\frac {2\pi }{N}}n\right)\right]\qquad k\in [0,N-1]}$

Затем MTF строится в зависимости от пространственной частоты, и все соответствующие данные, касающиеся этого теста, могут быть определены из этого графика.

Векторная передаточная функция

При высоких числовых апертурах, например тех, которые обнаруживаются в микроскопии, важно учитывать векторную природу полей, переносящих свет. Разлагая волны на три независимые компоненты, соответствующие декартовым осям, можно рассчитать функцию рассеяния точки для каждого компонента и объединить ее в векторную функцию рассеяния точки. Аналогичным образом можно определить векторную оптическую передаточную функцию, как показано в ( ^[7] ) и ( ^[8] ).

Измерение

Функция оптической передачи полезна не только при проектировании оптических систем, но и для определения характеристик производимых систем.

Начиная с функции распространения точки

Оптическая передаточная функция определяется как преобразование Фурье импульсной характеристики оптической системы, также называемое функцией рассеяния точки . Таким образом, оптическую передаточную функцию легко получить, сначала получив изображение точечного источника и применив двумерное дискретное преобразование Фурье к дискретному изображению. Таким точечным источником может быть, например, яркий свет за экраном с точечным отверстием, флуоресцентная или металлическая микросфера или просто точка, нарисованная на экране. Расчет оптической передаточной функции с помощью функции рассеяния точки является универсальным, поскольку позволяет полностью охарактеризовать оптику с пространственными изменяющимися и хроматическими аберрациями, повторяя процедуру для различных положений и спектров длин волн точечного источника.

Использование расширенных тестовых объектов для пространственно-инвариантной оптики

Когда можно предположить, что аберрации пространственно инвариантны, для определения оптической передаточной функции можно использовать альтернативные шаблоны, такие как линии и края. Соответствующие передаточные функции называются функцией расширения линии и функцией расширения края соответственно. Такие протяженные объекты освещают больше пикселей изображения и могут повысить точность измерений за счет большего отношения сигнал/шум. Оптическая передаточная функция в этом случае рассчитывается как двумерное дискретное преобразование Фурье изображения и делится на преобразование расширенного объекта. Обычно используется линия или черно-белый край.

Функция расширения линии

Двумерное преобразование Фурье линии, проходящей через начало координат, представляет собой линию, ортогональную ей и проходящую через начало координат. Таким образом, делитель равен нулю для всех измерений, кроме одного, и, как следствие, оптическая передаточная функция может быть определена только для одного измерения с использованием одной функции расширения линии (LSF). При необходимости двумерную оптическую передаточную функцию можно определить, повторяя измерения с линиями под разными углами.

Функцию расширения линии можно найти двумя разными методами. Его можно найти непосредственно из аппроксимации идеальной линии, полученной с помощью щелевой тестовой мишени, или его можно получить из функции расширения края, обсуждаемой в следующем подразделе.

Функция расширения края

Двумерное преобразование Фурье ребра также не равно нулю только на одной линии, ортогональной ребру. Эту функцию иногда называют функцией расширения края (ESF). ^{[9] [10]} Однако значения на этой линии обратно пропорциональны расстоянию от начала координат. Хотя изображения измерений, полученные с помощью этого метода, освещают большую площадь камеры, это в основном повышает точность на низких пространственных частотах. Как и в случае с функцией расширения линии, каждое измерение определяет только одну ось оптической передаточной функции, поэтому необходимы повторные измерения, если оптическая система не может считаться вращательно-симметричной.

При оценке ESF оператор определяет площадь прямоугольника, эквивалентную 10% ^{[ нужна ссылка ]} от общей площади кадра тестовой мишени с острой кромкой, подсвеченной сзади черным телом . Область определяется так, чтобы охватывать край целевого изображения.

Как показано на рисунке справа, оператор определяет область прямоугольника, охватывающую край изображения тестовой цели с острой кромкой , подсвеченного сзади черным телом . Площадь рамки определяется как примерно 10% ^от общей площади ^{кадра .} Данные пикселей изображения преобразуются в двумерный массив ( интенсивность пикселя и положение пикселя). Амплитуда (интенсивность пикселей) каждой линии массива нормализуется и усредняется. Это дает функцию распространения края.

${\displaystyle \operatorname {ESF} ={\frac {X-\mu }{\sigma }}\qquad \qquad \sigma \,={\sqrt {\frac {\sum _{i=0}^{n-1}(x_{i}-\mu \,)^{2}}{n}}}\qquad \qquad \mu \,={\frac {\sum _{i=0}^{n-1}x_{i}}{n}}}$

где

• ESF = выходной массив нормализованных данных интенсивности пикселей.
• ${\displaystyle X\,}$= входной массив данных интенсивности пикселей
• ${\displaystyle x_{i}\,}$= i ^-й элемент ${\displaystyle X\,}$
• ${\displaystyle \mu \,}$= среднее значение данных интенсивности пикселей
• ${\displaystyle \sigma \,}$= стандартное отклонение данных интенсивности пикселей
• ${\displaystyle n\,}$= количество пикселей, используемых в среднем

Функция расширения линии идентична первой производной функции расширения края, ^[11] которая дифференцируется с помощью численных методов . В случае, если более практично измерить функцию распространения края, можно определить функцию расширения линии следующим образом:

${\displaystyle \operatorname {LSF} ={\frac {d}{dx}}\operatorname {ESF} (x)}$

Обычно ESF известен только в дискретных точках, поэтому LSF численно аппроксимируется с использованием конечной разности :

${\displaystyle \operatorname {LSF} ={\frac {d}{dx}}\operatorname {ESF} (x)\approx {\frac {\Delta \operatorname {ESF} }{\Delta x}}}$

${\displaystyle \operatorname {LSF} \approx {\frac {\operatorname {ESF} _{i+1}-\operatorname {ESF} _{i-1}}{2(x_{i+1}-x_{i})}}}$

где:

• ${\displaystyle i\,}$= индекс ${\displaystyle i=1,2,\dots ,n-1}$
• ${\displaystyle x_{i}\,}$= положение пикселя ${\displaystyle i^{\text{th}}\,}$ ${\displaystyle i^{\text{th}}\,}$
• ${\displaystyle \operatorname {ESF} _{i}\,}$= ESF пикселя ${\displaystyle i^{\text{th}}\,}$

Использование сетки из черно-белых линий

Хотя о «резкости» часто судят по сетке из чередующихся черных и белых линий, ее следует строго измерять с использованием синусоидального изменения от черного к белому (размытая версия обычного рисунка). Там, где используется прямоугольная волна (простые черные и белые линии), не только существует больший риск наложения спектров, но необходимо учитывать тот факт, что основная составляющая прямоугольной волны выше, чем амплитуда самой прямоугольной волны ( гармонические компоненты уменьшают пиковую амплитуду). Таким образом, испытательная таблица прямоугольных волн покажет оптимистичные результаты (лучшее разрешение высоких пространственных частот, чем достигается на самом деле). Результат прямоугольной волны иногда называют «функцией передачи контраста» (CTF).

Факторы, влияющие на MTF в типичных системах камер

На практике многие факторы приводят к значительному размытию воспроизводимого изображения, например, узоры с пространственной частотой чуть ниже частоты Найквиста могут быть даже не видны, а самые мелкие узоры могут выглядеть «размытыми» как оттенки серого, а не черного и белый. Основным фактором обычно является невозможность создания идеального оптического фильтра «кирпичной стены» (часто реализуемого в виде «фазовой пластины» или объектива со специфическими свойствами размытия в цифровых камерах и видеокамерах). Такой фильтр необходим для уменьшения наложения спектров за счет устранения пространственных частот дисплея, превышающих частоту Найквиста .

Передискретизация и преобразование с понижением частоты для сохранения функции оптической передачи

Единственный практический способ приблизиться к теоретической резкости, возможной в цифровой системе обработки изображений, такой как камера, — это использовать в сенсоре камеры больше пикселей, чем выборок в конечном изображении, и «конвертировать с понижением» или «интерполировать» с использованием специальной цифровой обработки, которая сокращает отключите высокие частоты выше частоты Найквиста , чтобы избежать наложений, сохраняя при этом достаточно ровную MTF до этой частоты. Этот подход был впервые использован в 1970-х годах, когда были разработаны сканеры летающих пятен, а позже были разработаны линейные сканеры CCD , которые отбирали больше пикселей, чем было необходимо, а затем преобразовывали их с понижением частоты, поэтому фильмы всегда выглядели на телевидении более четкими, чем другие материалы, снятые видеокамерой. . Единственный теоретически правильный способ интерполяции или преобразования с понижением частоты — использование крутого пространственного фильтра нижних частот, реализуемого путем свертки с двумерной весовой функцией sin( x )/ x , которая требует мощной обработки. На практике для снижения требований к обработке используются различные математические аппроксимации. Эти аппроксимации сейчас широко реализованы в системах редактирования видео и программах обработки изображений, таких как Photoshop .

Точно так же, как видео стандартной четкости с высокой контрастностью MTF возможно только при передискретизации, так и телевидение высокой четкости с полной теоретической четкостью возможно только в том случае, если начать с камеры, которая имеет значительно более высокое разрешение, с последующей цифровой фильтрацией. Поскольку фильмы теперь снимаются в формате 4K и даже 8K для кинотеатров, мы можем ожидать, что лучшее изображение на HDTV будет получено только из фильмов или материалов, снятых по более высоким стандартам. Как бы мы ни увеличивали количество пикселей, используемых в камерах, это всегда будет оставаться верным при отсутствии идеального оптического пространственного фильтра. Точно так же 5-мегапиксельное изображение, полученное с помощью 5-мегапиксельной фотокамеры, никогда не может быть более резким, чем 5-мегапиксельное изображение, полученное после понижающего преобразования с 10-мегапиксельной фотокамеры такого же качества. Из-за проблемы поддержания высокой контрастности MTF такие вещательные компании, как BBC , долгое время рассматривали возможность сохранения телевидения стандартной четкости, но улучшения его качества за счет съемки и просмотра с использованием гораздо большего количества пикселей (хотя, как упоминалось ранее, такая система, хотя и впечатляет , в конечном итоге не хватает очень мелких деталей, которые, хотя и ослаблены, усиливают эффект настоящего просмотра в формате HD).

Еще одним фактором в цифровых фотоаппаратах и ​​видеокамерах является разрешение объектива. Можно сказать, что объектив «разрешает» 1920 горизонтальных линий, но это не означает, что он делает это с полной модуляцией от черного к белому. «Передаточная функция модуляции» (просто термин, обозначающий величину оптической передаточной функции без учета фазы) дает истинную меру характеристик объектива и представлена ​​графиком зависимости амплитуды от пространственной частоты.

Дифракция апертуры объектива также ограничивает MTF. Хотя уменьшение апертуры объектива обычно уменьшает аберрации и, следовательно, улучшает плоскостность MTF, существует оптимальная диафрагма для любого объектива и размера датчика изображения, за пределами которой меньшая апертура снижает разрешение из-за дифракции, которая распределяет свет по датчику изображения. Это вряд ли было проблемой во времена пластинчатых фотоаппаратов и даже 35-миллиметровой пленки, но стало непреодолимым ограничением из-за сенсоров очень маленького формата, используемых в некоторых цифровых камерах и особенно видеокамерах. В потребительских видеокамерах HD первого поколения использовались 1/4-дюймовые сенсоры, для которых апертура меньше f4 начинает ограничивать разрешение. Даже профессиональные видеокамеры в основном используют сенсоры размером 2/3 дюйма, что запрещает использование диафрагм около f16, что считалось бы нормальным для киноформатов. Некоторые камеры (например, Pentax K10D ) имеют режим «автоэкспозиции MTF», в котором выбор диафрагмы оптимизируется для максимальной резкости. Обычно это означает где-то в середине диапазона диафрагмы. ^[12]

Тенденция к широкоформатным зеркалкам и улучшенный потенциал MTF

В последнее время произошел сдвиг в сторону использования цифровых однообъективных зеркальных камер большого формата , обусловленный необходимостью обеспечения чувствительности при слабом освещении и малой глубины резкости . Это привело к тому, что некоторые создатели фильмов и телепрограмм стали отдавать предпочтение таким камерам даже профессиональным HD-видеокамерам из-за их «кинематографического» потенциала. Теоретически использование камер с 16- и 21-мегапиксельными сенсорами дает возможность добиться почти идеальной резкости за счет понижающего преобразования внутри камеры с цифровой фильтрацией для устранения алиасинга. Такие камеры дают очень впечатляющие результаты и, похоже, лидируют в видеопроизводстве в направлении преобразования с понижением частоты широкоформатного изображения, при этом цифровая фильтрация становится стандартным подходом к реализации плоского MTF с истинной свободой от наложения спектров.

Цифровая инверсия OTF

Из-за оптических эффектов контраст может быть неоптимальным и приближаться к нулю до того, как будет достигнута частота Найквиста дисплея. Уменьшение оптического контраста можно частично обратить вспять путем выборочного цифрового усиления пространственных частот перед отображением или дальнейшей обработкой. Хотя существуют более совершенные процедуры восстановления цифровых изображений , алгоритм деконволюции Винера часто используется из-за его простоты и эффективности. Поскольку этот метод умножает пространственные спектральные компоненты изображения, он также усиливает шум и ошибки, например, из-за наложения спектров. Поэтому он эффективен только для записей хорошего качества с достаточно высоким соотношением сигнал/шум.

Ограничения

В общем, функция рассеяния точки , изображения точечного источника, также зависит от таких факторов, как длина волны ( цвет ) и угол поля (боковое положение точечного источника). Когда такое изменение достаточно постепенное, оптическая система может характеризоваться набором оптических передаточных функций. Однако, когда изображение точечного источника резко меняется при боковом перемещении, оптическая передаточная функция неточно описывает оптическую систему.

Смотрите также

• Боке
• Гамма-коррекция
• Минимальный разрешимый контраст
• Минимальная разрешимая разница температур
• Оптическое разрешение
• Отношение сигнал шум
• Функция передачи сигнала
• Коэффициент Штреля
• Функция передачи
• Кодирование волнового фронта

Рекомендации

1. Точное определение разрешения может варьироваться и часто принимается в 1,22 раза больше, чем определено критерием Рэлея .
2. Уильямс, Чарльз С. (2002). Введение в оптическую передаточную функцию . SPIE – Международное общество оптической инженерии. ISBN 0-8194-4336-0.
3. «Функция передачи контраста» . Проверено 16 ноября 2013 г.
4. Масиас-Гарза, Ф.; Бовик, А.; Диллер, К.; Аггарвал, С.; Аггарвал, Дж. (1988). «Проблема отсутствующего конуса и низкочастотные искажения в оптической микроскопии последовательных срезов». ICASSP-88., Международная конференция по акустике, речи и обработке сигналов . Том. 2. С. 890–893. дои : 10.1109/ICASSP.1988.196731. S2CID  120191405.
5. Гудман, Джозеф (2005). Введение в оптику Фурье (3-е изд.). Издательство Робертс и Ко. ISBN 0-9747077-2-4.
6. Чапра, Южная Каролина; Канале, РП (2006). Численные методы для инженеров (5-е изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: МакГроу-Хилл
7. Шеппард, CJR; Ларкин, К. (1997). «Векторные зрачковые функции и векторные передаточные функции» (PDF) . Оптик-Штутгарт . 107 : 79–87.
8. Арнисон, MR; Шеппард, CJR (2002). «Трехмерная векторная оптическая передаточная функция, подходящая для произвольных функций зрачка». Оптические коммуникации . 211 (1–6): 53–63. Бибкод : 2002OptCo.211...53A. дои : 10.1016/S0030-4018(02)01857-6.
9. Холст, GC (1998). Тестирование и оценка систем инфракрасной визуализации (2-е изд.). Флорида: JCD Publishing, Вашингтон: SPIE.
10. «Тестирование и измерение - Продукты - EOI» . www.Electro-Optical.com . Архивировано из оригинала 28 августа 2008 года . Проверено 2 января 2018 г.
11. Маццетта, JA; Скопац, С.Д. (2007). Автоматизированное тестирование датчиков ультрафиолетового, видимого и инфракрасного диапазона с использованием общей оптики. Системы инфракрасной визуализации: анализ конструкции, моделирование и тестирование XVIII, Vol. 6543 , стр. 654313-1 654313-14
12. "B2BVideoSource.com: Терминология камеры" . www.B2BVideoSource.com . Проверено 2 января 2018 г.

Внешние ссылки

• «Функция передачи модуляции», Гленн Д. Бореман на SPIE Optipedia.
• «Как измерить MTF и другие свойства линз», автор Optikos Corporation.