Винеровская деконволюция

В математике деконволюция Винера представляет собой применение фильтра Винера для решения проблем шума , присущих деконволюции . Он работает в частотной области , пытаясь минимизировать влияние деконволюционного шума на частотах с плохим соотношением сигнал/шум .

Метод деконволюции Винера широко используется в приложениях деконволюции изображений , поскольку частотный спектр большинства визуальных изображений довольно хорошо ведет себя и его можно легко оценить.

Деконволюция Винера названа в честь Норберта Винера .

Определение

Учитывая систему:

{\ displaystyle \ y (t) = (h * x) (t) + n (t)}

где обозначает свертку и: $*$

$\ х (т)$ это некоторый исходный сигнал (неизвестный) в момент времени . $\ т$
${\ displaystyle \ час (т)}$ - известная импульсная характеристика линейной стационарной системы.
${\ displaystyle \ п (т)}$ — это некий неизвестный аддитивный шум, независимый от $\ х (т)$
${\ displaystyle \ y (t)}$ это наш наблюдаемый сигнал

Наша цель — найти некоторые из них , чтобы мы могли оценить следующим образом: ${\ displaystyle \ г (т)}$ $\ х (т)$

\ {\hat {x}} (t) = (g*y) (t)

где – оценка , минимизирующая среднеквадратическую ошибку $\ {\hat {x}}(t)$ $\ х (т)$

\ \epsilon (t)=\mathbb {E} \left|x(t)-{\hat {x}}(t)\right|^{2}

с обозначением ожидания . Фильтр деконволюции Винера обеспечивает такую возможность . Фильтр проще всего описать в частотной области : $\ \mathbb {E}$ ${\ displaystyle \ г (т)}$

\ G(f)={\frac {H^{*}(f)S(f)}{|H(f)|^{2}S(f)+N(f)}}

где:

${\ displaystyle \ G (е)}$ и являются преобразованиями Фурье и , ${\ Displaystyle \ Ч (е)}$ ${\ displaystyle \ г (т)}$ ${\ displaystyle \ час (т)}$
$\ S(f)=\mathbb {E} |X(f)|^{2}$ — средняя спектральная плотность мощности исходного сигнала , $\ х (т)$
$\ N(f)=\mathbb {E} |V(f)|^{2}$ — средняя спектральная плотность мощности шума , ${\ displaystyle \ п (т)}$
$X (е)$ , , и – преобразования Фурье , и , и соответственно, $Y (е)$ $V (е)$ ${\ displaystyle x (t)}$ $y (т)$ ${\ displaystyle n (t)}$
верхний индекс обозначает комплексное сопряжение . ${}^{*}$

Операция фильтрации может выполняться либо во временной области, как указано выше, либо в частотной области:

{\ Displaystyle \ {\ шляпа {X}} (е) = G (е) Y (е)}

а затем выполнить обратное преобразование Фурье , чтобы получить . ${\ displaystyle \ {\ шляпа {X}} (е)}$ $\ {\hat {x}}(t)$

Обратите внимание, что в случае изображений аргументы и выше становятся двумерными; однако результат тот же. $\ т$ $\ е$

Интерпретация

Работа фильтра Винера становится очевидной, если переписать приведенное выше уравнение фильтра:

{\begin{aligned}G(f)&={\frac {1}{H(f)}}\left[{\frac {1}{1+1/(|H(f)|^ {2}\mathrm {SNR} (f))}}\right]\end{aligned}}

Здесь – обратная исходная система, – отношение сигнал/шум , – отношение чистого отфильтрованного сигнала к спектральной плотности шума. Когда шум нулевой (т.е. бесконечное соотношение сигнал/шум), член в квадратных скобках равен 1, что означает, что фильтр Винера является просто обратной системой, как и следовало ожидать. Однако по мере увеличения шума на определенных частотах отношение сигнал/шум падает, поэтому член в квадратных скобках также уменьшается. Это означает, что фильтр Винера ослабляет частоты в соответствии с их отфильтрованным соотношением сигнал/шум. $\ 1/H (е)$ ${\ displaystyle \ \ mathrm {SNR} (е) = S (f)/N (f)}$ $\ |H(f)|^{2}\mathrm {SNR} (f)$

Приведенное выше уравнение фильтра Винера требует от нас знания спектрального состава типичного изображения, а также содержания шума. Зачастую у нас нет доступа к этим точным количествам, но мы можем оказаться в ситуации, когда можно сделать точные оценки. Например, в случае фотографических изображений сигнал (исходное изображение) обычно имеет сильные низкие частоты и слабые высокие частоты, тогда как во многих случаях содержание шума будет относительно равномерным в зависимости от частоты.

Вывод

Как упоминалось выше, мы хотим получить оценку исходного сигнала, которая минимизирует среднеквадратическую ошибку, которую можно выразить следующим образом:

\ \epsilon (f)=\mathbb {E} \left|X(f)-{\hat {X}}(f)\right|^{2}

Эквивалентность предыдущему определению может быть получена с помощью теоремы Планшереля или теоремы Парсеваля для преобразования Фурье . $\epsilon$

Если мы заменим в выражении на , то вышеприведенное можно преобразовать в ${\ displaystyle \ {\ шляпа {X}} (е)}$

{\begin{aligned}\epsilon (f)&=\mathbb {E} \left|X(f)-G(f)Y(f)\right|^{2}\\&=\mathbb {E} \left|X(f)-G(f)\left[H(f)X(f)+V(f)\right]\right|^{2}\\&=\mathbb {E} {\big |}\left[1-G(f)H(f)\right]X(f)-G(f)V(f){\big |}^{2}\end{aligned}}

Если разложить квадратное, то получим следующее:

{\begin{aligned}\epsilon (f)&={\Big [}1-G(f)H(f){\Big ]}{\Big [}1-G(f)H(f) ){\Big ]}^{*}\,\mathbb {E} |X(f)|^{2}\\&{}-{\Big [}1-G(f)H(f){\ Big ]}G^{*}(f)\,\mathbb {E} {\Big \{}X(f)V^{*}(f){\Big \}}\\&{}-G( е) {\Big [}1-G(f)H(f){\Big ]}^{*}\,\mathbb {E} {\Big \{}V(f)X^{*}(f ){\Big \}}\\&{}+G(f)G^{*}(f)\,\mathbb {E} |V(f)|^{2}\end{aligned}}

Однако мы предполагаем, что шум не зависит от сигнала, поэтому:

\ \mathbb {E} {\Big \{}X(f)V^{*}(f){\Big \}}=\mathbb {E} {\Big \{}V(f)X ^{*}(f){\Big \}}=0

Подставляя спектральные плотности мощности и , имеем: ${\ displaystyle \ S (е)}$ $\ N (е)$

\epsilon (f)={\Big [}1-G(f)H(f){\Big ]}{\Big [}1-G(f)H(f){\Big ]}^ {*}S(f)+G(f)G^{*}(f)N(f)

Для нахождения минимального значения погрешности вычислим производную Виртингера по и приравняем ее нулю. ${\ displaystyle \ G (е)}$

\ {\frac {d\epsilon (f)}{dG(f)}}=0\Rightarrow G^{*}(f)N(f)-H(f){\Big [}1- G(f)H(f){\Big ]}^{*}S(f)=0

Это окончательное равенство можно переставить, чтобы получить фильтр Винера.

Смотрите также

На Wikimedia Commons есть медиафайлы, связанные с примером деконволюции Винера на размытом изображении в движении (и исходные коды в MATLAB/GNU Octave).

Внешние ссылки