Функция Конвея по основанию 13

Контрпример к обращению теоремы о промежуточном значении

Функция Конвея по основанию 13 — это функция, созданная британским математиком Джоном Х. Конвеем в качестве контрпримера к обратной теореме о промежуточном значении . Другими словами, это функция, которая удовлетворяет определенному свойству промежуточного значения — на любом интервале функция принимает каждое значение между и — но не является непрерывной . ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(a)}$ ${\displaystyle f(b)}$

В 2018 году Аксель Бергфельдт опубликовал на математическом сайте StackExchange гораздо более простую функцию, свойство которой каждое открытое множество отображается на полную вещественную линию. ^[1] Эта функция также нигде не непрерывна.

Цель

Функция Конвея по основанию 13 была создана как часть деятельности по «производству»: в данном случае задача состояла в том, чтобы создать простую для понимания функцию, которая принимает каждое действительное значение в каждом интервале, то есть является всюду сюръективной . функция . ^[2] Таким образом, оно разрывно в каждой точке .

Эскиз определения

• Каждое действительное число может быть представлено по основанию 13 уникальным каноническим способом; в таких представлениях используются цифры 0–9 плюс три дополнительных символа, скажем, {A, B, C}. Например, число 54349589 имеет представление по основанию 13 . ${\displaystyle x}$B34C128
• Если вместо {A, B, C} мы разумно выберем символы {+, -, .}, некоторые числа по основанию 13 будут иметь представление, похожее на правильные десятичные дроби по основанию 10: например, число 54349589 имеет представление по основанию 13 −34.128. Конечно, большинство чисел таким образом не будут понятны; например, число 3629265 имеет представление по основанию 13 9+0−−7.
• Функция Конвея по основанию 13 принимает действительное число x и рассматривает его представление по основанию 13 как последовательность символов {0, 1, ..., 9, +, -, .} . Если с некоторой позиции представление выглядит как правильное десятичное число r , то f ( x ) = r . В противном случае f ( x ) = 0. (Правильный формат означает, что он начинается с символа + или –, содержит ровно один символ десятичной точки, а в противном случае содержит только цифры 0–9). Например, если число x имеет представление 8++2.19+0−−7+3.141592653..., то f ( x ) = +3,141592653....

Определение

Функция Конвея по основанию 13 — это функция, определенная следующим образом. Запишите значение аргумента в виде трехдесятичного числа («десятичное число» по основанию 13 ), используя 13 символов в качестве «цифр»: 0, 1, ..., 9, A, B, C ; не должно быть повторяющихся завершающих букв C. Может быть ведущий знак, а где-то будет стоять тройная запятая, отделяющая целую часть от дробной; в дальнейшем оба этих параметра следует игнорировать. Эти «цифры» можно рассматривать как имеющие значения от 0 до 12 соответственно; Первоначально Конвей использовал цифры «+», «-» и «». вместо A, B, C и подчеркнул все «цифры» с основанием 13, чтобы четко отличать их от обычных цифр и символов с основанием 10. ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x}$

• Если с какого-то момента трехдесятичное представление имеет вид , в котором все цифры и находятся, то в обычной системе счисления с основанием 10 . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle Ax_{1}x_{2}\dots x_{n}Cy_{1}y_{2}\dots }$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle y_{j}}$ ${\displaystyle \{0,\dots ,9\},}$ ${\displaystyle f(x)=x_{1}\dots x_{n}.y_{1}y_{2}\dots }$
• Аналогично, если трехдесятичное разложение заканчивается на then ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle Bx_{1}x_{2}\dots x_{n}Cy_{1}y_{2}\dots ,}$ ${\displaystyle f(x)=-x_{1}\dots x_{n}.y_{1}y_{2}\dots .}$
• В противном случае, ${\displaystyle f(x)=0.}$

Например:

• ${\displaystyle f(\mathrm {12345A3C14.159} \dots _{13})=f(\mathrm {A3C14.159} \dots _{13})=3.14159\dots ,}$
• ${\displaystyle f(\mathrm {B1C234} _{13})=-1.234,}$
• ${\displaystyle f(\mathrm {1C234A567} _{13})=0.}$

Характеристики

• Согласно теореме о промежуточном значении, каждая непрерывная действительная функция обладает свойством промежуточного значения: на каждом интервале ( a ,  b ) функция проходит через каждую точку между ними и Функция Конвея по основанию 13 показывает, что обратное неверно: она удовлетворяет свойству промежуточного значения, но не является непрерывным. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(a)}$ ${\displaystyle f(b).}$
• Фактически, функция Конвея по основанию 13 обладает гораздо более сильным свойством промежуточного значения — на каждом интервале ( a ,  b ) функция проходит через каждое действительное число . В результате он удовлетворяет гораздо более сильному свойству разрыва — он разрывен всюду. ${\displaystyle f}$
• Из сказанного следует еще больше относительно разрыва функции — ее график плотен в . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$
• Чтобы доказать, что функция Конвея по основанию 13 удовлетворяет этому более сильному промежуточному свойству, пусть ( a ,  b ) будет интервалом, пусть c будет точкой в ​​этом интервале и пусть r будет любым действительным числом. Создайте кодировку r по основанию 13 следующим образом: начиная с представления r по основанию 10 , замените десятичную точку на C и укажите знак r , добавив либо A (если r положительное значение), либо B (если r отрицательно) к началу. По определению функции Конвея по основанию 13, результирующая строка обладает свойством. Более того, любая строка по основанию 13, оканчивающаяся на, будет иметь это свойство. Таким образом, если мы заменим хвостовую часть c полученным числом, будет f ( c ' ) = r . Введя эту модификацию достаточно далеко в трехдесятичном представлении, вы можете гарантировать, что новое число по-прежнему будет лежать в интервале. Это доказывает, что для любого числа r в каждом интервале мы можем найти точку такую, что ${\displaystyle {\hat {r}}}$ ${\displaystyle f({\hat {r}})=r.}$ ${\displaystyle {\hat {r}}}$ ${\displaystyle {\hat {r}},}$ ${\displaystyle c,}$ ${\displaystyle c'}$ ${\displaystyle (a,b).}$ ${\displaystyle c'}$ ${\displaystyle f(c')=r.}$
• Таким образом, функция Конвея по основанию 13 всюду разрывна: действительная функция, непрерывная в точке x, должна быть локально ограничена в точке x , т. е. она должна быть ограничена на некотором интервале вокруг x . Но, как показано выше, функция Конвея по основанию 13 не ограничена на каждом интервале вокруг каждой точки; следовательно, оно нигде не непрерывно.
• Функция Конвея по основанию 13 отображает почти все действительные числа в любом интервале в 0. ^[3]

Смотрите также

• Функция Дарбу  . Все производные финансовые инструменты обладают свойством промежуточной стоимости.Страницы с краткими описаниями целей перенаправления.

Рекомендации

1. «Открытые карты, которые не являются непрерывными» . Математика обмена стеками . 27 сентября 2018 г. В ответ на вопрос . Проверено 10 июля 2023 г.
2. Бернарди, Клаудио (февраль 2016 г.). «Графики реальных функций с патологическим поведением». Мягкие вычисления . 11 : 5–6. arXiv : 1602.07555 . Бибкод : 2016arXiv160207555B.
3. Штейн, Ной. «Измерима ли функция Конвея по основанию 13?». mathoverflow . Проверено 6 августа 2023 г.

• Оман, Грег (2014). «Обращение теоремы о промежуточном значении: от Конвея к Кантору, к смежным классам и далее» (PDF) . Миссури Дж. Математика. Наука . 26 (2): 134–150. Архивировано (PDF) из оригинала 20 августа 2016 г.