Теорема Дарбу (анализ)

Все производные имеют свойство промежуточного значения

В математике теорема Дарбу — теорема в вещественном анализе , названная в честь Жана Гастона Дарбу . Она утверждает, что каждая функция, которая получается в результате дифференцирования другой функции, имеет свойство промежуточного значения : изображение интервала также является интервалом.

Когда ƒ непрерывно дифференцируема ( ƒ в C 1 ⁽ [ a , b ])), это является следствием теоремы о промежуточном значении . Но даже когда ƒ′ не является непрерывной, теорема Дарбу накладывает строгое ограничение на то, какой она может быть.

Теорема Дарбу

Пусть будет замкнутым интервалом , будет действительной дифференцируемой функцией. Тогда имеет свойство промежуточного значения : Если и являются точками в с , то для любого между и , существует в такой, что . ^{[1] [2] [3]} ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle f\colon I\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f'}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle a<b}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle f'(a)}$ ${\displaystyle f'(b)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle f'(x)=y}$

Доказательства

Доказательство 1. Первое доказательство основано на теореме об экстремальном значении .

Если равно или , то установка равно или , соответственно, дает желаемый результат. Теперь предположим, что находится строго между и , и в частности, что . Пусть такое, что . Если это так, то мы корректируем наше доказательство ниже, вместо этого утверждая, что имеет минимум на . ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle f'(a)}$ ${\displaystyle f'(b)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle f'(a)}$ ${\displaystyle f'(b)}$ ${\displaystyle f'(a)>y>f'(b)}$ ${\displaystyle \varphi \colon I\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \varphi (t)=f(t)-yt}$ ${\displaystyle f'(a)<y<f'(b)}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle [a,b]}$

Так как непрерывна на замкнутом интервале , то максимальное значение на достигается в некоторой точке в , согласно теореме об экстремальном значении . ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle [a,b]}$

Поскольку , мы знаем, что не может достичь своего максимального значения при . (Если бы это было так, то для всех , что подразумевает .) ${\displaystyle \varphi '(a)=f'(a)-y>0}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle (\varphi (t)-\varphi (a))/(t-a)\leq 0}$ ${\displaystyle t\in (a,b]}$ ${\displaystyle \varphi '(a)\leq 0}$

Аналогично, поскольку , мы знаем, что не может достичь своего максимального значения при . ${\displaystyle \varphi '(b)=f'(b)-y<0}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle b}$

Следовательно, должно достичь своего максимального значения в некоторой точке . Следовательно, по теореме Ферма , , т.е. . ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle x\in (a,b)}$ ${\displaystyle \varphi '(x)=0}$ ${\displaystyle f'(x)=y}$

Доказательство 2. Второе доказательство основано на объединении теоремы о среднем значении и теоремы о промежуточном значении . ^{[1] [2]}

Определить . Для определения и . И для определения и . ${\displaystyle c={\frac {1}{2}}(a+b)}$ ${\displaystyle a\leq t\leq c,}$ ${\displaystyle \alpha (t)=a}$ ${\displaystyle \beta (t)=2t-a}$ ${\displaystyle c\leq t\leq b,}$ ${\displaystyle \alpha (t)=2t-b}$ ${\displaystyle \beta (t)=b}$

Таким образом, для имеем . Теперь определим с помощью . непрерывна по . ${\displaystyle t\in (a,b)}$ ${\displaystyle a\leq \alpha (t)<\beta (t)\leq b}$ ${\displaystyle g(t)={\frac {(f\circ \beta )(t)-(f\circ \alpha )(t)}{\beta (t)-\alpha (t)}}}$ ${\displaystyle a<t<b}$ ${\displaystyle \,g}$ ${\displaystyle (a,b)}$

Кроме того, когда и когда ; следовательно, из теоремы о промежуточном значении, если то, существует такое, что . Зафиксируем . ${\displaystyle g(t)\rightarrow {f}'(a)}$ ${\displaystyle t\rightarrow a}$ ${\displaystyle g(t)\rightarrow {f}'(b)}$ ${\displaystyle t\rightarrow b}$ ${\displaystyle y\in ({f}'(a),{f}'(b))}$ ${\displaystyle t_{0}\in (a,b)}$ ${\displaystyle g(t_{0})=y}$ ${\displaystyle t_{0}}$

Из теоремы о среднем значении следует, что существует точка такая, что . Следовательно, . ${\displaystyle x\in (\alpha (t_{0}),\beta (t_{0}))}$ ${\displaystyle {f}'(x)=g(t_{0})}$ ${\displaystyle {f}'(x)=y}$

Функция Дарбу

Функция Дарбу — это вещественная функция ƒ, которая обладает «свойством промежуточного значения»: для любых двух значений a и b в области определения ƒ и любого y между ƒ ( a ) и ƒ ( b ) существует некоторое c между a и b с ƒ ( c ) = y . ^[4] По теореме о промежуточном значении каждая непрерывная функция на вещественном интервале является функцией Дарбу. Вклад Дарбу состоял в том, чтобы показать, что существуют разрывные функции Дарбу.

Каждый разрыв функции Дарбу является существенным , то есть в любой точке разрыва по крайней мере один из левосторонних и правосторонних пределов не существует.

Примером функции Дарбу, которая имеет разрыв в одной точке, является топологическая синусоидальная функция:

${\displaystyle x\mapsto {\begin{cases}\sin(1/x)&{\text{for }}x\neq 0,\\0&{\text{for }}x=0.\end{cases}}}$

По теореме Дарбу производная любой дифференцируемой функции является функцией Дарбу. В частности, производная функции является функцией Дарбу, даже если она не является непрерывной в одной точке. ${\displaystyle x\mapsto x^{2}\sin(1/x)}$

Примером функции Дарбу, которая нигде не является непрерывной, является функция Конвея с основанием 13 .

Функции Дарбу — довольно общий класс функций. Оказывается, что любая вещественная функция ƒ на вещественной прямой может быть записана как сумма двух функций Дарбу. ^[5] Это подразумевает, в частности, что класс функций Дарбу не замкнут относительно сложения.

Сильно функция Дарбу — это та, для которой изображение каждого (непустого) открытого интервала — это вся вещественная прямая. Функция Конвея с основанием 13 снова является примером. ^[4]

Примечания

1. Апостол, Том М.: Математический анализ: современный подход к передовому исчислению, 2-е издание, Addison-Wesley Longman, Inc. (1974), стр. 112.
2. Olsen, Lars: Новое доказательство теоремы Дарбу , том 111, № 8 (октябрь 2004 г.) (стр. 713–715), The American Mathematical Monthly
3. Рудин, Уолтер: Принципы математического анализа, 3-е издание, MacGraw-Hill, Inc. (1976), стр. 108
4. Ciesielski, Krzysztof (1997). Теория множеств для работающего математика . London Mathematical Society Student Texts. Vol. 39. Cambridge: Cambridge University Press . pp. 106–111. ISBN 0-521-59441-3. Збл  0938.03067.
5. Брукнер, Эндрю М.: Дифференцирование действительных функций , 2-е изд., стр. 6, Американское математическое общество, 1994 г.

Внешние ссылки

• В данной статье использованы материалы из теоремы Дарбу на PlanetMath , которые лицензированы в соответствии с лицензией Creative Commons Attribution/Share-Alike License .
• «Теорема Дарбу», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]