Оптическая передаточная функция

Функция, которая определяет, как различные пространственные частоты улавливаются оптической системой.

Иллюстрация оптической передаточной функции (OTF) и ее связь с качеством изображения. Оптическая передаточная функция хорошо сфокусированной (a) и не сфокусированной оптической системы формирования изображений без аберраций (d). Поскольку оптическая передаточная функция этих систем действительна и неотрицательна, оптическая передаточная функция по определению равна передаточной функции модуляции (MTF). Изображения точечного источника и цели- спицы с высокой пространственной частотой показаны на (b,e) и (c,f) соответственно. Обратите внимание, что масштаб изображений точечного источника (b,e) в четыре раза меньше изображений цели-спицы.

Оптическая передаточная функция ( ОПФ ) оптической системы, такой как камера , микроскоп , человеческий глаз или проектор, определяет, как захватываются или передаются различные пространственные частоты. Она используется инженерами-оптиками для описания того, как оптика проецирует свет от объекта или сцены на фотопленку, детекторную матрицу , сетчатку , экран или просто на следующий элемент в оптической цепочке передачи. Вариант, передаточная функция модуляции ( ПМ ), пренебрегает фазовыми эффектами, но во многих ситуациях эквивалентна ОПФ.

Любая передаточная функция определяет реакцию на периодический синусоидальный шаблон, проходящий через систему линз, как функцию его пространственной частоты или периода и его ориентации. Формально OTF определяется как преобразование Фурье функции рассеяния точки (PSF, то есть импульсной реакции оптики, изображения точечного источника). Как преобразование Фурье, OTF является комплекснозначным; но оно будет действительным в общем случае PSF, который симметричен относительно своего центра. MTF формально определяется как величина (абсолютное значение) комплексной OTF.

Изображение справа показывает оптические передаточные функции для двух различных оптических систем на панелях (a) и (d). Первая соответствует идеальной, ограниченной дифракцией , системе формирования изображений с круглым зрачком . Ее передаточная функция уменьшается приблизительно постепенно с пространственной частотой, пока не достигнет дифракционного предела, в данном случае при 500 циклах на миллиметр или периоде 2 мкм. Поскольку периодические элементы, такие малые, как этот период, фиксируются этой системой формирования изображений, можно сказать, что ее разрешение составляет 2 мкм. ^[1] Панель (d) показывает оптическую систему, которая находится вне фокуса. Это приводит к резкому снижению контрастности по сравнению с системой формирования изображений с ограниченной дифракцией. Видно, что контрастность равна нулю около 250 циклов/мм или периодов 4 мкм. Это объясняет, почему изображения для системы вне фокуса (e, f) более размыты, чем изображения для системы с ограниченной дифракцией (b, c). Обратите внимание, что хотя система вне фокуса имеет очень низкий контраст на пространственных частотах около 250 циклов/мм, контраст на пространственных частотах вблизи дифракционного предела 500 циклов/мм ограничен дифракцией. Тщательное наблюдение за изображением на панели (f) показывает, что изображение больших плотностей спиц вблизи центра мишени спицы относительно резкое.

Определение и связанные с ним понятия

Поскольку оптическая передаточная функция ^[2] (OTF) определяется как преобразование Фурье функции рассеяния точки (PSF), она, вообще говоря, является комплексной функцией пространственной частоты . Проекция определенного периодического рисунка представлена ​​комплексным числом с абсолютным значением и комплексным аргументом, пропорциональными относительному контрасту и переносу проецируемой проекции соответственно.

Различные тесно связанные характеристики оптической системы, демонстрирующей кому, типичную аберрацию, которая возникает вне оси. (a) Функция рассеяния точки (PSF) является изображением точечного источника. (b) Изображение линии называется функцией рассеяния линии, в данном случае вертикальной линией. Функция рассеяния линии прямо пропорциональна вертикальной интеграции изображения рассеяния точки. Оптическая передаточная функция (OTF) определяется как преобразование Фурье функции рассеяния точки и, таким образом, обычно является двумерной комплексной функцией. Обычно показывается только одномерный срез (c), соответствующий преобразованию Фурье функции рассеяния линии. Толстая зеленая линия указывает на действительную часть функции, а тонкая красная линия — на мнимую часть. Часто показывается только абсолютное значение комплексной функции, это позволяет визуализировать двумерную функцию (d); однако чаще показывается только одномерная функция (e). Последняя обычно нормализуется на нулевой пространственной частоте и называется функцией передачи модуляции (MTF). Для полноты комплексный аргумент иногда приводится как функция передачи фазы (PhTF), показанная на панели (f).

Часто наибольший интерес представляет снижение контраста, а трансляцию рисунка можно игнорировать. Относительный контраст задается абсолютным значением оптической передаточной функции, функции, обычно называемой функцией передачи модуляции ( MTF ). Ее значения показывают, какая часть контраста объекта захвачена на изображении как функция пространственной частоты. MTF имеет тенденцию уменьшаться с ростом пространственной частоты от 1 до 0 (на пределе дифракции); однако функция часто не является монотонной . С другой стороны, когда также важен трансляционный рисунок, комплексный аргумент оптической передаточной функции может быть изображен как вторая вещественная функция, обычно называемая функцией передачи фазы ( PhTF ). Комплексную оптическую передаточную функцию можно рассматривать как комбинацию этих двух вещественных функций:

${\displaystyle \mathrm {OTF} (\nu )=\mathrm {MTF} (\nu )e^{i\,\mathrm {PhTF} (\nu )}}$

где

${\displaystyle \mathrm {MTF} (\nu )=\left\vert \mathrm {OTF} (\nu )\right\vert ,}$

${\displaystyle \mathrm {PhTF} (\nu )=\mathrm {arg} (\mathrm {OTF} (\nu )),}$

и представляет собой комплексную функцию аргумента, в то время как - пространственная частота периодического узора. В общем случае - это вектор с пространственной частотой для каждого измерения, т.е. он также указывает направление периодического узора. ${\displaystyle \mathrm {arg} (\cdot )}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \nu }$

Импульсный отклик хорошо сфокусированной оптической системы представляет собой трехмерное распределение интенсивности с максимумом в фокальной плоскости и, таким образом, может быть измерен путем записи стопки изображений при смещении детектора в осевом направлении. В результате трехмерная оптическая передаточная функция может быть определена как трехмерное преобразование Фурье импульсного отклика. Хотя обычно используется только одномерное или иногда двумерное сечение, трехмерная оптическая передаточная функция может улучшить понимание микроскопов, таких как микроскоп со структурированным освещением.

Верный определению функции передачи , должен указывать долю света, которая была обнаружена от точечного источника объекта. Однако, как правило, наиболее важен контраст относительно общего количества обнаруженного света. Таким образом, общепринятой практикой является нормализация оптической функции передачи к обнаруженной интенсивности, следовательно , . ${\displaystyle \mathrm {OTF} (0)=\mathrm {MTF} (0)}$ ${\displaystyle \mathrm {MTF} (0)\equiv 1}$

Как правило, оптическая передаточная функция зависит от таких факторов, как спектр и поляризация излучаемого света и положение точечного источника. Например, контрастность и разрешение изображения обычно оптимальны в центре изображения и ухудшаются к краям поля зрения. При возникновении значительных изменений оптическая передаточная функция может быть рассчитана для набора репрезентативных положений или цветов.

Иногда более практично определить функции передачи на основе бинарного черно-белого полосового шаблона. Функция передачи для черно-белого периодического шаблона одинаковой ширины называется функцией передачи контраста (CTF) . ^[3]

Примеры

OTF идеальной системы линз

Идеальная система линз обеспечит проекцию с высоким контрастом без смещения периодического рисунка, поэтому оптическая передаточная функция идентична передаточной функции модуляции. Обычно контраст постепенно уменьшается до нуля в точке, определяемой разрешением оптики. Например, идеальная, неаберрированная , f/4 оптическая система формирования изображений, используемая на видимой длине волны 500 нм, будет иметь оптическую передаточную функцию, изображенную на правом рисунке.

Передаточная функция и пример изображения идеальной системы формирования изображений, свободной от оптических аберраций (с ограничением дифракции).

Из графика можно понять, что контраст постепенно уменьшается и достигает нуля при пространственной частоте 500 циклов на миллиметр, другими словами, оптическое разрешение проекции изображения составляет 1/500 ^{миллиметра} или 2 микрометра. Соответственно, для этого конкретного устройства формирования изображений спицы становятся все более и более размытыми по направлению к центру, пока не сольются в серый, неразрешенный диск. Обратите внимание, что иногда оптическая передаточная функция задается в единицах пространства объекта или образца, угла наблюдения, ширины пленки или нормируется на теоретический максимум. Преобразование между ними обычно является вопросом умножения или деления. Например, микроскоп обычно увеличивает все в 10–100 раз, а зеркальная камера обычно уменьшает объекты на расстоянии 5 метров в 100–200 раз.

Разрешение цифрового устройства формирования изображений ограничено не только оптикой, но и количеством пикселей, в частности, расстоянием между ними. Как поясняется теоремой Найквиста-Шеннона , для соответствия оптическому разрешению данного примера пиксели каждого цветового канала должны быть разделены на 1 микрометр, что составляет половину периода 500 циклов на миллиметр. Большее количество пикселей на том же размере сенсора не позволит получить разрешение более мелких деталей. С другой стороны, когда расстояние между пикселями больше 1 микрометра, разрешение будет ограничено расстоянием между пикселями; более того, наложение спектров может привести к дальнейшему снижению точности изображения.

OTF несовершенной линзовой системы

Несовершенная, аберрированная система формирования изображений может обладать оптической передаточной функцией, изображенной на следующем рисунке.

Передаточная функция и пример изображения оптической системы формирования изображения f/4 при 500 нм со сферической аберрацией и стандартным коэффициентом Цернике 0,25.

Как идеальная система линз, контраст достигает нуля при пространственной частоте 500 циклов на миллиметр. Однако при более низких пространственных частотах контраст значительно ниже, чем у идеальной системы в предыдущем примере. Фактически, контраст становится нулевым в нескольких случаях даже для пространственных частот ниже 500 циклов на миллиметр. Это объясняет серые круговые полосы на изображении спиц, показанном на рисунке выше. Между серыми полосами спицы, по-видимому, инвертируются с черного на белый и наоборот , это называется инверсией контраста, напрямую связанной с изменением знака в действительной части оптической передаточной функции, и представляет собой сдвиг на половину периода для некоторых периодических шаблонов.

Хотя можно утверждать, что разрешение как идеальной, так и несовершенной системы составляет 2 мкм или 500 LP/мм, очевидно, что изображения последнего примера менее резкие. Определение разрешения, которое больше соответствует воспринимаемому качеству, вместо этого использовало бы пространственную частоту, на которой появляется первый ноль, 10 мкм или 100 LP/мм. Определения разрешения, даже для идеальных систем визуализации, сильно различаются. Более полную, однозначную картину дает оптическая передаточная функция.

OTF оптической системы с невращательной симметричной аберрацией

При просмотре через оптическую систему с аберрацией трилистника изображение точечного объекта будет выглядеть как трехконечная звезда (a). Поскольку функция рассеяния точки не является вращательно-симметричной, только двумерная оптическая передаточная функция может хорошо ее описать (b). Высота графика поверхности указывает на абсолютное значение, а оттенок указывает на комплексный аргумент функции. Цель в виде спицы, изображенная таким устройством формирования изображения, показана с помощью моделирования на (c).

Оптические системы, и в частности оптические аберрации, не всегда являются вращательно-симметричными. Периодические узоры, имеющие различную ориентацию, могут, таким образом, быть отображены с различным контрастом, даже если их периодичность одинакова. Оптическая передаточная функция или передаточные функции модуляции, таким образом, обычно являются двумерными функциями. На следующих рисунках показан двумерный эквивалент идеальной и несовершенной системы, обсуждавшейся ранее, для оптической системы с трилистником , невращательно-симметричной аберрацией.

Оптические передаточные функции не всегда имеют действительные значения. Периодические паттерны могут быть смещены на любую величину в зависимости от аберрации в системе. Это обычно имеет место в случае аберраций без вращательной симметрии. Оттенок цветов поверхностных графиков на рисунке выше указывает на фазу. Можно видеть, что в то время как для аберраций с вращательной симметрией фаза равна либо 0, либо π, и, таким образом, передаточная функция имеет действительное значение, для аберрации без вращательной симметрии передаточная функция имеет мнимую составляющую, а фаза непрерывно меняется.

Практический пример – видеосистема высокой четкости

В то время как оптическое разрешение , как оно обычно используется в отношении систем камер, описывает только количество пикселей в изображении, и, следовательно, потенциал для отображения мелких деталей, передаточная функция описывает способность соседних пикселей изменяться с черного на белый в ответ на шаблоны с различной пространственной частотой, и, следовательно, фактическую способность отображать мелкие детали, будь то с полной или уменьшенной контрастностью. Изображение, воспроизведенное с оптической передаточной функцией, которая «спадает» на высоких пространственных частотах, будет казаться «размытым» на повседневном языке.

Если взять в качестве примера современную видеосистему высокой четкости (HD) с разрешением 1920 на 1080 пикселей, то теорема Найквиста гласит, что в идеальной системе должно быть возможно полностью разрешить (с истинными переходами от черного к белому) в общей сложности 1920 черных и белых чередующихся строк, что иначе называется пространственной частотой 1920/2=960 пар строк на ширину изображения или 960 циклов на ширину изображения (определения в терминах циклов на единицу угла или на мм также возможны, но, как правило, менее понятны при работе с камерами и более уместны для телескопов и т. д.). На практике это далеко не так, и пространственные частоты, приближающиеся к частоте Найквиста , как правило, будут воспроизводиться с уменьшающейся амплитудой, так что мелкие детали, хотя и могут быть видны, значительно уменьшатся по контрасту. Это приводит к интересному наблюдению, что, например, стандартное телевизионное изображение, полученное с помощью сканера пленки, который использует избыточную выборку , как описано ниже, может выглядеть более резким, чем изображение высокой четкости, снятое на камеру с плохой функцией передачи модуляции. Эти два изображения показывают интересное различие, которое часто упускают из виду: первое имеет полный контраст деталей до определенной точки, но затем нет действительно мелких деталей, в то время как последнее содержит более мелкие детали, но с таким уменьшенным контрастом, что кажется в целом худшим.

Трехмерная оптическая передаточная функция

Трехмерные функции рассеяния точки (a,c) и соответствующие функции передачи модуляции (b,d) широкопольного микроскопа (a,b) и конфокального микроскопа (c,d). В обоих случаях числовая апертура объектива составляет 1,49, а показатель преломления среды — 1,52. Предполагается, что длина волны излучаемого света составляет 600 нм, а в случае конфокального микроскопа — 500 нм возбуждающего света с круговой поляризацией. Для визуализации внутреннего распределения интенсивности вырезается секция. Цвета, показанные на логарифмической цветовой шкале, указывают на облученность (a,c) и спектральную плотность (b,d), нормализованные к максимальному значению.

Хотя обычно изображение считают плоским или двумерным, система формирования изображения будет создавать трехмерное распределение интенсивности в пространстве изображения, которое в принципе можно измерить. Например, двумерный датчик можно перевести для захвата трехмерного распределения интенсивности. Изображение точечного источника также является трехмерным (3D) распределением интенсивности, которое можно представить трехмерной функцией рассеяния точки. В качестве примера на рисунке справа показана трехмерная функция рассеяния точки в пространстве объектов широкопольного микроскопа (a) рядом с функцией конфокального микроскопа (c). Хотя используется тот же объектив микроскопа с числовой апертурой 1,49, очевидно, что конфокальная функция рассеяния точки более компактна как в боковых измерениях (x, y), так и в осевом измерении (z). Можно справедливо заключить, что разрешение конфокального микроскопа превосходит разрешение широкопольного микроскопа во всех трех измерениях.

Трехмерная оптическая передаточная функция может быть рассчитана как трехмерное преобразование Фурье трехмерной функции рассеяния точки. Ее цветовая величина отображена на панелях (b) и (d), что соответствует функциям рассеяния точки, показанным на панелях (a) и (c) соответственно. Передаточная функция широкопольного микроскопа имеет поддержку , которая составляет половину поддержки конфокального микроскопа во всех трех измерениях, подтверждая ранее отмеченное более низкое разрешение широкопольного микроскопа. Обратите внимание, что вдоль оси z при x  =  y  = 0 передаточная функция равна нулю везде, кроме начала координат. Этот отсутствующий конус является хорошо известной проблемой, которая препятствует оптической резке с использованием широкопольного микроскопа. ^[4]

Двумерная оптическая передаточная функция в фокальной плоскости может быть рассчитана путем интегрирования трехмерной оптической передаточной функции вдоль оси z . Хотя трехмерная передаточная функция широкопольного микроскопа (b) равна нулю на оси z при z  ≠ 0, ее интеграл, двумерная оптическая передаточная функция, достигает максимума при x  =  y  = 0. Это возможно только потому, что трехмерная оптическая передаточная функция расходится в начале координат x  =  y  =  z  = 0. Значения функции вдоль оси z трехмерной оптической передаточной функции соответствуют дельта-функции Дирака .

Расчет

Большинство программ для оптического проектирования имеют функциональность для вычисления оптической или модуляционной передаточной функции конструкции линзы. Идеальные системы, такие как в примерах здесь, легко рассчитываются численно с использованием программного обеспечения, такого как Julia , GNU Octave или Matlab , а в некоторых конкретных случаях даже аналитически. Оптическая передаточная функция может быть рассчитана следующими двумя подходами: ^[5]

1. как преобразование Фурье некогерентной функции рассеяния точки , или
2. как автокорреляция зрачковой функции оптической системы

Математически оба подхода эквивалентны. Числовые вычисления обычно наиболее эффективно выполняются с помощью преобразования Фурье; однако аналитические вычисления могут быть более податливыми с использованием подхода автокорреляции.

Пример

Идеальная система линз с круглой апертурой

Автокорреляция функции зрачка

Поскольку оптическая передаточная функция является преобразованием Фурье функции рассеяния точки , а функция рассеяния точки является квадратом абсолютной величины обратной преобразованной Фурье функции зрачка , оптическая передаточная функция также может быть вычислена непосредственно из функции зрачка . Из теоремы о свертке видно, что оптическая передаточная функция на самом деле является автокорреляцией функции зрачка . ^[5]

Функция зрачка идеальной оптической системы с круглой апертурой представляет собой диск единичного радиуса. Таким образом, оптическая передаточная функция такой системы может быть рассчитана геометрически из пересекающейся области между двумя идентичными дисками на расстоянии , где — пространственная частота, нормированная на самую высокую передаваемую частоту. ^[2] В общем случае оптическая передаточная функция нормирована на максимальное значение единицы для , поэтому полученную площадь следует разделить на . ${\displaystyle 2\nu }$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \nu =0}$ ${\displaystyle \pi }$

Площадь пересечения можно вычислить как сумму площадей двух одинаковых круговых сегментов : , где — угол сегмента круга. Подставляя , и используя равенства и , уравнение для площади можно переписать как . Следовательно, нормализованная оптическая передаточная функция имеет вид: ${\displaystyle \theta /2-\sin(\theta )/2}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle |\nu |=\cos(\theta /2)}$ ${\displaystyle \sin(\theta )/2=\sin(\theta /2)\cos(\theta /2)}$ ${\displaystyle 1=\nu ^{2}+\sin(\arccos(|\nu |))^{2}}$ ${\displaystyle \arccos(|\nu |)-|\nu |{\sqrt {1-\nu ^{2}}}}$

${\displaystyle \operatorname {OTF} (\nu )={\frac {2}{\pi }}\left(\arccos(|\nu |)-|\nu |{\sqrt {1-\nu ^{2}}}\right).}$

Более подробное обсуждение можно найти в ^[5] и ^{[2] : 152–153  .}

Численная оценка

Одномерная оптическая передаточная функция может быть рассчитана как дискретное преобразование Фурье функции рассеяния линии. Эти данные графически отображаются в зависимости от данных пространственной частоты . В этом случае полином шестого порядка подгоняется к кривой MTF против пространственной частоты, чтобы показать тенденцию. Определяется 50%-ная частота среза для получения соответствующей пространственной частоты. Таким образом, из этих данных определяется приблизительное положение наилучшего фокуса тестируемого устройства .

Данные MTF в зависимости от пространственной частоты нормализуются путем подгонки к ним полинома шестого порядка, что делает гладкую кривую. Определяется 50%-ная частота среза и находится соответствующая пространственная частота , что дает приблизительное положение наилучшего фокуса .

Преобразование Фурье функции рассеяния линии (LSF) не может быть определено аналитически с помощью следующих уравнений ^{[ необходима ссылка ]} :

${\displaystyle \operatorname {MTF} ={\mathcal {F}}\left[\operatorname {LSF} \right]\qquad \qquad \operatorname {MTF} =\int f(x)e^{-i2\pi \,xs}\,dx}$

Таким образом, преобразование Фурье численно аппроксимируется с помощью дискретного преобразования Фурье . ^[6] ${\displaystyle {\mathcal {DFT}}}$

${\displaystyle \operatorname {MTF} ={\mathcal {DFT}}[\operatorname {LSF} ]=Y_{k}=\sum _{n=0}^{N-1}y_{n}e^{-ik{\frac {2\pi }{N}}n}\qquad k\in [0,N-1]}$

где

• ${\displaystyle Y_{k}\,}$= значение MTF ${\displaystyle k^{\text{th}}}$
• ${\displaystyle N\,}$= количество точек данных
• ${\displaystyle n\,}$= индекс
• ${\displaystyle k\,}$= термин данных LSF ${\displaystyle k^{\text{th}}}$
• ${\displaystyle y_{n}\,}$= позиция пикселя ${\displaystyle n^{\text{th}}\,}$
• ${\displaystyle i={\sqrt {-1}}}$

${\displaystyle e^{\pm ia}=\cos(a)\,\pm \,i\sin(a)}$

${\displaystyle \operatorname {MTF} ={\mathcal {DFT}}[\operatorname {LSF} ]=Y_{k}=\sum _{n=0}^{N-1}y_{n}\left[\cos \left(k{\frac {2\pi }{N}}n\right)-i\sin \left(k{\frac {2\pi }{N}}n\right)\right]\qquad k\in [0,N-1]}$

Затем строится график зависимости MTF от пространственной частоты, и все соответствующие данные, касающиеся этого теста, можно определить из этого графика.

Векторная передаточная функция

При высоких числовых апертурах, таких как те, что встречаются в микроскопии, важно учитывать векторную природу полей, переносящих свет. Разлагая волны на три независимых компонента, соответствующих декартовым осям, можно рассчитать функцию рассеяния точки для каждого компонента и объединить ее в векторную функцию рассеяния точки. Аналогично можно определить векторную оптическую передаточную функцию, как показано в ( ^[7] ) и ( ^[8] ).

Измерение

Оптическая передаточная функция полезна не только для проектирования оптических систем, она также ценна для характеристики производимых систем.

Начиная с функции рассеяния точки

Оптическая передаточная функция определяется как преобразование Фурье импульсного отклика оптической системы, также называемое функцией рассеяния точки . Таким образом, оптическую передаточную функцию легко получить, сначала получив изображение точечного источника и применив двумерное дискретное преобразование Фурье к выбранному изображению. Таким точечным источником может быть, например, яркий свет за экраном с точечным отверстием, флуоресцентная или металлическая микросфера или просто точка, нарисованная на экране. Расчет оптической передаточной функции с помощью функции рассеяния точки универсален, поскольку он может полностью характеризовать оптику с пространственно-изменяющимися и хроматическими аберрациями, повторяя процедуру для различных положений и спектров длин волн точечного источника.

Использование расширенных тестовых объектов для пространственно-инвариантной оптики

Когда аберрации можно считать пространственно инвариантными, для определения оптической передаточной функции можно использовать альтернативные шаблоны, такие как линии и края. Соответствующие передаточные функции называются функцией распространения линии и функцией распространения края соответственно. Такие протяженные объекты освещают больше пикселей на изображении и могут повысить точность измерения из-за большего отношения сигнал/шум. Оптическая передаточная функция в этом случае вычисляется как двумерное дискретное преобразование Фурье изображения и делится на функцию распространения протяженного объекта. Обычно используется либо линия, либо черно-белый край.

Функция распространения линии

Двумерное преобразование Фурье прямой, проходящей через начало координат, представляет собой прямую, ортогональную ей и проходящую через начало координат. Таким образом, делитель равен нулю для всех измерений, кроме одного, следовательно, оптическая передаточная функция может быть определена только для одного измерения с использованием одной функции рассеяния линии (LSF). При необходимости двумерная оптическая передаточная функция может быть определена путем повторения измерения с линиями под разными углами.

Функция распространения линии может быть найдена двумя различными методами. Она может быть найдена непосредственно из идеальной аппроксимации линии, полученной с помощью щелевой тестовой мишени, или может быть выведена из функции распространения края, обсуждаемой в следующем подразделе.

Функция распространения края

Двумерное преобразование Фурье края также не равно нулю только на одной линии, ортогональной краю. Эту функцию иногда называют функцией распространения края (ESF). ^{[9] [10]} Однако значения на этой линии обратно пропорциональны расстоянию от начала координат. Хотя изображения измерений, полученные с помощью этой техники, освещают большую область камеры, это в основном повышает точность на низких пространственных частотах. Как и в случае функции распространения линии, каждое измерение определяет только одну ось оптической передаточной функции, поэтому необходимы повторные измерения, если оптическая система не может считаться вращательно-симметричной.

При оценке ESF оператор определяет область рамки, эквивалентную 10% ^{[ требуется ссылка ]} от общей площади кадра испытательной мишени с острым краем, подсвеченной сзади черным телом . Область определяется так, чтобы охватить край целевого изображения.

Как показано на рисунке справа, оператор определяет область прямоугольника, охватывающую край изображения тестового целевого объекта с режущей кромкой , подсвеченного сзади черным телом . Площадь прямоугольника определяется как приблизительно 10% ^{[ требуется ссылка ]} от общей площади кадра. Данные пикселей изображения преобразуются в двумерный массив ( интенсивность пикселей и положение пикселей). Амплитуда (интенсивность пикселей) каждой строки в массиве нормализуется и усредняется. Это дает функцию распространения края.

${\displaystyle \operatorname {ESF} ={\frac {X-\mu }{\sigma }}\qquad \qquad \sigma \,={\sqrt {\frac {\sum _{i=0}^{n-1}(x_{i}-\mu \,)^{2}}{n}}}\qquad \qquad \mu \,={\frac {\sum _{i=0}^{n-1}x_{i}}{n}}}$

где

• ESF = выходной массив нормализованных данных интенсивности пикселей
• ${\displaystyle X\,}$= входной массив данных интенсивности пикселей
• ${\displaystyle x_{i}\,}$= i ^-й элемент ${\displaystyle X\,}$
• ${\displaystyle \mu \,}$= среднее значение данных интенсивности пикселей
• ${\displaystyle \sigma \,}$= стандартное отклонение данных интенсивности пикселей
• ${\displaystyle n\,}$= количество пикселей, используемых в среднем

Функция распространения линии идентична первой производной функции распространения края, ^[11] которая дифференцируется с использованием численных методов . В случае, если более практично измерить функцию распространения края, можно определить функцию распространения линии следующим образом:

${\displaystyle \operatorname {LSF} ={\frac {d}{dx}}\operatorname {ESF} (x)}$

Обычно ESF известен только в дискретных точках, поэтому LSF численно аппроксимируется с использованием конечной разности :

${\displaystyle \operatorname {LSF} ={\frac {d}{dx}}\operatorname {ESF} (x)\approx {\frac {\Delta \operatorname {ESF} }{\Delta x}}}$

${\displaystyle \operatorname {LSF} \approx {\frac {\operatorname {ESF} _{i+1}-\operatorname {ESF} _{i-1}}{2(x_{i+1}-x_{i})}}}$

где:

• ${\displaystyle i\,}$= индекс ${\displaystyle i=1,2,\dots ,n-1}$
• ${\displaystyle x_{i}\,}$= положение пикселя ${\displaystyle i^{\text{th}}\,}$ ${\displaystyle i^{\text{th}}\,}$
• ${\displaystyle \operatorname {ESF} _{i}\,}$= ESF пикселя ${\displaystyle i^{\text{th}}\,}$

Использование сетки из черных и белых линий

Хотя «резкость» часто оценивается по сетчатым рисункам чередующихся черных и белых линий, ее следует строго измерять с использованием синусоидального изменения от черного к белому (размытая версия обычного рисунка). При использовании рисунка прямоугольной волны (простые черные и белые линии) не только существует больший риск наложения спектров, но и необходимо учитывать тот факт, что фундаментальный компонент прямоугольной волны выше амплитуды самой прямоугольной волны (гармонические компоненты уменьшают пиковую амплитуду). Поэтому тестовая диаграмма прямоугольной волны покажет оптимистичные результаты (лучшее разрешение высоких пространственных частот, чем фактически достигнутое). Результат прямоугольной волны иногда называют «контрастной передаточной функцией» (CTF).

Факторы, влияющие на MTF в типичных системах камер

На практике многие факторы приводят к значительному размытию воспроизводимого изображения, так что узоры с пространственной частотой чуть ниже частоты Найквиста могут даже не быть видны, а самые тонкие узоры могут выглядеть «размытыми» как оттенки серого, а не черно-белыми. Основным фактором обычно является невозможность создания идеального оптического фильтра «кирпичная стена» (часто реализуемого как «фазовая пластина» или линза с определенными свойствами размытия в цифровых фотоаппаратах и ​​видеокамерах). Такой фильтр необходим для уменьшения наложения спектров путем устранения пространственных частот выше частоты Найквиста дисплея.

Передискретизация и понижающее преобразование для сохранения оптической передаточной функции

Единственный способ на практике приблизиться к теоретически возможной резкости в цифровой системе формирования изображений, такой как камера, — это использовать больше пикселей в датчике камеры, чем выборок в конечном изображении, и «понижать» или «интерполировать» с помощью специальной цифровой обработки, которая обрезает высокие частоты выше частоты Найквиста , чтобы избежать наложения спектров, сохраняя при этом достаточно ровную MTF вплоть до этой частоты. Этот подход был впервые применен в 1970-х годах, когда были разработаны летающие точечные сканеры, а позднее — линейные сканеры CCD , которые выбирали больше пикселей, чем требовалось, а затем преобразовывали их, поэтому фильмы всегда выглядели на телевидении резче, чем другие материалы, снятые видеокамерой. Единственный теоретически правильный способ интерполяции или понижения частоты — это использование крутого низкочастотного пространственного фильтра, реализованного путем свертки с двумерной весовой функцией sin( x )/ x , которая требует мощной обработки. На практике для снижения требований к обработке используются различные математические приближения к этому. Эти приближения в настоящее время широко используются в системах редактирования видео и в программах обработки изображений, таких как Photoshop .

Так же, как видео стандартной четкости с высокой контрастностью MTF возможно только с передискретизацией, так и HD-телевидение с полной теоретической резкостью возможно только при использовании камеры со значительно более высоким разрешением, а затем цифровой фильтрации. Поскольку фильмы теперь снимаются в формате 4k и даже 8k для кино, мы можем ожидать увидеть лучшие изображения на HDTV только из фильмов или материалов, снятых в более высоком стандарте. Как бы мы ни увеличивали количество пикселей, используемых в камерах, это всегда будет оставаться верным при отсутствии идеального оптического пространственного фильтра. Аналогично, 5-мегапиксельное изображение, полученное с 5-мегапиксельной фотокамеры, никогда не может быть резче, чем 5-мегапиксельное изображение, полученное после понижающего преобразования с 10-мегапиксельной фотокамеры такого же качества. Из-за проблемы поддержания высокой контрастности MTF такие вещатели, как BBC, долгое время рассматривали возможность сохранения телевидения стандартной четкости, но улучшения его качества за счет съемки и просмотра с гораздо большим количеством пикселей (хотя, как уже упоминалось ранее, такая система, хотя и впечатляющая, в конечном итоге лишена очень мелких деталей, которые, хотя и ослаблены, усиливают эффект настоящего просмотра в формате HD).

Другим фактором в цифровых камерах и камкордерах является разрешение объектива. Можно сказать, что объектив «разрешает» 1920 горизонтальных линий, но это не значит, что он делает это с полной модуляцией от черного до белого. «Функция передачи модуляции» (просто термин для величины оптической функции передачи с проигнорированной фазой) дает истинную меру производительности объектива и представлена ​​графиком амплитуды против пространственной частоты.

Дифракция диафрагмы объектива также ограничивает MTF. Хотя уменьшение диафрагмы объектива обычно уменьшает аберрации и, следовательно, улучшает плоскостность MTF, существует оптимальная диафрагма для любого размера объектива и датчика изображения, за пределами которой меньшие диафрагмы снижают разрешение из-за дифракции, которая распределяет свет по датчику изображения. Это едва ли было проблемой во времена пластинчатых камер и даже 35-мм пленки, но стало непреодолимым ограничением с очень маленькими форматами датчиков, используемых в некоторых цифровых камерах и особенно видеокамерах. В потребительских HD-видеокамерах первого поколения использовались 1/4-дюймовые датчики, для которых диафрагмы меньше примерно f4 начинают ограничивать разрешение. Даже профессиональные видеокамеры в основном используют 2/3-дюймовые датчики, что запрещает использование диафрагм около f16, которые считались бы нормальными для форматов пленки. Некоторые камеры (например, Pentax K10D ) имеют режим «MTF autoexposure», в котором выбор диафрагмы оптимизируется для максимальной резкости. Обычно это означает где-то в середине диапазона диафрагмы. ^[12]

Тенденция к использованию крупноформатных зеркальных фотокамер и улучшенный потенциал MTF

Недавно произошел сдвиг в сторону использования цифровых однообъективных зеркальных камер большого формата изображения , вызванный необходимостью чувствительности к низкой освещенности и малой глубиной резкости . Это привело к тому, что некоторые производители фильмов и телепрограмм стали отдавать предпочтение таким камерам даже по сравнению с профессиональными HD-видеокамерами из-за их «пленочного» потенциала. Теоретически использование камер с 16- и 21-мегапиксельными сенсорами дает возможность почти идеальной резкости за счет понижающего преобразования внутри камеры с цифровой фильтрацией для устранения наложения спектров. Такие камеры показывают очень впечатляющие результаты и, по-видимому, лидируют в видеопроизводстве в направлении понижающего преобразования большого формата, при этом цифровая фильтрация становится стандартным подходом к реализации плоской MTF с настоящей свободой от наложения спектров.

Цифровая инверсия OTF

Из-за оптических эффектов контраст может быть неоптимальным и приближаться к нулю до того, как будет достигнута частота Найквиста дисплея. Уменьшение оптического контраста может быть частично отменено путем цифрового усиления пространственных частот выборочно перед отображением или дальнейшей обработкой. Хотя существуют более продвинутые процедуры восстановления цифровых изображений , алгоритм деконволюции Винера часто используется из-за его простоты и эффективности. Поскольку этот метод умножает пространственные спектральные компоненты изображения, он также усиливает шум и ошибки, вызванные, например, наложением спектров. Поэтому он эффективен только на записях хорошего качества с достаточно высоким отношением сигнал/шум.

Ограничения

В общем случае функция рассеяния точки , изображение точечного источника, также зависит от таких факторов, как длина волны ( цвет ) и угол поля зрения (боковое положение точечного источника). Когда такое изменение достаточно постепенное, оптическая система может быть охарактеризована набором оптических передаточных функций. Однако, когда изображение точечного источника резко меняется при боковом перемещении, оптическая передаточная функция не описывает оптическую систему точно.

Смотрите также

• Боке
• Гамма-коррекция
• Минимально разрешимый контраст
• Минимально допустимая разница температур
• Оптическое разрешение
• Отношение сигнал/шум
• Функция передачи сигнала
• Коэффициент Штреля
• Передаточная функция
• Кодирование волнового фронта

Ссылки

1. Точное определение разрешения может варьироваться и часто принимается равным 1,22 раза больше, чем определено критерием Рэлея .
2. Уильямс, Чарльз С. (2002). Введение в оптическую передаточную функцию . SPIE – Международное общество оптической инженерии. ISBN 0-8194-4336-0.
3. "Функция передачи контраста" . Получено 16 ноября 2013 г.
4. Масиас-Гарза, Ф.; Бовик, А.; Диллер, К.; Аггарвал, С.; Аггарвал, Дж. (1988). «Проблема отсутствующего конуса и искажение нижних частот в оптической последовательной секционной микроскопии». ICASSP-88., Международная конференция по акустике, речи и обработке сигналов . Том 2. стр. 890–893. doi :10.1109/ICASSP.1988.196731. S2CID  120191405.
5. Goodman, Joseph (2005). Введение в Фурье-оптику (3-е изд.). Roberts & Co Publishers. ISBN 0-9747077-2-4.
6. Чапра, SC; Канале, RP (2006). Численные методы для инженеров (5-е изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: McGraw-Hill
7. Шеппард, CJR; Ларкин, К. (1997). «Векторные функции зрачка и векторные передаточные функции» (PDF) . Optik-Stuttgart . 107 : 79–87.
8. Arnison, MR; Sheppard, CJR (2002). «Трехмерная векторная оптическая передаточная функция, подходящая для произвольных функций зрачка». Optics Communications . 211 (1–6): 53–63. Bibcode : 2002OptCo.211...53A. doi : 10.1016/S0030-4018(02)01857-6.
9. Холст, GC (1998). Тестирование и оценка систем инфракрасной визуализации (2-е изд.). Флорида: JCD Publishing, Вашингтон: SPIE.
10. "Test and Measurement – ​​Products – EOI". www.Electro-Optical.com . Архивировано из оригинала 28 августа 2008 . Получено 2 января 2018 .
11. Mazzetta, JA; Scopatz, SD (2007). Автоматизированное тестирование ультрафиолетовых, видимых и инфракрасных датчиков с использованием общей оптики. Инфракрасные системы визуализации: анализ проектирования, моделирование и тестирование XVIII, том 6543 , стр. 654313-1 654313-14
12. "B2BVideoSource.com: Терминология камеры". www.B2BVideoSource.com . Получено 2 января 2018 г. .

Внешние ссылки

• «Функция передачи модуляции», Гленн Д. Бореман на SPIE Optipedia.
• «Как измерить MTF и другие свойства линз», корпорация Optikos.