Производственная функция

Используется для определения предельного продукта и для различения эффективности распределения ресурсов.

График общего, среднего и предельного продукта

В экономике производственная функция дает технологическую связь между количествами физических затрат и количествами выпуска товаров. Производственная функция является одним из ключевых понятий основных неоклассических теорий, используемых для определения предельного продукта и для различения эффективности распределения , ключевого направления экономики. Одной из важных целей производственной функции является рассмотрение эффективности распределения при использовании факторов производства и результирующего распределения дохода между этими факторами, абстрагируясь при этом от технологических проблем достижения технической эффективности, как ее может понимать инженер или профессиональный менеджер.

Для моделирования случая многих выходов и многих входов исследователи часто используют так называемые функции расстояния Шепарда или, альтернативно, функции направленного расстояния, которые являются обобщениями простой производственной функции в экономике. ^[1]

В макроэкономике агрегированные производственные функции оцениваются для создания структуры, в которой можно различать, какую часть экономического роста следует приписывать изменениям в распределении факторов (например, накоплению физического капитала ), а какую — развитию технологий . Однако некоторые экономисты, не являющиеся представителями основных направлений , отвергают саму концепцию агрегированной производственной функции. ^{[2] [3]}

Теория производственных функций

В общем, экономический выпуск не является (математической) функцией ввода, поскольку любой заданный набор вводов может быть использован для производства ряда выводов. Чтобы удовлетворить математическому определению функции , производственная функция обычно предполагается для указания максимального вывода, который можно получить из заданного набора вводов. Таким образом, производственная функция описывает границу или границу, представляющую предел вывода, который можно получить из каждой возможной комбинации вводов. В качестве альтернативы производственная функция может быть определена как спецификация минимальных требований к вводу, необходимых для производства обозначенных количеств вывода. Предположение, что максимальный вывод получается из заданных вводов, позволяет экономистам абстрагироваться от технологических и управленческих проблем, связанных с реализацией такого технического максимума, и сосредоточиться исключительно на проблеме эффективности распределения , связанной с экономическим выбором того, сколько факторного ввода использовать или в какой степени один фактор может быть заменен другим. В самой производственной функции отношение вывода к вводу является неденежным; то есть производственная функция связывает физические затраты с физическими результатами, а цены и издержки в этой функции не отражаются.

В рамках принятия решений фирмы, делающей экономический выбор относительно производства — сколько каждого фактора затрат использовать для производства какого количества продукции — и сталкивающейся с рыночными ценами на продукцию и ресурсы, производственная функция представляет возможности, предоставляемые экзогенной технологией. При определенных предположениях производственная функция может быть использована для выведения предельного продукта для каждого фактора. Фирма, максимизирующая прибыль в условиях совершенной конкуренции (принимая цены на продукцию и ресурсы как заданные), выберет добавление ресурсов вплоть до точки, где предельные издержки дополнительных ресурсов соответствуют предельному продукту в дополнительном выпуске. Это подразумевает идеальное разделение дохода, полученного от продукции, на доход, обусловленный каждым фактором затрат производства, равный предельному продукту каждого ресурса.

Входы в производственную функцию обычно называются факторами производства и могут представлять собой первичные факторы, которые являются запасами. Классически первичными факторами производства были земля, труд и капитал. Первичные факторы не становятся частью выходного продукта, и сами первичные факторы не трансформируются в процессе производства. Производственная функция как теоретическая конструкция может абстрагироваться от вторичных факторов и промежуточных продуктов, потребляемых в процессе производства. Производственная функция не является полной моделью производственного процесса: она намеренно абстрагируется от неотъемлемых аспектов физических производственных процессов, которые некоторые считают существенными, включая ошибки, энтропию или отходы, а также потребление энергии или совместное производство загрязнений. Более того, производственные функции обычно не моделируют бизнес-процессы , игнорируя роль стратегического и операционного управления бизнесом. (Для ознакомления с фундаментальными элементами микроэкономической теории производства см. основы теории производства ).

Производственная функция занимает центральное место в маржиналистском подходе неоклассической экономики, в ее определении эффективности как эффективности распределения ресурсов, в ее анализе того, как рыночные цены могут регулировать достижение эффективности распределения ресурсов в децентрализованной экономике, а также в анализе распределения дохода, который относит факторный доход к предельному продукту факторного вклада.

Указание производственной функции

Производственную функцию можно выразить в функциональной форме как правую часть

${\displaystyle Q=f(X_{1},X_{2},X_{3},\dotsc ,X_{n})}$

где - количество продукции, а - количество факторов производства (таких как капитал, труд, земля или сырье). Так и должно быть, поскольку мы не можем ничего производить без затрат. ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},\dotsc ,X_{n}}$ ${\displaystyle X_{1}=X_{2}=...=X_{n}=0}$ ${\displaystyle Q=0}$

Если — скаляр, то эта форма не охватывает совместное производство, которое является производственным процессом, имеющим несколько сопутствующих продуктов. С другой стороны, если отображается из в , то это функция совместного производства, выражающая определение различных типов продукции на основе совместного использования указанных количеств входов . ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$

Одна из формулировок представляет собой линейную функцию:

${\displaystyle Q=a_{1}X_{1}+a_{2}X_{2}+a_{3}X_{3}+\dotsb +a_{n}X_{n}}$

где — параметры, которые определяются эмпирически. Линейные функции подразумевают, что входы являются идеальными заменителями в производстве. Другой пример — производственная функция Кобба–Дугласа : ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}}$

${\displaystyle Q=a_{0}X_{1}^{a_{1}}X_{2}^{a_{2}}\cdots X_{n}^{a_{n}}}$

где - так называемая общая производительность факторов . Производственная функция Леонтьева применяется к ситуациям, в которых ресурсы должны использоваться в фиксированных пропорциях; начиная с этих пропорций, если использование одного ресурса увеличивается без увеличения другого, выпуск не изменится. Эта производственная функция задается как ${\displaystyle a_{0}}$

${\displaystyle Q=\min(a_{1}X_{1},a_{2}X_{2},\dotsc ,a_{n}X_{n}).}$

Другие формы включают постоянную эластичность функции замещения производства (CES), которая является обобщенной формой функции Кобба–Дугласа, и квадратичную производственную функцию. Лучшая форма уравнения для использования и значения параметров ( ) варьируются от компании к компании и от отрасли к отрасли. В краткосрочной перспективе производственная функция по крайней мере один из 's (входов) фиксирован. В долгосрочной перспективе все входы факторов являются переменными по усмотрению руководства. ${\displaystyle a_{0},\dots ,a_{n}}$ ${\displaystyle X}$

Мойсан и Сенучи (2016) предлагают аналитическую формулу для всех неоклассических производственных функций с двумя входами. ^[4]

Производственная функция в виде графика

Квадратичная производственная функция

Любое из этих уравнений можно изобразить на графике. Типичная (квадратичная) производственная функция показана на следующей диаграмме при условии наличия единственного переменного входного фактора (или фиксированных соотношений входных факторов, чтобы их можно было рассматривать как одну переменную). Все точки выше производственной функции недостижимы при современных технологиях, все точки ниже технически осуществимы, и все точки на функции показывают максимальное количество продукции, которое можно получить при указанном уровне использования входного фактора. От точки A до точки C фирма получает положительную, но уменьшающуюся предельную отдачу от переменного входного фактора. По мере использования дополнительных единиц входного фактора выпуск увеличивается, но с уменьшающейся скоростью. Точка B — это точка, за которой наблюдается уменьшение средней отдачи, что показано уменьшающимся наклоном кривой среднего физического продукта (APP) за точкой Y. Точка B является касательной к самому крутому лучу из начала координат, поэтому средний физический продукт находится на максимуме. За пределами точки B математическая необходимость требует, чтобы предельная кривая находилась ниже средней кривой (см. основы теории производства для получения дополнительных объяснений и Sickles и Zelenyuk (2019) для более подробного обсуждения различных производственных функций, их обобщений и оценок).

Этапы производства

Для упрощения интерпретации производственной функции ее диапазон принято делить на 3 этапа. На этапе 1 (от начала до точки B) переменный вход используется с увеличением выпуска на единицу, причем последний достигает максимума в точке B (поскольку средний физический продукт достигает своего максимума в этой точке). Поскольку выпуск на единицу переменного входа улучшается на протяжении этапа 1, фирма, принимающая цену, всегда будет работать за пределами этого этапа.

На этапе 2 выпуск увеличивается с убывающей скоростью, а средний и предельный физический продукт снижаются. Однако средний продукт постоянных затрат (не показано) все еще растет, поскольку выпуск растет, а использование постоянных затрат остается постоянным. На этом этапе использование дополнительных переменных затрат увеличивает выпуск на единицу постоянных затрат, но снижает выпуск на единицу переменных затрат. Оптимальная комбинация затрат/выпуска для фирмы, принимающей цену, будет на этапе 2, хотя фирма, сталкивающаяся с нисходящей кривой спроса, может посчитать наиболее выгодным работать на этапе 2. На этапе 3 используется слишком много переменных затрат по сравнению с доступными постоянными затратами: переменные затраты используются сверх меры в том смысле, что их присутствие на марже затрудняет производственный процесс, а не улучшает его. Выпуск на единицу как постоянных, так и переменных затрат снижается на протяжении всего этого этапа. На границе между этапами 2 и 3 максимально возможный выпуск получается из постоянных затрат.

Смещение производственной функции

По определению, в долгосрочной перспективе фирма может изменить масштаб своей деятельности, скорректировав уровень ресурсов, которые фиксированы в краткосрочной перспективе, тем самым сместив производственную функцию вверх, как показано на графике в зависимости от переменного ресурса. Если фиксированные ресурсы неоднородны, корректировки масштаба деятельности могут быть более значительными, чем те, которые требуются для простого балансирования производственных мощностей со спросом. Например, вам может потребоваться увеличить производство всего на миллион единиц в год, чтобы удовлетворить спрос, но доступные обновления производственного оборудования могут включать увеличение производственных мощностей на 2 миллиона единиц в год.

Смещение производственной функции

Если фирма работает на уровне максимизации прибыли на первом этапе, в долгосрочной перспективе она может решить сократить масштабы своей деятельности (продав капитальное оборудование). Уменьшая объем основных капитальных вложений, производственная функция сместится вниз. Начало второго этапа смещается с B1 на B2. (Неизменный) уровень максимизации прибыли теперь будет на втором этапе.

Однородные и гомотетические производственные функции

Существует два специальных класса производственных функций, которые часто анализируются. Говорят, что производственная функция является однородной степени , если задана любая положительная константа , . Если , функция демонстрирует возрастающую отдачу от масштаба , и она демонстрирует убывающую отдачу от масштаба , если . Если она однородна степени , она демонстрирует постоянную отдачу от масштаба. Наличие возрастающей отдачи означает, что увеличение уровней использования всех ресурсов на один процент приведет к увеличению выпуска более чем на один процент; наличие убывающей отдачи означает, что это приведет к увеличению выпуска менее чем на один процент. Постоянная отдача от масштаба является промежуточным случаем. В производственной функции Кобба-Дугласа, упомянутой выше, отдача от масштаба увеличивается, если , уменьшается, если , и постоянна, если . ${\displaystyle Q=f(X_{1},X_{2},\dotsc ,X_{n})}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle f(kX_{1},kX_{2},\dotsc ,kX_{n})=k^{m}f(X_{1},X_{2},\dotsc ,X_{n})}$ ${\displaystyle m>1}$ ${\displaystyle m<1}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle a_{1}+a_{2}+\dotsb +a_{n}>1}$ ${\displaystyle a_{1}+a_{2}+\dotsb +a_{n}<1}$ ${\displaystyle a_{1}+a_{2}+\dotsb +a_{n}=1}$

Если производственная функция однородна степени один, ее иногда называют «линейно однородной». Линейно однородная производственная функция с затратами капитала и труда обладает свойствами, заключающимися в том, что предельные и средние физические продукты как капитала, так и труда могут быть выражены как функции только капиталоемкости. Более того, в этом случае, если каждый вклад оплачивается по ставке, равной его предельному продукту, доходы фирмы будут полностью исчерпаны, и не будет никакой избыточной экономической прибыли. ^{[5] : стр.412–414}

Гомотетические функции — это функции, предельная техническая норма замещения которых (наклон изокванты , кривой, проведенной через множество точек, скажем, в пространстве труда и капитала, при которой производится одинаковое количество продукции для различных комбинаций ресурсов) является однородной нулевой степени. Благодаря этому вдоль лучей, исходящих из начала координат, наклоны изокванты будут одинаковыми. Гомотетические функции имеют вид , где — монотонно возрастающая функция (производная от положительна ( )), а функция является однородной функцией любой степени. ${\displaystyle F(h(X_{1},X_{2}))}$ ${\displaystyle F(y)}$ ${\displaystyle F(y)}$ ${\displaystyle \mathrm {d} F/\mathrm {d} y>0}$ ${\displaystyle h(X_{1},X_{2})}$

Агрегированные производственные функции

В макроэкономике иногда строятся совокупные производственные функции для целых стран. Теоретически они представляют собой сумму всех производственных функций отдельных производителей; однако существуют методологические проблемы, связанные с совокупными производственными функциями, и экономисты активно спорят о том, является ли эта концепция обоснованной. ^[3]

Критика теории производственной функции

Существует два основных критических замечания ^{[ какие? ]} по поводу стандартной формы производственной функции. ^[6]

О концепции капитала

В 1950-х, 60-х и 70-х годах шли оживленные дебаты о теоретической обоснованности производственных функций (см. полемику о Капитале ). Хотя критика была направлена ​​в первую очередь на совокупные производственные функции, микроэкономические производственные функции также подверглись пристальному вниманию. Дебаты начались в 1953 году, когда Джоан Робинсон раскритиковала способ измерения факторного капитала и то, как понятие пропорций факторов отвлекало экономистов. Она писала:

«Производственная функция была мощным инструментом неправильного образования. Студента экономической теории учат писать, где есть количество труда, количество капитала и норма выпуска товаров. [Им] предписывают предполагать, что все рабочие одинаковы, и измерять в человеко-часах труда; [им] говорят что-то о проблеме индексного числа при выборе единицы выпуска; а затем [их] торопят перейти к следующему вопросу, в надежде, что [они] забудут спросить, в каких единицах измеряется K. Прежде чем [они] когда-либо спросят, [они] становятся профессорами, и поэтому небрежные привычки мышления передаются из поколения в поколение». ^[7] ${\displaystyle Q=f(L,K)}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle L}$

Согласно аргументу, невозможно представить себе капитал таким образом, чтобы его количество не зависело от процентных ставок и заработной платы . Проблема в том, что эта независимость является предпосылкой построения изокванты. Кроме того, наклон изокванты помогает определить относительные цены факторов, но кривую нельзя построить (и измерить ее наклон), если цены заранее не известны.

Об эмпирической релевантности

В результате критики их слабых теоретических оснований было заявлено, что эмпирические результаты твердо поддерживают использование неоклассических хорошо себя ведущих агрегированных производственных функций. Тем не менее, Анвар Шейх продемонстрировал, что они также не имеют эмпирической значимости, пока предполагаемое хорошее соответствие исходит из бухгалтерского тождества, а не из каких-либо базовых законов производства/распределения. ^[8]

Природные ресурсы

Природные ресурсы обычно отсутствуют в производственных функциях. Когда Роберт Солоу и Джозеф Стиглиц попытались разработать более реалистичную производственную функцию, включив природные ресурсы, они сделали это способом, который экономист Николас Джорджеску-Реген раскритиковал как «фокус»: Солоу и Стиглиц не смогли принять во внимание законы термодинамики , поскольку их вариант позволил искусственному капиталу стать полной заменой природных ресурсов. Ни Солоу, ни Стиглиц не отреагировали на критику Джорджеску-Регена, несмотря на приглашение сделать это в сентябрьском выпуске журнала Ecological Economics за 1997 год . ^{[2] [9] : 127–136  [3] [10]}

Джорджеску-Регена можно понимать как критику подхода Солоу и Стиглица к математическому моделированию факторов производства. Мы воспользуемся примером энергии, чтобы проиллюстрировать сильные и слабые стороны двух рассматриваемых подходов.

Независимые факторы производства

Роберт Солоу и Джозеф Стиглиц описывают подход к моделированию энергии как фактора производства, который предполагает следующее: ^[11]

• Труд, капитал, затраты энергии и технические изменения (опущены ниже для краткости) являются единственными значимыми факторами производства.
• Факторы производства независимы друг от друга, так что производственная функция принимает общий вид : ${\displaystyle Q=f(L,K,E)}$
• Затраты труда, капитала и энергии зависят только от времени, поэтому . ${\displaystyle K=K(t),L=L(t),E=E(t)}$

Этот подход дает зависящую от энергии производственную функцию, заданную как . ^{[11] [12]} Однако, как обсуждалось в более поздних работах, этот подход неточно моделирует механизм, посредством которого энергия влияет на производственные процессы. ^[13] Рассмотрим следующие случаи, которые подтверждают пересмотр предположений, сделанных этой моделью: ${\displaystyle Q=AL^{\beta }K^{\alpha }E^{\chi }}$

• Если рабочие на любом этапе производственного процесса полагаются на электричество для выполнения своей работы, отключение электроэнергии значительно снизит их максимальную производительность, а достаточно длительное отключение электроэнергии снизит их максимальную производительность до нуля. Поэтому следует моделировать как напрямую зависящее от зависящего от времени энергопотребления . ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle E(t)}$

• Если бы произошло отключение электроэнергии, машины не смогли бы работать, и поэтому их максимальная производительность была бы снижена до нуля. Поэтому следует моделировать как напрямую зависящую от зависящего от времени входа энергии . ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle E(t)}$

Также было показано, что эта модель предсказывает 28%-ное снижение производительности при 99%-ном снижении потребления энергии, что дополнительно подтверждает необходимость пересмотра допущений этой модели. ^[13] Обратите внимание, что, хотя «независимый» подход к моделированию и не подходит для энергетики, он может быть подходящим для моделирования других природных ресурсов, таких как земля.

Взаимозависимые факторы производства

«Независимая» энергозависимая производственная функция может быть пересмотрена путем рассмотрения энергозависимых функций труда и капитала , . Этот подход дает энергозависимую производственную функцию, заданную в общем виде как . Подробности, связанные с выводом конкретной функциональной формы этой производственной функции, а также эмпирическое обоснование этой формы производственной функции обсуждаются в недавно опубликованной работе. ^[13] Обратите внимание, что аналогичные аргументы могут быть использованы для разработки более реалистичных производственных функций, которые учитывают другие истощаемые природные ресурсы помимо энергии: ${\displaystyle L=L(E(t))}$ ${\displaystyle K=K(E(t))}$ ${\displaystyle Q=f(L(E),K(E))}$

• Если в географическом регионе заканчиваются природные ресурсы, необходимые для производства данной машины или обслуживания существующих машин, и он не может импортировать больше или перерабатывать, машины в этом регионе в конечном итоге придут в негодность, а максимальный выход машин снизится почти до нуля. Это следует моделировать как существенно влияющее на общий выход. Следовательно, следовательно, следует моделировать как напрямую зависящее от зависящего от времени поступления природных ресурсов . ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle N(t)}$

Практика производственных функций

Теория производственной функции описывает связь между физическими результатами производственного процесса и физическими затратами, т. е. факторами производства. Практическое применение производственных функций достигается путем оценки физических результатов и затрат по их ценам. Экономическая стоимость физических результатов за вычетом экономической стоимости физических затрат представляет собой доход, полученный в результате производственного процесса. Поддерживая фиксированные цены между двумя рассматриваемыми периодами, мы получаем изменение дохода, полученное в результате изменения производственной функции. Это принцип того, как производственная функция становится практической концепцией, т. е. измеримой и понятной в практических ситуациях.

Смотрите также

• Линия сборки
• Автоматизированное производство
• Распределение (экономика)
• Разделение труда
• Экономический район производства
• Промышленная революция
• Массовое производство
• Производство
• Основы теории производства
• Производство, затраты и ценообразование
• Граница производственных возможностей
• Производительные силы
• Производительный и непроизводительный труд
• Производительность
• Технологии повышения производительности (исторические)
• Модель производительности
• Вторая промышленная революция

Ссылки

Цитаты

1. Сиклс, Р. и Зеленюк, В. (2019). Измерение производительности и эффективности: теория и практика. Кембридж: Cambridge University Press. doi:10.1017/9781139565981
2. Daly, H (1997). «Форум по Джорджеску-Регену против Солоу/Стиглица». Экологическая экономика . 22 (3): 261–306. doi :10.1016/S0921-8009(97)00080-3.
3. Cohen, AJ; Harcourt, GC (2003). «Ретроспективы: что случилось с противоречиями Кембриджской теории капитала?». Журнал экономических перспектив . 17 (1): 199–214. doi : 10.1257/089533003321165010 .
4. см. Moysan и, G.; Senouci, M. (2016). «Заметка о 2-входовых неоклассических производственных функциях». Журнал математической экономики . 67 : 80–86. doi :10.1016/j.jmateco.2016.09.011. S2CID  3581910.
5. Чан, Альфа С. (1984) Фундаментальные методы математической экономики , третье издание, McGraw-Hill.
6. Об истории производственных функций см. Mishra, SK (2007). "Краткая история производственных функций". Рабочий документ . SSRN  1020577.
7. Робинсон, Джоан (1953). «Производственная функция и теория капитала». Обзор экономических исследований . 21 (2): 81–106. doi :10.2307/2296002. JSTOR  2296002.
8. Шейх, А. (1974). «Законы производства и законы алгебры: обманчивая производственная функция». Обзор экономики и статистики . 56 (1): 115–120. doi :10.2307/1927538. JSTOR  1927538.
9. Дейли, Герман Э. (2007). «Как долго неоклассические экономисты могут игнорировать вклад Джорджеску-Регена?». Экологическая экономика и устойчивое развитие. Избранные эссе Германа Дейли (PDF) . Челтнем: Эдвард Элгар. ISBN 978-1-84720-101-0– через United Diversity.
10. Айрес, Роберт У .; Уорр, Бенджамин (2009). Двигатель экономического роста: как полезный труд создает материальное процветание . Эдвард Элгар. ISBN 978-1-84844-182-8.
11. Stiglitz, Joseph E. (1974). «Рост с исчерпаемыми природными ресурсами: конкурентная экономика». The Review of Economic Studies . 41 : 139–152. doi :10.2307/2296378. ISSN  0034-6527. JSTOR  2296378.
12. Кюммель, Райнер; Айрес, Роберт У.; Линденбергер, Дитмар (2010-07-01). «Термодинамические законы, экономические методы и производительная сила энергии». Журнал неравновесной термодинамики . 35 (2): 145–179. Bibcode :2010JNET...35..145K. doi :10.1515/jnetdy.2010.009. ISSN  1437-4358. S2CID  73538957.
13. Кин, Стив; Айрес, Роберт У.; Стэндиш, Рассел (2019-03-01). «Заметка о роли энергии в производстве». Экологическая экономика . 157 : 40–46. Bibcode :2019EcoEc.157...40K. doi :10.1016/j.ecolecon.2018.11.002. ISSN  0921-8009. S2CID  158863011.

Источники

• Йоргенсон, Д.У.; Хо, М.С.; Сэмюэлс, Дж.Д. (2014). Долгосрочные оценки производительности и роста США (PDF) . Токио: Третья всемирная конференция KLEMS.
• Риистама, К.; Йирккиё Э. (1971). Operatiivinen laskentatoimi (Оперативный учет) . Вейлин + Гёэс. п. 335.
• Саари, С. (2006). Производительность. Теория и измерение в бизнесе (PDF) . Эспоо, Финляндия: Европейская конференция по производительности.
• Саари, С. (2011). Производство и производительность как источники благополучия. MIDO OY. стр. 25.
• Sickles, R., & Zelenyuk, V. (2019). Измерение производительности и эффективности: теория и практика. Кембридж: Cambridge University Press. https://assets.cambridge.org/97811070/36161/frontmatter/9781107036161_frontmatter.pdf

Дальнейшее чтение

• Бремс, Ганс (1968). «Производственная функция». Количественная экономическая теория . Нью-Йорк: Wiley. С. 62–74.
• Крейг, К.; Харрис, Р. (1973). «Измерение общей производительности на уровне фирмы». Sloan Management Review (весна 1973 г.): 13–28.
• Guerrien B. и O. Gun (2015) «Положить конец совокупной функции производства... навсегда?», Real World Economic Review N°73
• Hulten, CR (январь 2000 г.). "Совокупная производительность факторов производства: краткая биография". Рабочий документ NBER № 7471. doi : 10.3386 /w7471 .
• Хитфилд, Д. Ф. (1971). Производственные функции . Macmillan Studies in Economics. Нью-Йорк: Macmillan Press.
• Intriligator, Michael D. (1971). Математическая оптимизация и экономическая теория. Englewood Cliffs: Prentice-Hall. С. 178–189. ISBN 0-13-561753-7.
• Лейдлер, Дэвид (1981). Введение в микроэкономику (Второе изд.). Оксфорд: Philip Allan. С. 124–137. ISBN 0-86003-131-4.
• Морис, С. Чарльз; Филлипс, Оуэн Р.; Фергюсон, CE (1982). Экономический анализ: теория и применение (четвертое издание). Homewood: Irwin. стр. 169–222. ISBN 0-256-02614-9.
• Морони, Дж. Р. (1967). «Производственные функции Кобба–Дугласа и отдача от масштаба в обрабатывающей промышленности США». Western Economic Journal . 6 (1): 39–51. doi :10.1111/j.1465-7295.1967.tb01174.x.
• Pearl, D.; Enos, J. (1975). «Инженерные производственные функции и технологический прогресс». Журнал промышленной экономики . 24 (1): 55–72. doi :10.2307/2098099. JSTOR  2098099.
• Шепард, Р. (1970). Теория стоимости и производственных функций . Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press.
• Томпсон, А. (1981). Экономика фирмы: теория и практика (3-е изд.). Englewood Cliffs: Prentice Hall. ISBN 0-13-231423-1.
• Sickles, R., & Zelenyuk, V. (2019). Измерение производительности и эффективности: теория и практика. Кембридж: Cambridge University Press. https://assets.cambridge.org/97811070/36161/frontmatter/9781107036161_frontmatter.pdf

Внешние ссылки

• Дальнейшее описание производственных функций
• Анатомия производственных функций типа Кобба-Дугласа в 3D
• Анатомия производственных функций типа CES в 3D