Характеристический импеданс

Свойство электрической цепи

Линия передачи , нарисованная в виде двух черных проводов. На расстоянии x в линию через каждый провод проходит вектор тока I ( x ), а между проводами существует вектор разности напряжений V ( x ) (нижнее напряжение минус верхнее напряжение). Если – характеристическое сопротивление линии, то для волны, движущейся вправо, или для волны, движущейся влево. ${\displaystyle Z_{0}}$ ${\displaystyle V(x)/I(x)=Z_{0}}$ ${\displaystyle V(x)/I(x)=-Z_{0}}$

Схематическое изображение цепи , в которой источник подключен к нагрузке с помощью линии передачи, имеющей характеристическое сопротивление. ${\displaystyle Z_{0}}$

Характеристическое сопротивление или волновое сопротивление (обычно обозначаемое Z ₀ ) однородной линии передачи представляет собой отношение амплитуд напряжения и тока одной волны, распространяющейся по линии; то есть волна, бегущая в одном направлении при отсутствии отражений в другом направлении. Альтернативно и эквивалентно его можно определить как входное сопротивление линии передачи, когда ее длина бесконечна. Характеристическое сопротивление определяется геометрией и материалами линии передачи и для однородной линии не зависит от ее длины. Единицей характеристического сопротивления в системе СИ является ом .

Характеристическое сопротивление линии передачи без потерь чисто реальное , без реактивной составляющей. Энергия, подаваемая источником на одном конце такой линии, передается по линии, не рассеиваясь в самой линии. Линия передачи конечной длины (без потерь или с потерями), оканчивающаяся на одном конце сопротивлением, равным характеристическому сопротивлению, воспринимается источником как бесконечно длинная линия передачи и не вызывает отражений.

Модель линии электропередачи

Характеристическое сопротивление бесконечной линии передачи при заданной угловой частоте представляет собой отношение напряжения и тока чистой синусоидальной волны той же частоты, бегущей по линии. Это соотношение также справедливо для конечных линий передачи, пока волна не достигнет конца линии. Обычно волна отражается вдоль линии в противоположном направлении. Когда отраженная волна достигает источника, она отражается еще раз, добавляя к прошедшей волне и изменяя соотношение напряжения и тока на входе, в результате чего соотношение напряжения и тока больше не равно характеристическому импедансу. Это новое соотношение, включающее отраженную энергию, называется входным сопротивлением . ${\displaystyle Z(\omega )}$ ${\displaystyle \omega }$

Входное сопротивление бесконечной линии равно характеристическому сопротивлению, поскольку передаваемая волна никогда не отражается обратно от конца. Эквивалентно: характеристическое сопротивление линии — это сопротивление, которое при подключении линии произвольной длины на выходе создает входное сопротивление равного значения . Это происходит потому, что на линии, оканчивающейся на ее собственном волновом сопротивлении, нет отражения.

Схема модели Хевисайда бесконечно малого сегмента линии передачи

Применяя модель линии передачи, основанную на уравнениях телеграфиста , полученных ниже, ^{[1] [2]} общее выражение для характеристического сопротивления линии передачи:

$${\displaystyle Z_{0}={\sqrt {{\frac {R+j\omega L}{G+j\omega C}}\,}}}$$

• ${\displaystyle R}$сопротивление на единицу длины, если считать , что два проводника включены последовательно ,
• ${\displaystyle L}$- индуктивность на единицу длины,
• ${\displaystyle G}$- проводимость диэлектрика на единицу длины,
• ${\displaystyle C}$- емкость на единицу длины,
• ${\displaystyle j}$– мнимая единица , а
• ${\displaystyle \omega }$- угловая частота .

Это выражение распространяется на DC, стремясь к 0. ${\displaystyle \omega }$

Всплеск энергии в конечной линии передачи будет иметь сопротивление до возвращения каких-либо отражений; следовательно, импульсное сопротивление является альтернативным названием характеристического импеданса . Хотя предполагается бесконечная линия, поскольку все величины указаны на единицу длины, части «на длину» всех единиц сокращаются, а характеристический импеданс не зависит от длины линии передачи. ${\displaystyle Z_{0}}$

Векторы напряжения и тока на линии связаны характеристическим сопротивлением следующим образом:

$${\displaystyle {\frac {V_{(+)}}{I_{(+)}}}=Z_{\text{0}}=-{\frac {V_{(-)}}{I_{(-)}}}}$$

Вывод

Используя уравнение телеграфиста

Рассмотрим один участок линии передачи для определения характеристического сопротивления. Напряжение слева будет V , а справа — V + d V. Эту цифру следует использовать для обоих методов вывода.

Дифференциальные уравнения, описывающие зависимость напряжения и тока от времени и пространства, линейны, так что линейная комбинация решений снова является решением. Это означает, что мы можем рассматривать решения с зависимостью от времени – это функционально эквивалентно решению коэффициентов Фурье для амплитуд напряжения и тока на некоторой фиксированной угловой частоте . Это приводит к тому, что временная зависимость выводится на множитель, оставляя обыкновенное дифференциальное уравнение для коэффициентов, которые будут векторами , зависящими только от положения (пространства). Более того, параметры можно обобщить как частотно-зависимые. ^[1] ${\displaystyle e^{j\omega t}}$ ${\displaystyle \omega }$

Позволять

$${\displaystyle V(x,t)\equiv V(x)\ e^{+j\omega t}}$$

$${\displaystyle I(x,t)\equiv I(x)\ e^{+j\omega t}}$$

Возьмите положительное направление для и в цикле по часовой стрелке. ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle I}$

Мы находим это

$${\displaystyle \mathrm {d} V=-\left(R+j\omega L\right)I\ \mathrm {d} x=-Z'\ I\ \mathrm {d} x}$$

$${\displaystyle \mathrm {d} I=-\left(G+j\omega C\right)V\ \mathrm {d} x=-Y'\ V\ \mathrm {d} x}$$

$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} V}{\mathrm {d} x}}=-Z'\ I\qquad {\text{ and }}\qquad {\frac {\mathrm {d} I}{\mathrm {d} x}}=-Y'\ V}$$

$${\displaystyle Z'\equiv R+j\omega L\qquad {\text{ and }}\qquad Y'\equiv G+j\omega C~.}$$

Эти два уравнения первого порядка легко разделяются вторым дифференцированием, что дает следующие результаты:

$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}V}{\mathrm {d} x^{2}}}=Z'Y'\,V}$$

$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}I}{\mathrm {d} x^{2}}}=Z'Y'\,I}$$

Обратите внимание, что оба и удовлетворяют одному и тому же уравнению. ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle I}$

Поскольку не зависит от и , его можно представить одной константой . (Знак минус включен для дальнейшего удобства.) То есть: ${\displaystyle Z'Y'}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle -k^{2}}$

$${\displaystyle -k^{2}\equiv Z'\,Y'}$$

$${\displaystyle jk=\pm {\sqrt {Z'\,Y'\,}}}$$

Мы можем записать приведенное выше уравнение как

$${\displaystyle k=\pm \omega {\sqrt {\left(L-j{\frac {R}{\omega }}\right)\left(C-j{\frac {G}{\omega }}\right)\,}}=\pm \omega {\sqrt {L\ C\ }}{\sqrt {\left(1-j{\frac {R}{\omega L}}\right)\left(1-j{\frac {G}{\omega C}}\right)\,}}}$$

${\displaystyle R}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \omega L}$ ${\displaystyle \omega C}$ ${\displaystyle k}$

$${\displaystyle k\approx \pm \omega {\sqrt {LC\,}}\,.}$$

При таком определении часть , зависящая от положения или от положения , будет выглядеть так же, как и в экспоненциальном решении уравнения, подобно части, зависящей от времени , поэтому решение будет выглядеть так: ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \pm j\,k\,x}$ ${\displaystyle +j\,\omega \,t}$

$${\displaystyle V(x)=v_{(+)}\ e^{-jkx}+v_{(-)}e^{+jkx}}$$

константы интегрирования ${\displaystyle v_{(+)}}$ ${\displaystyle v_{(-)}}$

$${\displaystyle V(x,t)~=~V(x)\ e^{+j\omega t}~=~v_{(+)}\ e^{-jkx+j\omega t}+v_{(-)}e^{+jkx+j\omega t}\,.}$$

Поскольку уравнение для имеет тот же вид, то оно имеет решение того же вида: ${\displaystyle I}$

$${\displaystyle I(x)=i_{(+)}\ e^{-jkx}+i_{(-)}\ e^{+jkx}\,,}$$

константы интегрирования ${\displaystyle i_{(+)}}$ ${\displaystyle i_{(-)}}$

Приведенные выше уравнения являются волновым решением для и . Чтобы быть совместимыми, они все равно должны удовлетворять исходным дифференциальным уравнениям, одно из которых ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle I}$

$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} V}{\mathrm {d} x}}=-Z'I\,.}$$

Подставив решения для и в приведенное выше уравнение, получим ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle I}$

$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left[v_{(+)}\ e^{-jkx}+v_{(-)}\ e^{+jkx}\right]=-(R+j\omega L)\left[\ i_{(+)}\ e^{-jkx}+i_{(-)}\ e^{+jkx}\right]}$$

$${\displaystyle -jk\ v_{(+)}\ e^{-jkx}+jk\ v_{(-)}\ e^{+jkx}=-(R+j\omega L)\ i_{(+)}\ e^{-jkx}-(R+j\omega L)\ i_{(-)}\ e^{+jkx}}$$

Изолируя различные степени и объединяя одинаковые степени, мы видим, что для того, чтобы приведенное выше уравнение выполнялось для всех возможных значений, мы должны иметь: ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle x}$

• Для коэффициентов : ${\displaystyle e^{-jkx}}$
  $${\displaystyle -j\,k\ v_{(+)}=-(R+j\omega L)\ i_{(+)}}$$
• Для коэффициентов : ${\displaystyle e^{+jkx}}$
  $${\displaystyle +j\,k\ v_{(-)}=-(R+j\omega L)\ i_{(-)}}$$

С ${\textstyle jk={\sqrt {(R+j\omega L)(G+j\omega C)\,}}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}+{\frac {v_{(+)}}{i_{(+)}}}&={\frac {R+j\omega L}{jk}}={\sqrt {{\frac {R+j\omega L}{G+j\omega C}}\ }}\equiv Z_{0}\\[1ex]-{\frac {v_{(-)}}{i_{(-)}}}&={\frac {R+j\omega L}{jk}}={\sqrt {{\frac {R+j\omega L}{G+j\omega C}}\ }}\equiv Z_{0}\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle v_{(+)}=+Z_{0}\ i_{(+)}\quad {\text{ and }}\quad v_{(-)}=-Z_{0}\ i_{(-)}}$$

Видно, что константа , определенная в приведенных выше уравнениях, имеет размеры импеданса (отношение напряжения к току) и является функцией первичных констант линии и рабочей частоты. Его называют «характеристическим сопротивлением» линии передачи и условно обозначают . ^[2] ${\displaystyle Z_{0}}$ ${\displaystyle Z_{0}}$

$${\displaystyle Z_{0}\quad =\quad {\sqrt {{\frac {R+j\omega L}{G+j\omega C}}\ }}\quad =\quad {\sqrt {\ {\frac {\ L\ }{C}}\ }}{\sqrt {{\frac {\ 1-j\left({\frac {R}{\omega L}}\right)\,}{\ 1-j\left({\frac {G}{\omega C}}\right)\,}}\,}}}$$

${\displaystyle R}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \omega }$

$${\displaystyle Z_{0}\approx {\sqrt {{\frac {L}{C}}\,}}}$$

Альтернативный подход

Мы следуем подходу, предложенному Тимом Хили. ^[3] Линия моделируется серией дифференциальных сегментов с дифференциальными сериями и шунтирующими элементами (как показано на рисунке выше). Характеристический импеданс определяется как отношение входного напряжения к входному току линии полубесконечной длины. Мы называем это импедансом . То есть импеданс, если смотреть на линию слева, равен . Но, конечно, если мы пройдем по линии на одну дифференциальную длину , сопротивление в линии останется таким же . Следовательно, мы можем сказать, что импеданс, если смотреть на крайнюю левую линию, равен параллельному и , все из которых включены последовательно с и . Следовательно: ${\displaystyle \left(R\ \mathrm {d} x,L\ \mathrm {d} x\right)}$ ${\displaystyle \left(C\ \mathrm {d} x,G\ \mathrm {d} x\right)}$ ${\displaystyle Z_{0}\,.}$ ${\displaystyle Z_{0}}$ ${\displaystyle \mathrm {d} x}$ ${\displaystyle Z_{0}}$ ${\displaystyle Z_{0}}$ ${\displaystyle C\,\mathrm {d} x}$ ${\displaystyle G\,\mathrm {d} x}$ ${\displaystyle R\,\mathrm {d} x}$ ${\displaystyle L\,\mathrm {d} x}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}Z_{0}&=(R+j\omega L)\ \mathrm {d} x+{\frac {1}{~(G+j\omega C)\ \mathrm {d} x+{\frac {1}{\ Z_{0}\ }}\,}}\\[1ex]Z_{0}&=(R+j\omega L)\ \mathrm {d} x+{\frac {\ Z_{0}\ }{Z_{0}\ (G+j\omega C)\ \mathrm {d} x+1\,}}\\[1ex]Z_{0}+Z_{0}^{2}\ (G+j\omega C)\ \mathrm {d} x&=(R+j\omega L)\ \mathrm {d} x+Z_{0}\ (G+j\omega C)\ \mathrm {d} x\ (R+j\omega L)\ \mathrm {d} x+Z_{0}\end{aligned}}}$$

Добавленные условия отменяются, оставляя ${\displaystyle Z_{0}}$

$${\displaystyle Z_{0}^{2}\ (G+j\omega C)\ \mathrm {d} x=(R+j\omega L)\ \mathrm {d} x+Z_{0}\ (G+j\omega C)\ (R+j\omega L)\ (\mathrm {d} x)^{2}}$$

Члены первой степени представляют собой высший оставшийся порядок. Выделив общий множитель и разделив на множитель , получим ${\displaystyle \mathrm {d} x}$ ${\displaystyle \mathrm {d} x}$ ${\displaystyle (G+j\omega C)}$

$${\displaystyle Z_{0}^{2}={\frac {(R+j\omega L)}{\ (G+j\omega C)\ }}+Z_{0}\ (R+j\omega L)\,\mathrm {d} x\,.}$$

По сравнению с факторами, которые были разделены, последний член, который все еще содержит оставшийся фактор , бесконечно мал по отношению к другим, теперь конечным членам, поэтому мы можем отбросить его. Это приводит к ${\displaystyle \mathrm {d} x}$ ${\displaystyle \mathrm {d} x}$

$${\displaystyle Z_{0}=\pm {\sqrt {{\frac {\ R+j\omega L\ }{G+j\omega C}}\,}}\,.}$$

Изменение знака ± , примененного к квадратному корню, приводит к изменению направления потока тока.

Линия без потерь

Анализ линий без потерь обеспечивает точную аппроксимацию реальных линий передачи, что упрощает математические расчеты, рассматриваемые при моделировании линий передачи. Линия без потерь определяется как линия передачи, которая не имеет линейного сопротивления и диэлектрических потерь . Это означало бы, что проводники действуют как идеальные проводники, а диэлектрик — как идеальный диэлектрик. Для линии без потерь R и G равны нулю, поэтому уравнение для характеристического импеданса, полученное выше, сводится к:

$${\displaystyle Z_{0}={\sqrt {{\frac {L}{C}}\,}}\,.}$$

В частности, больше не зависит от частоты. Вышеупомянутое выражение полностью реально, поскольку мнимый член j сократился, что означает, что оно является чисто резистивным. Для линии без потерь, оканчивающейся на , потери тока в линии нет, и поэтому напряжение вдоль линии остается неизменным. Модель линии без потерь является полезным приближением для многих практических случаев, таких как линии передачи с низкими потерями и линии передачи с высокой частотой. В обоих этих случаях R и G намного меньше, чем ωL и ωC соответственно, и поэтому их можно игнорировать. ${\displaystyle Z_{0}}$ ${\displaystyle Z_{0}}$ ${\displaystyle Z_{0}}$

Решения уравнений передачи по длинной линии включают падающую и отраженную части напряжения и тока:

$${\displaystyle {\begin{aligned}V&={\frac {V_{r}+I_{r}Z_{c}}{2}}e^{\gamma x}+{\frac {V_{r}-I_{r}Z_{c}}{2}}e^{-\gamma x}\\[1ex]I&={\frac {V_{r}/Z_{c}+I_{r}}{2}}e^{\gamma x}-{\frac {V_{r}/Z_{c}-I_{r}}{2}}e^{-\gamma x}\end{aligned}}}$$

Импедансная нагрузка

При передаче электроэнергии характеристическое сопротивление линии электропередачи выражается через импульсное сопротивление нагрузки ( SIL ) или естественную нагрузку, представляющую собой силовую нагрузку, при которой реактивная мощность не производится и не поглощается:

$${\displaystyle {\mathit {SIL}}={\frac {{V_{\mathrm {LL} }}^{2}}{Z_{0}}}}$$

среднеквадратичноенапряжениевольтах ${\displaystyle V_{\mathrm {LL} }}$

При нагрузке ниже уровня SIL напряжение на нагрузке будет выше напряжения системы. Выше него напряжение нагрузки понижено. Эффект Ферранти описывает усиление напряжения на удаленном конце очень малонагруженной (или разомкнутой) линии передачи. Подземные кабели обычно имеют очень низкий характеристический импеданс, в результате чего SIL обычно превышает тепловой предел кабеля.

Практические примеры

Характеристическое сопротивление коаксиальных кабелей (коаксиального кабеля) обычно выбирается равным 50 Ом для радиочастотных и микроволновых применений. Коаксиальный кабель для видеоприложений обычно имеет сопротивление 75 Ом из-за меньших потерь.

Смотрите также

• Круговой закон Ампера  - концепция классического электромагнетизма
• Характеристический акустический импеданс  - сопротивление, которое система оказывает акустическому давлению.Pages displaying short descriptions of redirect targets
• Итеративный импеданс , характеристический импеданс является предельным случаем этого
• Уравнения Максвелла  - Уравнения, описывающие классический электромагнетизм.
• Волновое сопротивление  - константа, связанная с распространением электромагнитных волн в среде.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Космическая ткань  – Гипотетическая плоскость с удельным сопротивлением 376,7 Ом на квадрат.

Рекомендации

1. «Уравнение телеграфиста». mysite.du.edu . Проверено 9 сентября 2018 г.
2. «Вывод характеристического сопротивления линии передачи». ВОРОТА ЕЭК 2018 . 16 апреля 2016 года. Архивировано из оригинала 9 сентября 2018 года . Проверено 9 сентября 2018 г.
3. «Характеристическое сопротивление». www.ee.scu.edu . Архивировано из оригинала 19 мая 2017 г. Проверено 9 сентября 2018 г.
4. "SuperCat НАРУЖНАЯ КАТЕГОРИЯ 5e U/UTP" (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 16 марта 2012 г.
5. «Глава 2 – Аппаратное обеспечение» . USB в двух словах. За пределами Logic.org . Проверено 25 августа 2007 г.
6. «Рекомендации по компоновке печатной платы AN10798 DisplayPort» (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 9 октября 2022 г. Проверено 29 декабря 2019 г.
7. «Оценка» (PDF) . materias.fi.uba.ar. Архивировано (PDF) из оригинала 9 октября 2022 г. Проверено 29 декабря 2019 г.
8. "VMM5FL" (PDF) . технические характеристики профессионального видео. Архивировано из оригинала (PDF) 2 апреля 2016 г. Проверено 21 марта 2016 г.
9. Сингх 2008, стр. 212.

Источники

• Гайл, А.Е. (1977). Электроэнергетические системы . ISBN 0-08-021729-Х.
• Позар, Д.М. (февраль 2004 г.). Микроволновая техника (3-е изд.). ISBN 0-471-44878-8.
• Улаби, FT (2004). Основы прикладной электромагнетики (изд. СМИ). Прентис Холл. ISBN 0-13-185089-Х.
• Сингх, С.Н. (23 июня 2008 г.). Производство электроэнергии: передача и распределение (2-е изд.). PHI Learning Pvt. ООО с. 212. ИСБН 9788120335608. ОКЛК  1223330325.

Внешние ссылки

 Эта статья включает общедоступные материалы из Федерального стандарта 1037C. Управление общего обслуживания . Архивировано из оригинала 22 января 2022 г.