В геометрии фигура является хиральной (и считается имеющей хиральность ), если она не идентична своему зеркальному отображению , или, точнее, если она не может быть отображена в свое зеркальное отображение только вращениями и переносами . Объект, который не является хиральным, называется ахиральным .
Хиральный объект и его зеркальное отражение называются энантиоморфами . Слово хиральность происходит от греческого χείρ (cheir), рука, наиболее известного хирального объекта; слово энантиоморф происходит от греческого ἐναντίος (enantios) «противоположный» + μορφή (morphe) «форма».
Некоторым хиральным трехмерным объектам, таким как спираль , можно приписать правую или левую направленность в соответствии с правилом правой руки .
Многие другие знакомые объекты демонстрируют ту же хиральную симметрию человеческого тела, например, перчатки и обувь. Правые туфли отличаются от левых только тем, что являются зеркальными отражениями друг друга. Напротив, тонкие перчатки не могут считаться хиральными, если вы можете носить их наизнанку. [1]
Тетромино в форме букв J, L, S и Z популярной видеоигры Тетрис также демонстрируют хиральность, но только в двумерном пространстве. По отдельности они не содержат зеркальной симметрии в плоскости.
Фигура ахиральна тогда и только тогда, когда ее группа симметрии содержит хотя бы одну изометрию , меняющую ориентацию . (В евклидовой геометрии любая изометрия может быть записана как с ортогональной матрицей и вектором . Тогда определитель равен либо 1, либо −1. Если он равен −1, то изометрия является меняющей ориентацию, в противном случае она сохраняет ориентацию.
Существует общее определение хиральности, основанное на теории групп. [2] Оно не ссылается ни на какое понятие ориентации: изометрия является прямой тогда и только тогда, когда она является произведением квадратов изометрий, а если нет, то это косвенная изометрия. Полученное определение хиральности работает в пространстве-времени. [3] [4]
В двух измерениях каждая фигура, обладающая осью симметрии, является ахиральной, и можно показать, что каждая ограниченная ахиральная фигура должна иметь ось симметрии. ( Ось симметрии фигуры — это прямая , такая, что инвариантна относительно отображения , когда выбрана в качестве оси системы координат.) По этой причине треугольник является ахиральным, если он равносторонний или равнобедренный , и хиральным, если он разносторонний .
Рассмотрим следующую схему:
Эта фигура хиральна, так как она не идентична своему зеркальному отображению:
Но если продолжить узор в обоих направлениях до бесконечности, то получим (неограниченную) ахиральную фигуру, не имеющую оси симметрии. Ее группа симметрии — это группа фриза, порожденная одним скользящим отражением .
В трех измерениях каждая фигура, обладающая зеркальной плоскостью симметрии S 1 , центром инверсии симметрии S 2 или более высокой несобственной осью вращения ( роторефлексией) S n [5] , является ахиральной. ( Плоскость симметрии фигуры — это плоскость , такая, что инвариантна относительно отображения , когда выбрано в качестве - -плоскости системы координат. Центром симметрии фигуры является точка , такая, что инвариантна относительно отображения , когда выбрано в качестве начала системы координат.) Обратите внимание, однако, что существуют ахиральные фигуры, у которых отсутствуют как плоскость, так и центр симметрии. Примером может служить фигура
которая инвариантна относительно изометрии, меняющей ориентацию , и, таким образом, ахиральна, но не имеет ни плоскости, ни центра симметрии. Фигура
также является ахиральным, поскольку начало координат является центром симметрии, но у него отсутствует плоскость симметрии.
Ахиральные фигуры могут иметь центральную ось .
Узел называется ахиральным, если его можно непрерывно деформировать в свое зеркальное отражение, в противном случае он называется хиральным узлом . Например, трилистник и узел восьмерка являются ахиральными, тогда как узел трилистник является хиральным.
