Распределение хи

Распределение вероятностей

В теории вероятностей и статистике распределение хи представляет собой непрерывное распределение вероятностей на неотрицательной действительной прямой. Это распределение положительного квадратного корня суммы квадратов независимых гауссовских случайных величин . Эквивалентно, это распределение евклидова расстояния между многомерной гауссовой случайной величиной и началом координат. Распределение хи описывает положительные квадратные корни переменной, подчиняющейся распределению хи-квадрат .

Если являются независимыми, нормально распределенными случайными величинами со средним значением 0 и стандартным отклонением 1, то статистика ${\displaystyle Z_{1},\ldots ,Z_{k}}$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle Y={\sqrt {\sum _{i=1}^{k}Z_{i}^{2}}}}$

распределено по закону хи-распределения. Хи-распределение имеет один положительный целочисленный параметр , который определяет степени свободы (т.е. число случайных величин ). ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle Z_{i}}$

Наиболее известными примерами являются распределение Рэлея (хи-распределение с двумя степенями свободы ) и распределение Максвелла–Больцмана скоростей молекул в идеальном газе (хи-распределение с тремя степенями свободы).

Определения

Функция плотности вероятности

Функция плотности вероятности (pdf) хи-распределения равна

${\displaystyle f(x;k)={\begin{cases}{\dfrac {x^{k-1}e^{-x^{2}/2}}{2^{k/2-1}\Gamma \left({\frac {k}{2}}\right)}},&x\geq 0;\\0,&{\text{otherwise}}.\end{cases}}}$

где - гамма-функция . ${\displaystyle \Gamma (z)}$

Кумулятивная функция распределения

Кумулятивная функция распределения определяется по формуле:

${\displaystyle F(x;k)=P(k/2,x^{2}/2)\,}$

где — регуляризованная гамма-функция . ${\displaystyle P(k,x)}$

Генерация функций

Функция , генерирующая момент, определяется выражением:

${\displaystyle M(t)=M\left({\frac {k}{2}},{\frac {1}{2}},{\frac {t^{2}}{2}}\right)+t{\sqrt {2}}\,{\frac {\Gamma ((k+1)/2)}{\Gamma (k/2)}}M\left({\frac {k+1}{2}},{\frac {3}{2}},{\frac {t^{2}}{2}}\right),}$

где - конфлюэнтная гипергеометрическая функция Куммера . Характеристическая функция задается выражением: ${\displaystyle M(a,b,z)}$

${\displaystyle \varphi (t;k)=M\left({\frac {k}{2}},{\frac {1}{2}},{\frac {-t^{2}}{2}}\right)+it{\sqrt {2}}\,{\frac {\Gamma ((k+1)/2)}{\Gamma (k/2)}}M\left({\frac {k+1}{2}},{\frac {3}{2}},{\frac {-t^{2}}{2}}\right).}$

Характеристики

Моменты

Исходные моменты тогда определяются следующим образом:

${\displaystyle \mu _{j}=\int _{0}^{\infty }f(x;k)x^{j}\mathrm {d} x=2^{j/2}\ {\frac {\ \Gamma \left({\tfrac {1}{2}}(k+j)\right)\ }{\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}k\right)}}}$

где гамма -функция . Таким образом, первые несколько сырых моментов: ${\displaystyle \ \Gamma (z)\ }$

${\displaystyle \mu _{1}={\sqrt {2\ }}\ {\frac {\ \Gamma \left({\tfrac {1}{2}}(k+1)\right)\ }{\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}k\right)}}}$

${\displaystyle \mu _{2}=k\ ,}$

${\displaystyle \mu _{3}=2{\sqrt {2\ }}\ {\frac {\ \Gamma \left({\tfrac {1}{2}}(k+3)\right)\ }{\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}k\right)}}=(k+1)\ \mu _{1}\ ,}$

${\displaystyle \mu _{4}=(k)(k+2)\ ,}$

${\displaystyle \mu _{5}=4{\sqrt {2\ }}\ {\frac {\ \Gamma \left({\tfrac {1}{2}}(k\!+\!5)\right)\ }{\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}k\right)}}=(k+1)(k+3)\ \mu _{1}\ ,}$

${\displaystyle \mu _{6}=(k)(k+2)(k+4)\ ,}$

где самые правые выражения выведены с использованием рекуррентного соотношения для гамма-функции:

${\displaystyle \Gamma (x+1)=x\ \Gamma (x)~.}$

Из этих выражений можно вывести следующие соотношения:

Среднее: что близко к для больших k . ${\displaystyle \mu ={\sqrt {2\ }}\ {\frac {\ \Gamma \left({\tfrac {1}{2}}(k+1)\right)\ }{\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}k\right)}}\ ,}$ ${\displaystyle {\sqrt {k-{\tfrac {1}{2}}\ }}\ }$

Дисперсия: которая приближается к значению по мере увеличения k . ${\displaystyle V=k-\mu ^{2}\ ,}$ ${\displaystyle \ {\tfrac {1}{2}}\ }$

Асимметрия: ${\displaystyle \gamma _{1}={\frac {\mu }{\ \sigma ^{3}\ }}\left(1-2\sigma ^{2}\right)~.}$

Избыток эксцесса: ${\displaystyle \gamma _{2}={\frac {2}{\ \sigma ^{2}\ }}\left(1-\mu \ \sigma \ \gamma _{1}-\sigma ^{2}\right)~.}$

Энтропия

Энтропия определяется по формуле:

${\displaystyle S=\ln(\Gamma (k/2))+{\frac {1}{2}}(k\!-\!\ln(2)\!-\!(k\!-\!1)\psi ^{0}(k/2))}$

где - полигамма-функция . ${\displaystyle \psi ^{0}(z)}$

Приближение больших n

Мы находим большую аппроксимацию n=k+1 среднего значения и дисперсии распределения хи. Это имеет применение, например, при нахождении распределения стандартного отклонения выборки нормально распределенной совокупности, где n — размер выборки.

Тогда среднее значение равно:

${\displaystyle \mu ={\sqrt {2}}\,\,{\frac {\Gamma (n/2)}{\Gamma ((n-1)/2)}}}$

Используем формулу удвоения Лежандра, чтобы записать:

${\displaystyle 2^{n-2}\,\Gamma ((n-1)/2)\cdot \Gamma (n/2)={\sqrt {\pi }}\Gamma (n-1)}$,

так что:

${\displaystyle \mu ={\sqrt {2/\pi }}\,2^{n-2}\,{\frac {(\Gamma (n/2))^{2}}{\Gamma (n-1)}}}$

Используя приближение Стирлинга для гамма-функции, получаем следующее выражение для среднего значения:

${\displaystyle \mu ={\sqrt {2/\pi }}\,2^{n-2}\,{\frac {\left({\sqrt {2\pi }}(n/2-1)^{n/2-1+1/2}e^{-(n/2-1)}\cdot [1+{\frac {1}{12(n/2-1)}}+O({\frac {1}{n^{2}}})]\right)^{2}}{{\sqrt {2\pi }}(n-2)^{n-2+1/2}e^{-(n-2)}\cdot [1+{\frac {1}{12(n-2)}}+O({\frac {1}{n^{2}}})]}}}$

${\displaystyle =(n-2)^{1/2}\,\cdot \left[1+{\frac {1}{4n}}+O({\frac {1}{n^{2}}})\right]={\sqrt {n-1}}\,(1-{\frac {1}{n-1}})^{1/2}\cdot \left[1+{\frac {1}{4n}}+O({\frac {1}{n^{2}}})\right]}$

${\displaystyle ={\sqrt {n-1}}\,\cdot \left[1-{\frac {1}{2n}}+O({\frac {1}{n^{2}}})\right]\,\cdot \left[1+{\frac {1}{4n}}+O({\frac {1}{n^{2}}})\right]}$

${\displaystyle ={\sqrt {n-1}}\,\cdot \left[1-{\frac {1}{4n}}+O({\frac {1}{n^{2}}})\right]}$

И, таким образом, дисперсия равна:

${\displaystyle V=(n-1)-\mu ^{2}\,=(n-1)\cdot {\frac {1}{2n}}\,\cdot \left[1+O({\frac {1}{n}})\right]}$

Связанные дистрибутивы

• Если тогда ( распределение хи-квадрат ) ${\displaystyle X\sim \chi _{k}}$ ${\displaystyle X^{2}\sim \chi _{k}^{2}}$
• ${\displaystyle \chi _{1}\sim \mathrm {HN} (1)\,}$( полунормальное распределение ), т.е. если то , и если для любого то ${\displaystyle X\sim N(0,1)\,}$ ${\displaystyle |X|\sim \chi _{1}\,}$ ${\displaystyle Y\sim \mathrm {HN} (\sigma )\,}$ ${\displaystyle \sigma >0\,}$ ${\displaystyle {\tfrac {Y}{\sigma }}\sim \chi _{1}\,}$
• ${\displaystyle \chi _{2}\sim \mathrm {Rayleigh} (1)\,}$( распределение Рэлея ) и если для любого то ${\displaystyle Y\sim \mathrm {Rayleigh} (\sigma )\,}$ ${\displaystyle \sigma >0\,}$ ${\displaystyle {\tfrac {Y}{\sigma }}\sim \chi _{2}\,}$
• ${\displaystyle \chi _{3}\sim \mathrm {Maxwell} (1)\,}$( распределение Максвелла ) и если для любого то ${\displaystyle Y\sim \mathrm {Maxwell} (a)\,}$ ${\displaystyle a>0\,}$ ${\displaystyle {\tfrac {Y}{a}}\sim \chi _{3}\,}$
• ${\displaystyle \|{\boldsymbol {N}}_{i=1,\ldots ,k}{(0,1)}\|_{2}\sim \chi _{k}}$, евклидова норма стандартного нормального случайного вектора с размерностями, распределена в соответствии с распределением хи со степенями свободы ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$
• распределение хи является частным случаем обобщенного гамма-распределения или распределения Накагами или нецентрального распределения хи
• ${\displaystyle \lim _{k\to \infty }{\tfrac {\chi _{k}-\mu _{k}}{\sigma _{k}}}{\xrightarrow {d}}\ N(0,1)\,}$( Нормальное распределение )
• Среднее значение хи-распределения (масштабированное с помощью квадратного корня из ) дает поправочный коэффициент в несмещенной оценке стандартного отклонения нормального распределения . ${\displaystyle n-1}$

Смотрите также

• Распределение Накагами

Ссылки

• Марта Л. Абелл, Джеймс П. Бразелтон, Джон Артур Рафтер, Джон А. Рафтер, Статистика в Mathematica (1999), 237f.
• Ян В. Гуч, Энциклопедический словарь полимеров, т. 1 (2010), Приложение E, стр. 972.

Внешние ссылки

• http://mathworld.wolfram.com/ChiDistribution.html