Четвертая, пятая и шестая производные позиции

Высшие производные вектора положения по времени

Производные позиции по времени

В физике четвертая , пятая и шестая производные положения определяются как производные вектора положения по времени – причем первая, вторая и третья производные являются скоростью , ускорением и рывком соответственно. Производные более высокого порядка встречаются реже, чем первые три; ^{[1] [2]} поэтому их названия не столь стандартизированы, хотя концепция минимальной траектории щелчка использовалась в робототехнике и реализована в MATLAB . ^[3]

Четвертая производная называется snap , в результате чего пятая и шестая производные «иногда несколько шутливо» ^[4] называются crackle и pop , вдохновленные талисманами Rice Krispies Snap, Crackle и Pop . ^[5] Четвертая производная также называется jounce . ^[4]

.mw-parser-output .vanchor>:target~.vanchor-text{background-color:#b1d2ff}@media screen{html.skin-theme-clientpref-night .mw-parser-output .vanchor>:target~.vanchor-text{background-color:#0f4dc9}}@media screen and (prefers-color-scheme:dark){html.skin-theme-clientpref-os .mw-parser-output .vanchor>:target~.vanchor-text{background-color:#0f4dc9}}Четвертая производная(щелчок/толчок)

Щелчок, ^[6] или толчок, ^[2] является четвертой производной вектора положения по времени или скоростью изменения рывка по времени. ^[4] Эквивалентно, это вторая производная ускорения или третья производная скорости и определяется любым из следующих эквивалентных выражений: В гражданском строительстве проектирование железнодорожных путей и дорог включает минимизацию рывка, особенно вокруг изгибов с различными радиусами кривизны . Когда рывок постоянен, рывок изменяется линейно, что позволяет плавно увеличивать радиальное ускорение , а когда, как предпочтительно, рывок равен нулю, изменение радиального ускорения является линейным. Минимизация или устранение рывка обычно выполняется с помощью математической функции клотоиды . Минимизация рывка улучшает производительность станков и американских горок. ^[1] $${\displaystyle {\vec {s}}={\frac {d\,{\vec {\jmath }}}{dt}}={\frac {d^{2}{\vec {a}}}{dt^{2}}}={\frac {d^{3}{\vec {v}}}{dt^{3}}}={\frac {d^{4}{\vec {r}}}{dt^{4}}}.}$$

Для постоянного щелчка используются следующие уравнения: $${\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {\jmath }}&={\vec {\jmath }}_{0}+{\vec {s}}t,\\{\vec {a}}&={\vec {a}}_{0}+{\vec {\jmath }}_{0}t+{\tfrac {1}{2}}{\vec {s}}t^{2},\\{\vec {v}}&={\vec {v}}_{0}+{\vec {a}}_{0}t+{\tfrac {1}{2}}{\vec {\jmath }}_{0}t^{2}+{\tfrac {1}{6}}{\vec {s}}t^{3},\\{\vec {r}}&={\vec {r}}_{0}+{\vec {v}}_{0}t+{\tfrac {1}{2}}{\vec {a}}_{0}t^{2}+{\tfrac {1}{6}}{\vec {\jmath }}_{0}t^{3}+{\tfrac {1}{24}}{\vec {s}}t^{4},\end{aligned}}}$$

где

• ${\displaystyle {\vec {s}}}$постоянный щелчок,
• ${\displaystyle {\vec {\jmath }}_{0}}$это начальный рывок,
• ${\displaystyle {\vec {\jmath }}}$это последний рывок,
• ${\displaystyle {\vec {a}}_{0}}$начальное ускорение,
• ${\displaystyle {\vec {a}}}$конечное ускорение,
• ${\displaystyle {\vec {v}}_{0}}$начальная скорость,
• ${\displaystyle {\vec {v}}}$конечная скорость,
• ${\displaystyle {\vec {r}}_{0}}$это начальное положение,
• ${\displaystyle {\vec {r}}}$это конечная позиция,
• ${\displaystyle t}$время между начальным и конечным состояниями.

Обозначение (используемое Виссером ^[4] ) не следует путать с вектором смещения, обычно обозначаемым аналогичным образом. ${\displaystyle {\vec {s}}}$

Размеры щелчка — расстояние в четвертой степени времени (LT ⁻⁴ ). Соответствующая единица СИ — метр в секунду в четвертой степени, м/с ⁴ , м⋅с ⁻⁴ .

Пятая производная

Пятая производная вектора положения по времени иногда называется треском. ^[5] Это скорость изменения щелчка по времени. ^{[5] [4]} Треск определяется любым из следующих эквивалентных выражений: $${\displaystyle {\vec {c}}={\frac {d{\vec {s}}}{dt}}={\frac {d^{2}{\vec {\jmath }}}{dt^{2}}}={\frac {d^{3}{\vec {a}}}{dt^{3}}}={\frac {d^{4}{\vec {v}}}{dt^{4}}}={\frac {d^{5}{\vec {r}}}{dt^{5}}}}$$

Для постоянного потрескивания используются следующие уравнения: $${\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {s}}&={\vec {s}}_{0}+{\vec {c}}\,t\\[1ex]{\vec {\jmath }}&={\vec {\jmath }}_{0}+{\vec {s}}_{0}\,t+{\tfrac {1}{2}}{\vec {c}}\,t^{2}\\[1ex]{\vec {a}}&={\vec {a}}_{0}+{\vec {\jmath }}_{0}\,t+{\tfrac {1}{2}}{\vec {s}}_{0}\,t^{2}+{\tfrac {1}{6}}{\vec {c}}\,t^{3}\\[1ex]{\vec {v}}&={\vec {v}}_{0}+{\vec {a}}_{0}\,t+{\tfrac {1}{2}}{\vec {\jmath }}_{0}\,t^{2}+{\tfrac {1}{6}}{\vec {s}}_{0}\,t^{3}+{\tfrac {1}{24}}{\vec {c}}\,t^{4}\\[1ex]{\vec {r}}&={\vec {r}}_{0}+{\vec {v}}_{0}\,t+{\tfrac {1}{2}}{\vec {a}}_{0}\,t^{2}+{\tfrac {1}{6}}{\vec {\jmath }}_{0}\,t^{3}+{\tfrac {1}{24}}{\vec {s}}_{0}\,t^{4}+{\tfrac {1}{120}}{\vec {c}}\,t^{5}\end{aligned}}}$$

где

• ${\displaystyle {\vec {c}}}$ : постоянный треск,
• ${\displaystyle {\vec {s}}_{0}}$ : начальный щелчок,
• ${\displaystyle {\vec {s}}}$ : финальный щелчок,
• ${\displaystyle {\vec {\jmath }}_{0}}$ : начальный рывок,
• ${\displaystyle {\vec {\jmath }}}$ : финальный рывок,
• ${\displaystyle {\vec {a}}_{0}}$ : начальное ускорение,
• ${\displaystyle {\vec {a}}}$ : конечное ускорение,
• ${\displaystyle {\vec {v}}_{0}}$ : начальная скорость,
• ${\displaystyle {\vec {v}}}$ : конечная скорость,
• ${\displaystyle {\vec {r}}_{0}}$ : исходное положение,
• ${\displaystyle {\vec {r}}}$ : конечная позиция,
• ${\displaystyle t}$ : время между начальным и конечным состояниями.

Размеры трещины составляют LT ⁻⁵ . Соответствующая единица СИ — м/с ⁵ .

Шестая производная

Шестую производную вектора положения по времени иногда называют pop. ^[5] Это скорость изменения потрескивания по времени. ^{[5] [4]} Pop определяется любым из следующих эквивалентных выражений:

$${\displaystyle {\vec {p}}={\frac {d{\vec {c}}}{dt}}={\frac {d^{2}{\vec {s}}}{dt^{2}}}={\frac {d^{3}{\vec {\jmath }}}{dt^{3}}}={\frac {d^{4}{\vec {a}}}{dt^{4}}}={\frac {d^{5}{\vec {v}}}{dt^{5}}}={\frac {d^{6}{\vec {r}}}{dt^{6}}}}$$

Для постоянной поп-музыки используются следующие уравнения: $${\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {c}}&={\vec {c}}_{0}+{\vec {p}}\,t\\{\vec {s}}&={\vec {s}}_{0}+{\vec {c}}_{0}\,t+{\tfrac {1}{2}}{\vec {p}}\,t^{2}\\{\vec {\jmath }}&={\vec {\jmath }}_{0}+{\vec {s}}_{0}\,t+{\tfrac {1}{2}}{\vec {c}}_{0}\,t^{2}+{\tfrac {1}{6}}{\vec {p}}\,t^{3}\\{\vec {a}}&={\vec {a}}_{0}+{\vec {\jmath }}_{0}\,t+{\tfrac {1}{2}}{\vec {s}}_{0}\,t^{2}+{\tfrac {1}{6}}{\vec {c}}_{0}\,t^{3}+{\tfrac {1}{24}}{\vec {p}}\,t^{4}\\{\vec {v}}&={\vec {v}}_{0}+{\vec {a}}_{0}\,t+{\tfrac {1}{2}}{\vec {\jmath }}_{0}\,t^{2}+{\tfrac {1}{6}}{\vec {s}}_{0}\,t^{3}+{\tfrac {1}{24}}{\vec {c}}_{0}\,t^{4}+{\tfrac {1}{120}}{\vec {p}}\,t^{5}\\{\vec {r}}&={\vec {r}}_{0}+{\vec {v}}_{0}\,t+{\tfrac {1}{2}}{\vec {a}}_{0}\,t^{2}+{\tfrac {1}{6}}{\vec {\jmath }}_{0}\,t^{3}+{\tfrac {1}{24}}{\vec {s}}_{0}\,t^{4}+{\tfrac {1}{120}}{\vec {c}}_{0}\,t^{5}+{\tfrac {1}{720}}{\vec {p}}\,t^{6}\end{aligned}}}$$

где

• ${\displaystyle {\vec {p}}}$ : постоянный хлопок,
• ${\displaystyle {\vec {c}}_{0}}$ : начальный треск,
• ${\displaystyle {\vec {c}}}$ : финальный треск,
• ${\displaystyle {\vec {s}}_{0}}$ : начальный щелчок,
• ${\displaystyle {\vec {s}}}$ : финальный щелчок,
• ${\displaystyle {\vec {\jmath }}_{0}}$ : начальный рывок,
• ${\displaystyle {\vec {\jmath }}}$ : финальный рывок,
• ${\displaystyle {\vec {a}}_{0}}$ : начальное ускорение,
• ${\displaystyle {\vec {a}}}$ : конечное ускорение,
• ${\displaystyle {\vec {v}}_{0}}$ : начальная скорость,
• ${\displaystyle {\vec {v}}}$ : конечная скорость,
• ${\displaystyle {\vec {r}}_{0}}$ : исходное положение,
• ${\displaystyle {\vec {r}}}$ : конечная позиция,
• ${\displaystyle t}$ : время между начальным и конечным состояниями.

Размерность поп составляет LT ⁻⁶ . Соответствующая единица СИ — м/с ⁶ .

Ссылки

1. Eager, David; Pendrill, Ann-Marie; Reistad, Nina (2016-10-13). "За пределами скорости и ускорения: рывок, щелчок и высшие производные". European Journal of Physics . 37 (6): 065008. Bibcode :2016EJPh...37f5008E. doi : 10.1088/0143-0807/37/6/065008 . hdl : 10453/56556 . ISSN  0143-0807. S2CID  19486813.
2. Gragert, Stephanie; Gibbs, Philip (ноябрь 1998 г.). "Какой термин используется для третьей производной положения?". Usenet Physics and Relativity FAQ . Математический факультет, Калифорнийский университет, Риверсайд . Получено 24 октября 2015 г.
3. "Документация MATLAB: minsnappolytraj".
4. Visser, Matt (31 марта 2004 г.). "Jerk, snap and the cosmological equation of state". Classical and Quantum Gravity . 21 (11): 2603–2616. arXiv : gr-qc/0309109 . Bibcode :2004CQGra..21.2603V. doi :10.1088/0264-9381/21/11/006. ISSN  0264-9381. S2CID  250859930. Snap [четвертая производная по времени] также иногда называется jounce. Пятая и шестая производные по времени иногда несколько шутливо называются crackle и pop.
5. Томпсон, Питер М. (5 мая 2011 г.). "Snap, Crackle, and Pop" (PDF) . AIAA Info . Хоторн, Калифорния: Системные технологии. стр. 1. Архивировано из оригинала 26 июня 2018 г. . Получено 3 марта 2017 г. . Распространенные названия для первых трех производных — velocity, acceleration и jerk. Не столь распространенные названия для следующих трех производных — snap, crackle и pop.{{cite web}}: CS1 maint: unfit URL (link)
6. Меллингер, Дэниел; Кумар, Виджай (2011). «Генерация минимальной траектории щелчка и управление для квадрокоптеров». Международная конференция IEEE по робототехнике и автоматизации 2011 г. С. 2520–2525. doi :10.1109/ICRA.2011.5980409. ISBN 978-1-61284-386-5. S2CID  18169351.

Внешние ссылки

• Словарное определение слова jounce в Викисловаре