Группа Хопфа

В математике группа Хопфа — это группа G , для которой каждый эпиморфизм

Г → Г

является изоморфизмом . Эквивалентно, группа является хопфовой тогда и только тогда, когда она не изоморфна ни одному из своих собственных факторов . ^[1]

Группа G является кохопфовой, если каждый мономорфизм

Г → Г

является изоморфизмом. Эквивалентно, G не изоморфна ни одной из своих собственных подгрупп .

Примеры групп Хопфа

• Каждая конечная группа , по элементарному подсчету.
• В более общем смысле, любая полициклическая конечная группа .
• Любая конечно порождённая свободная группа .
• Аддитивная группа Q рациональных чисел .
• Любая конечно порождённая аппроксимируемая финитная группа .
• Любая слово-гиперболическая группа .

Примеры нехопфовских групп

• Квазициклические группы .
• Аддитивная группа R действительных чисел . ^[2]
• Группа Баумслага –Солитера B (2,3). (В общем случае B ( m , n ) является нехопфовой тогда и только тогда, когда существуют простые числа p , q с p | m , q | n и p ∤ n , q ∤ m ) ^[3]

Характеристики

Коллинз (1969) показал, что это неразрешимая проблема — определить, если задано конечное представление группы, является ли группа хопфовой. В отличие от неразрешимости многих свойств групп, это не является следствием теоремы Адяна–Рабина , поскольку хопфовость не является марковским свойством , как показали Миллер и Шупп (1971).

Ссылки

1. Флориан Буйе. "Определение 7.6.". Презентация групп (PDF) . Университет Уорика. Группа G является нехопфовой, если существует 1 ≠ N ◃ G, такое что G/N ≅ G
2. Кларк, Пит Л. (17 февраля 2012 г.). «Всегда ли можно найти сюръективный эндоморфизм групп, такой, что он не является инъективным?». Math Stack Exchange . Это потому, что ( R ,+) не имеет кручения и делится, а значит, является Q -векторным пространством. Поэтому — поскольку каждое векторное пространство имеет базис, по Аксиоме выбора — оно изоморфно прямой сумме копий ( Q ,+), индексированных множеством континуальной мощности. Это делает свойство Хопфа очевидным.
3. Флориан Буйе. "Теорема 7.7.". Представление групп (PDF) . Университет Уорика.

• Коллинз, диджей (1969). «О распознавании групп Хопфа». Архив математики . 20 (3): 235–240. дои : 10.1007/BF01899291. S2CID  119354919.
• Джонсон, Д. Л. (1990). Презентации групп . Тексты для студентов Лондонского математического общества. Том 15. Издательство Кембриджского университета . С. 35. ISBN 0-521-37203-8.
• Миллер, CF; Шупп, ЧП (1971). «Вложения в группы хопфа». Журнал алгебры . 17 (2): 171. дои : 10.1016/0021-8693(71)90028-7.

Внешние ссылки

• Группа Хопфа в PlanetMath .
• Группа Не Хопфа в Энциклопедии математики