Квадратная решетка

2-мерная целочисленная решетка

Вертикальная квадратная плитка . Вершины всех квадратов вместе с их центрами образуют прямую квадратную решетку. Для каждого цвета центры квадратов этого цвета образуют диагональную квадратную решетку, которая в линейном масштабе в √2 раза больше вертикальной квадратной решетки.

В математике квадратная решетка — это разновидность решетки в двумерном евклидовом пространстве . Это двумерная версия целочисленной решетки , обозначаемая как . ^[1] Это один из пяти типов двумерных решеток, классифицированных по группам симметрии ; ^[2] его группа симметрии в обозначении IUC как p4m , ^[3] обозначение Кокстера как [4,4] , ^[4] и обозначение орбифолда как *442 . ^[5] ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$

Две ориентации изображения решетки являются наиболее распространенными. Их удобно называть вертикальной квадратной решеткой и диагональной квадратной решеткой; последнюю также называют центрированной квадратной решеткой . ^[6] Они отличаются углом 45°. Это связано с тем, что квадратную решетку можно разбить на две квадратные подрешетки, что видно из раскраски шахматной доски .

Симметрия

Категория симметрии квадратной решетки — группа обоев p4m . Узор с этой решеткой трансляционной симметрии не может иметь больше, но может иметь меньшую симметрию, чем сама решетка. Вертикальную квадратную решетку можно рассматривать как диагональную квадратную решетку с размером ячейки в √2 раза больше, с добавлением центров квадратов. Соответственно, после сложения центров квадратов вертикальной квадратной решетки получается диагональная квадратная решетка с размером ячеек в √2 раза меньшим, чем у исходной решетки. Паттерн с 4-кратной вращательной симметрией имеет квадратную решетку из 4-кратных ротоцентров, которая в √2 раза тоньше и диагонально ориентирована относительно решетки трансляционной симметрии .

Что касается осей отражения, есть три возможности:

• Никто. Это группа обоев p4 .
• В четырех направлениях. Это группа обоев p4m .
• В двух перпендикулярных направлениях. Это группа обоев p4g . Точки пересечения осей отражения образуют квадратную сетку, которая такая же мелкая и ориентирована так же, как квадратная решетка из 4-кратных ротоцентров, причем эти ротоцентры находятся в центрах квадратов, образованных осями отражения.

Классы кристаллов

Названия классов квадратных решеток , обозначения Шенфлиса , обозначения Германа-Могена , обозначения орбифолда , обозначения Коксетера и группы обоев перечислены в таблице ниже.

Смотрите также

• Центрированное квадратное число
• сад Евклида
• Гауссово целое число
• Шестиугольная решетка
• Квинконкс
• Квадратная плитка

Рекомендации

1. Конвей, Джон ; Слоан, Нил Дж.А. (1999), Сферические упаковки, решетки и группы, Springer, с. 106, ISBN 9780387985855.
2. Голубицкий, Мартин ; Стюарт, Ян (2003), Перспектива симметрии: от равновесия к хаосу в фазовом и физическом пространстве, Progress in Mathematics, vol. 200, Спрингер, с. 129, ISBN 9783764321710.
3. Филд, Майкл; Голубицкий, Мартин (2009), Симметрия в хаосе: поиск закономерностей в математике, искусстве и природе (2-е изд.), SIAM, с. 47, ISBN 9780898717709.
4. Джонсон, Норман В .; Вайс, Асия Ивич (1999), «Квадратичные целые числа и группы Кокстера», Canadian Journal of Mathematics , 51 (6): 1307–1336, doi : 10.4153/CJM-1999-060-6. См., в частности, начало стр. 1320.
5. Шатшнайдер, Дорис ; Сенешаль, Марджори (2004), «Плитка», Гудман , Джейкоб Э .; О'Рурк, Джозеф (ред.), Справочник по дискретной и вычислительной геометрии , Дискретная математика и ее приложения (2-е изд.), CRC Press, стр. 53–72, ISBN 9781420035315. См., в частности, таблицу на стр. 62, связывающий обозначение IUC с обозначением орбифолда.
6. Джонстон, Бернард Л.; Ричман, Фред (1997), Числа и симметрия: введение в алгебру, CRC Press, стр. 159, ISBN 9780849303012.