stringtranslate.com

Целое число Эйзенштейна

В математике целые числа Эйзенштейна ( названные в честь Готхольда Эйзенштейна ), иногда также известные [1] как целые числа Эйлера (в честь Леонарда Эйлера ), представляют собой комплексные числа вида

где a и bцелые числа и

является примитивным (следовательно, недействительным) кубическим корнем из единицы .

Целые числа Эйзенштейна как точки некоторой треугольной решетки в комплексной плоскости

Целые числа Эйзенштейна образуют треугольную решетку в комплексной плоскости , в отличие от целых чисел Гаусса , которые образуют квадратную решетку в комплексной плоскости. Целые числа Эйзенштейна представляют собой счетное бесконечное множество .

Характеристики

Целые числа Эйзенштейна образуют коммутативное кольцо целых алгебраических чисел в алгебраическом числовом поле Q ( ω ) – третьем циклотомическом поле . Чтобы увидеть, что целые числа Эйзенштейна являются алгебраическими целыми числами, заметим, что каждое z = a + является корнем монического многочлена

В частности, ω удовлетворяет уравнению

Произведение двух целых чисел Эйзенштейна a + и c + задается явно как

2-норма целого числа Эйзенштейна — это просто его квадрат модуля , и она определяется как

что, очевидно, является положительным обыкновенным (рациональным) целым числом.

Кроме того, комплексное сопряжение ω удовлетворяет условию

Группа единиц в этом кольце представляет собой циклическую группу, образованную корнями шестой степени из единицы в комплексной плоскости: {±1, ± ω , ± ω 2 } , целыми числами Эйзенштейна нормы  1 .

Евклидова область

Кольцо целых чисел Эйзенштейна образует евклидову область, норма N которой задается квадратным модулем, как указано выше:

Алгоритм деления , примененный к любому делимому α и делителю β ≠ 0 , дает частное κ и остаток ρ, меньшие делителя, удовлетворяющие условию:

Здесь α , β , κ , ρ — все целые числа Эйзенштейна. Этот алгоритм подразумевает алгоритм Евклида , который доказывает лемму Евклида и уникальную факторизацию целых чисел Эйзенштейна в простые числа Эйзенштейна.

Один из алгоритмов деления выглядит следующим образом. Сначала выполняем деление в поле комплексных чисел и записываем частное через ω :

для рациональных a , bQ. Затем получите целочисленное частное Эйзенштейна, округлив рациональные коэффициенты до ближайшего целого числа:

Здесь может обозначаться любая из стандартных функций округления до целого числа.

Причина, по которой это удовлетворяет N ( ρ ) < N ( β ) , в то время как аналогичная процедура не работает для большинства других квадратичных целых колец, заключается в следующем. Фундаментальная область для идеала Z [ ω ] β = Z β + Z ωβ , действующего посредством переносов на комплексной плоскости, — это ромб 60°–120° с вершинами 0 , β , ωβ , β + ωβ . Любое целое число Эйзенштейна α лежит внутри одного из переносов этого параллелограмма, а частное κ является одной из его вершин. Остаток — это квадрат расстояния от α до этой вершины, но максимально возможное расстояние в нашем алгоритме равно только , поэтому . (Размер ρ можно немного уменьшить, взяв κ в качестве ближайшего угла.)

Эйзенштейн простые числа

Малые простые числа Эйзенштейна. Те, что на зеленых осях, связаны с натуральным простым числом вида 3 n + 2 . Все остальные имеют абсолютное значение, равное 3 или квадратному корню натурального простого числа вида 3 n + 1 .
Эйзенштейновские простые числа в большем диапазоне

Если x и y — целые числа Эйзенштейна, мы говорим, что x делит y , если существует некоторое целое число Эйзенштейна z, такое что y = zx . Неединичное целое число Эйзенштейна x называется простым числом Эйзенштейна, если его единственные неединичные делители имеют вид ux , где u — любая из шести единиц. Они являются соответствующим понятием для простых чисел Гаусса в целых числах Гаусса.

Существует два типа простых чисел Эйзенштейна.

Во втором типе множители 3 , и являются ассоциированными : , поэтому в некоторых книгах он рассматривается как особый тип. [2] [3]

Первые несколько простых чисел Эйзенштейна вида 3 n − 1 :

2 , 5 , 11 , 17 , 23 , 29 , 41 , 47 , 53 , 59 , 71 , 83 , 89 , 101 , ... (последовательность A003627 в OEIS ).

Натуральные простые числа, сравнимые с 0 или 1 по модулю 3, не являются простыми числами Эйзенштейна: [4] они допускают нетривиальные факторизации в Z [ ω ] . Например:

3 = −(1 + 2 ω ) 2
7 = (3 + ω )(2 − ω ) .

В общем случае, если натуральное простое число p равно 1 по модулю 3 и, следовательно, может быть записано как p = a 2ab + b 2 , то оно факторизуется над Z [ ω ] следующим образом:

п знак равно ( а + бω )(( а - б ) - бω ) .

Некоторые нереальные простые числа Эйзенштейна

2 + ω , 3 + ω , 4 + ω , 5 + 2 ω , 6 + ω , 7 + ω , 7 + 3 ω .

С точностью до сопряженности и единичных кратностей перечисленные выше простые числа вместе с числами 2 и 5 являются простыми числами Эйзенштейна, абсолютная величина которых не превышает 7 .

По состоянию на октябрь 2023 года наибольшее известное действительное простое число Эйзенштейна — десятое по величине известное простое число 10223 × 2 31172165 + 1 , открытое Петером Сабольчем и PrimeGrid . [5] За одним исключением [ необходимо разъяснение ] все большие известные простые числа являются простыми числами Мерсенна , открытыми GIMPS . Действительные простые числа Эйзенштейна сравнимы с 2 mod 3 , а все простые числа Мерсенна, большие 3, сравнимы с 1 mod 3 ; таким образом, ни одно простое число Мерсенна не является простым числом Эйзенштейна.

Серия Эйзенштейна

Сумма обратных величин всех целых чисел Эйзенштейна, за исключением 0, возведенных в четвертую степень, равна 0 : [6] поэтому является корнем j-инвариантного . В общем случае тогда и только тогда, когда . [7]

Сумма обратных величин всех целых чисел Эйзенштейна, за исключением 0, возведенных в шестую степень, может быть выражена через гамма-функцию : где E — целые числа Эйзенштейна, а G 6ряд Эйзенштейна веса 6. [8]

Частное отСцелыми числами Эйзенштейна

Фактор комплексной плоскости C по решетке, содержащей все целые числа Эйзенштейна, является комплексным тором действительной размерности  2. Это один из двух торов с максимальной симметрией среди всех таких комплексных торов. [ необходима цитата ] Этот тор может быть получен путем идентификации каждой из трех пар противоположных ребер правильного шестиугольника.

Определение каждой из трех пар противоположных граней правильного шестиугольника.

Другой максимально симметричный тор является отношением комплексной плоскости к аддитивной решетке гауссовых целых чисел и может быть получен путем идентификации каждой из двух пар противоположных сторон квадратной фундаментальной области, например, [0, 1] × [0, 1] .

Смотрите также

Примечания

  1. ^ Оба Сурани, Ласло (1997). Алгебра . ТИПОТЕКС. п. 73.и Салай, Михай (1991). Самельмелет . Танкёнивкиадо. п. 75.называют эти числа «Euler-egészek», то есть эйлеровыми целыми числами. Последний утверждает, что Эйлер работал с ними в доказательстве.
  2. ^ Вайсштейн, Эрик В. «Целое число Эйзенштейна». Математический мир .
  3. ^ Кокс, Дэвид А. (1997-05-08). Простые числа вида x2+ny2: Ферма, теория полей классов и комплексное умножение (PDF) . Wiley. стр. 77. ISBN 0-471-19079-9.
  4. ^ " X 2 + X + 1 {\displaystyle X^{2}+X+1} приводимо в F p [ X ] {\displaystyle \mathbb {F} _{p}[X]} тогда и только тогда, когда p ≡ 1 ( mod 3 ) {\displaystyle p\equiv 1{\pmod {3}}} ".
  5. ^ "Самые большие известные простые числа". The Prime Pages . Получено 27.02.2023 .
  6. ^ «Каковы нули j-функции?».
  7. ^ "Покажите, что G 4 ( i ) ≠ 0 {\displaystyle G_{4}(i)\neq 0} , и G 6 ( ρ ) ≠ 0 {\displaystyle G_{6}(\rho )\neq 0} , ρ = e 2 π i / 3 {\displaystyle \rho =e^{2\pi i/3}} ".
  8. ^ "Запись 0fda1b – Fungrim: The Mathematical Functions Grimoire". fungrim.org . Получено 22.06.2023 .

Внешние ссылки