В геометрии центр ( британский английский ) или центр ( американский английский ) (от древнегреческого κέντρον ( kéntron ) 'заостренный объект') объекта — это точка в некотором смысле в середине объекта. Согласно конкретному определению центра , принятому во внимание, объект может не иметь центра. Если геометрию рассматривать как изучение групп изометрий , то центр — это неподвижная точка всех изометрий, которые перемещают объект на себя.
Центром окружности является точка, равноудалённая от точек на краю. Аналогично, центром сферы является точка, равноудалённая от точек на поверхности, а центром отрезка прямой является середина двух концов.
Для объектов с несколькими симметриями центр симметрии — это точка, оставшаяся неизменной при симметричных действиях. Так, центр квадрата , прямоугольника , ромба или параллелограмма находится там, где пересекаются диагонали, это (помимо других свойств) неподвижная точка вращательной симметрии. Аналогично, центр эллипса или гиперболы находится там, где пересекаются оси.
Несколько особых точек треугольника часто называют центрами треугольника :
Для равностороннего треугольника это одна и та же точка, которая лежит на пересечении трех осей симметрии треугольника, на расстоянии одной трети расстояния от его основания до вершины.
Строгое определение центра треугольника — это точка, трилинейные координаты которой равны f ( a , b , c ) : f ( b , c , a ) : f ( c , a , b ), где f — функция длин трех сторон треугольника, a , b , c , такая, что:
Это строгое определение исключает пары бицентрических точек, таких как точки Брокара (которые меняются местами с помощью зеркального отражения). По состоянию на 2020 год в Энциклопедии центров треугольников перечислено более 39 000 различных центров треугольников. [2]
У касательного многоугольника каждая из его сторон касается определенной окружности, называемой вписанной окружностью или вписанным кругом. Центр вписанной окружности, называемый инцентром, можно считать центром многоугольника.
Вписанный многоугольник имеет каждую из своих вершин на определенной окружности, называемой описанной окружностью или описанным кругом. Центр описанной окружности, называемый центром описанной окружности, можно считать центром многоугольника.
Если многоугольник является одновременно касательным и вписанным, он называется бицентрическим . (Например, все треугольники являются бицентрическими.) Центр вписанной окружности и центр описанной окружности бицентрического многоугольника, как правило, не являются одной и той же точкой.
Центр общего многоугольника можно определить несколькими способами. «Вершинный центроид» возникает из рассмотрения многоугольника как пустого, но имеющего равные массы в вершинах. «Боковой центроид» возникает из рассмотрения сторон как имеющих постоянную массу на единицу длины. Обычный центр, называемый просто центроидом ( центром площади), возникает из рассмотрения поверхности многоугольника как имеющей постоянную плотность. Эти три точки в общем случае не являются одной и той же точкой.
В проективной геометрии каждая линия имеет точку в бесконечности или «образную точку», где она пересекает все прямые, которые ей параллельны. Эллипс, парабола и гипербола евклидовой геометрии называются кониками в проективной геометрии и могут быть построены как коники Штейнера из проективности, которая не является перспективностью. Симметрия проективной плоскости с данной коникой связывает каждую точку или полюс с линией, называемой ее полярой . Понятие центра в проективной геометрии использует это отношение. Следующие утверждения взяты из GB Halsted . [3]