В комплексном анализе цепная дробь Гаусса представляет собой особый класс цепных дробей , полученных из гипергеометрических функций . Это была одна из первых аналитических цепных дробей, известных математике, и ее можно использовать для представления нескольких важных элементарных функций , а также некоторых более сложных трансцендентных функций .
История
Ламберт опубликовал несколько примеров цепных дробей в этой форме в 1768 году, и Эйлер , и Лагранж исследовали аналогичные конструкции [1] , но именно Карл Фридрих Гаусс использовал алгебру, описанную в следующем разделе, чтобы вывести общую форму этой цепной дроби: в 1813 году. [2]
Хотя Гаусс дал вид этой цепной дроби, он не дал доказательства ее свойств сходимости. Бернхард Риман [3] и Л. В. Томе [4] получили частичные результаты, но окончательное слово об области, в которой сходится эта цепная дробь, было дано только в 1901 году Эдвардом Берром Ван Флеком . [5]
Вывод
Пусть – последовательность аналитических функций так, что![{\displaystyle f_{0},f_{1},f_{2},\dots }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle f_{i-1}-f_{i}=k_{i}\,z\,f_{i+1}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
для всех , где каждый является константой.![{\displaystyle я>0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle k_ {i}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Затем
![{\displaystyle {\frac {f_{i-1}}{f_{i}}}=1+k_{i}z{\frac {f_{i+1}}{f_{i}}},{\ text{ и так }}{\frac {f_{i}}{f_{i-1}}}={\frac {1}{1+k_{i}z{\frac {f_{i+1}} {f_{i}}}}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Параметр![{\displaystyle g_{i}=f_{i}/f_{i-1},}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle g_{i}={\frac {1}{1+k_{i}zg_{i+1}}},}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Так
![{\displaystyle g_{1}={\frac {f_{1}}{f_{0}}}={\cfrac {1}{1+k_{1}zg_{2}}}={\cfrac {1 }{1+{\cfrac {k_{1}z}{1+k_{2}zg_{3}}}}}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {k_{1}z}{ 1+{\cfrac {k_{2}z}{1+k_{3}zg_{4}}}}}}}=\cdots .\ }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Повторение этого до бесконечности дает выражение непрерывной дроби.
![{\displaystyle {\frac {f_{1}}{f_{0}}}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {k_{1}z}{1+{\cfrac {k_{2} z}{1+{\cfrac {k_{3}z}{1+{}\ddots }}}}}}}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
В цепной дроби Гаусса функции являются гипергеометрическими функциями вида , и , а уравнения возникают как тождества между функциями, параметры которых отличаются на целые величины. Эти тождества можно доказать несколькими способами, например, разложив ряд и сравнив коэффициенты, или взяв производную несколькими способами и исключив ее из созданных уравнений.![{\displaystyle f_{i}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {}_{0}F_{1}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {}_{1}F_{1}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {}_{2}F_{1}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle f_{i-1}-f_{i}=k_{i}zf_{i+1}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Серия 0 Ф 1
Самый простой случай предполагает
![{\displaystyle \,_{0}F_{1}(a;z)=1+{\frac {1}{a\,1!}}z+{\frac {1}{a(a+1)\ ,2!}}z^{2}+{\frac {1}{a(a+1)(a+2)\,3!}}z^{3}+\cdots .}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Начиная с личности
![{\displaystyle \,_{0}F_{1}(a-1;z)-\,_{0}F_{1}(a;z)={\frac {z}{a(a-1) }}\,_{0}F_{1}(a+1;z),}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
мы можем взять
![{\displaystyle f_{i}={}_{0}F_{1}(a+i;z),\,k_{i}={\tfrac {1}{(a+i)(a+i- 1)}},}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
предоставление
![{\displaystyle {\frac {\,_{0}F_{1}(a+1;z)}{\,_{0}F_{1}(a;z)}}={\cfrac {1} {1+{\cfrac {{\frac {1}{a(a+1)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {1}{(a+1)(a+2)}} z}{1+{\cfrac {{\frac {1}{(a+2)(a+3)}}z}{1+{}\ddots }}}}}}}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
или
![{\displaystyle {\frac {\,_{0}F_{1}(a+1;z)}{a\,_{0}F_{1}(a;z)}}={\cfrac {1 }{a+{\cfrac {z}{(a+1)+{\cfrac {z}{(a+2)+{\cfrac {z}{(a+3)+{}\ddots }}}} }}}}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Это разложение сходится к мероморфной функции, определяемой отношением двух сходящихся рядов (при условии, конечно, что а не является ни нулем, ни отрицательным целым числом).
Серия 1 Ф 1
Следующий случай касается
![{\displaystyle {}_{1}F_{1}(a;b;z)=1+{\frac {a}{b\,1!}}z+{\frac {a(a+1)}{ b(b+1)\,2!}}z^{2}+{\frac {a(a+1)(a+2)}{b(b+1)(b+2)\,3! }}z^{3}+\cdots }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
для которого два тождества
![{\displaystyle \,_{1}F_{1}(a;b-1;z)-\,_{1}F_{1}(a+1;b;z)={\frac {(a- b+1)z}{b(b-1)}}\,_{1}F_{1}(a+1;b+1;z)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \,_{1}F_{1}(a;b-1;z)-\,_{1}F_{1}(a;b;z)={\frac {az}{b( b-1)}}\,_{1}F_{1}(a+1;b+1;z)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
используются попеременно.
Позволять
![{\displaystyle f_{0}(z)=\,_{1}F_{1}(a;b;z),}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle f_{1}(z)=\,_{1}F_{1}(a+1;b+1;z),}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle f_{2}(z)=\,_{1}F_{1}(a+1;b+2;z),}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle f_{3}(z)=\,_{1}F_{1}(a+2;b+3;z),}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle f_{4}(z)=\,_{1}F_{1}(a+2;b+4;z),}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
и т. д.
Это дает где , производя![{\displaystyle f_{i-1}-f_{i}=k_{i}zf_{i+1}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle k_{1}={\tfrac {ab}{b(b+1)}},k_{2}={\tfrac {a+1}{(b+1)(b+2)}} ,k_{3}={\tfrac {ab-1}{(b+2)(b+3)}},k_{4}={\tfrac {a+2}{(b+3)(b+ 4)}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\frac {{}_{1}F_{1}(a+1;b+1;z)}{{}_{1}F_{1}(a;b;z)}}= {\cfrac {1}{1+{\cfrac {{\frac {ab}{b(b+1)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {a+1}{(b+1) )(b+2)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {ab-1}{(b+2)(b+3)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {a+2}{(b+3)(b+4)}}z}{1+{}\ddots }}}}}}}}}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
или
![{\displaystyle {\frac {{}_{1}F_{1}(a+1;b+1;z)}{b{}_{1}F_{1}(a;b;z)}} ={\cfrac {1}{b+{\cfrac {(ab)z}{(b+1)+{\cfrac {(a+1)z}{(b+2)+{\cfrac {(ab- 1)z}{(b+3)+{\cfrac {(a+2)z}{(b+4)+{}\ddots }}}}}}}}}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Сходным образом
![{\displaystyle {\frac {{}_{1}F_{1}(a;b+1;z)}{{}_{1}F_{1}(a;b;z)}}={\ cfrac {1}{1+{\cfrac {{\frac {a}{b(b+1)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {ab-1}{(b+1)( b+2)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {a+1}{(b+2)(b+3)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {ab -2}{(b+3)(b+4)}}z}{1+{}\ddots }}}}}}}}}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
или
![{\displaystyle {\frac {{}_{1}F_{1}(a;b+1;z)}{b{}_{1}F_{1}(a;b;z)}}={ \cfrac {1}{b+{\cfrac {az}{(b+1)+{\cfrac {(ab-1)z}{(b+2)+{\cfrac {(a+1)z}{ (b+3)+{\cfrac {(ab-2)z}{(b+4)+{}\ddots }}}}}}}}}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Поскольку установка a равным 0 и замена b + 1 на b в первой цепной дроби дает упрощенный частный случай:![{\displaystyle {}_{1}F_{1}(0;b;z)=1}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {}_{1}F_{1}(1;b;z)={\cfrac {1}{1+{\cfrac {-z}{b+{\cfrac {z}{(b+1) )+{\cfrac {-bz}{(b+2)+{\cfrac {2z}{(b+3)+{\cfrac {-(b+1)z}{(b+4)+{} \ddots }}}}}}}}}}}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Серия 2 Ф 1
Последний случай включает в себя
![{\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)=1+{\frac {ab}{c\,1!}}z+{\frac {a(a+1) b(b+1)}{c(c+1)\,2!}}z^{2}+{\frac {a(a+1)(a+2)b(b+1)(b+ 2)}{c(c+1)(c+2)\,3!}}z^{3}+\cdots .\,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Опять же, поочередно используются две личности.
![{\displaystyle \,_{2}F_{1}(a,b;c-1;z)-\,_{2}F_{1}(a+1,b;c;z)={\frac {(a-c+1)bz}{c(c-1)}}\,_{2}F_{1}(a+1,b+1;c+1;z),}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \,_{2}F_{1}(a,b;c-1;z)-\,_{2}F_{1}(a,b+1;c;z)={\frac {(b-c+1)az}{c(c-1)}}\,_{2}F_{1}(a+1,b+1;c+1;z).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
По сути, это одна и та же идентичность с поменянными местами a и b .
Позволять
![{\displaystyle f_{0}(z)=\,_{2}F_{1}(a,b;c;z),}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle f_{1}(z)=\,_{2}F_{1}(a+1,b;c+1;z),}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle f_{2}(z)=\,_{2}F_{1}(a+1,b+1;c+2;z),}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle f_{3}(z)=\,_{2}F_{1}(a+2,b+1;c+3;z),}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle f_{4}(z)=\,_{2}F_{1}(a+2,b+2;c+4;z),}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
и т. д.
Это дает где , производя![{\displaystyle f_{i-1}-f_{i}=k_{i}zf_{i+1}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle k_{1}={\tfrac {(ac)b}{c(c+1)}},k_{2}={\tfrac {(bc-1)(a+1)}{(c +1)(c+2)}},k_{3}={\tfrac {(ac-1)(b+1)}{(c+2)(c+3)}},k_{4}= {\tfrac {(bc-2)(a+2)}{(c+3)(c+4)}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\frac {{}_{2}F_{1}(a+1,b;c+1;z)}{{}_{2}F_{1}(a,b;c;z )}}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {{\frac {(ac)b}{c(c+1)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {(bc -1)(a+1)}{(c+1)(c+2)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {(ac-1)(b+1)}{(c+ 2)(c+3)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {(bc-2)(a+2)}{(c+3)(c+4)}}z}{1 +{}\ddots }}}}}}}}}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
или
![{\displaystyle {\frac {{}_{2}F_{1}(a+1,b;c+1;z)}{c{}_{2}F_{1}(a,b;c; z)}}={\cfrac {1}{c+{\cfrac {(ac)bz}{(c+1)+{\cfrac {(bc-1)(a+1)z}{(c+2 )+{\cfrac {(ac-1)(b+1)z}{(c+3)+{\cfrac {(bc-2)(a+2)z}{(c+4)+{} \ddots }}}}}}}}}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Поскольку установка a на 0 и замена c + 1 на c дает упрощенный частный случай цепной дроби:![{\displaystyle {}_{2}F_{1}(0,b;c;z)=1}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {}_{2}F_{1}(1,b;c;z)={\cfrac {1}{1+{\cfrac {-bz}{c+{\cfrac {(bc)z} {(c+1)+{\cfrac {-c(b+1)z}{(c+2)+{\cfrac {2(bc-1)z}{(c+3)+{\cfrac { -(c+1)(b+2)z}{(c+4)+{}\ddots }}}}}}}}}}}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Свойства сходимости
В этом разделе исключены случаи, когда один или несколько параметров являются отрицательным целым числом, поскольку в этих случаях либо гипергеометрический ряд не определен, либо они являются полиномами, поэтому непрерывная дробь завершается. Другие тривиальные исключения также исключены.
В случаях и ряд сходится всюду, поэтому дробь в левой части является мероморфной функцией . Цепные дроби в правой части будут сходиться равномерно на любом замкнутом и ограниченном множестве, не содержащем полюсов этой функции. [6]![{\displaystyle {}_{0}F_{1}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {}_{1}F_{1}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
В случае радиус сходимости ряда равен 1, а дробь в левой части является мероморфной функцией внутри этого круга. Цепные дроби в правой части будут сходиться к функции всюду внутри этого круга.![{\displaystyle {}_{2}F_{1}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Вне круга непрерывная дробь представляет собой аналитическое продолжение функции на комплексную плоскость с удаленной положительной вещественной осью от +1 до точки на бесконечности. В большинстве случаев +1 является точкой ветвления, а линия от +1 до положительной бесконечности является разрезом этой функции. Цепная дробь сходится к мероморфной функции на этой области и сходится равномерно на любом замкнутом и ограниченном подмножестве этой области, не содержащем полюсов. [7]
Приложения
Серия 0 Ф 1
У нас есть
![{\displaystyle \cosh(z)=\,_{0}F_{1}({\tfrac {1}{2}};{\tfrac {z^{2}}{4}}),}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \sinh(z)=z\,_{0}F_{1}({\tfrac {3}{2}};{\tfrac {z^{2}}{4}}),}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
так
![{\displaystyle \tanh(z)={\frac {z\,_{0}F_{1}({\tfrac {3}{2}};{\tfrac {z^{2}}{4}} )}{\,_{0}F_{1}({\tfrac {1}{2}};{\tfrac {z^{2}}{4}})}}={\cfrac {z/2 }{{\tfrac {1}{2}}+{\cfrac {\tfrac {z^{2}}{4}}{{\tfrac {3}{2}}+{\cfrac {\tfrac {z ^{2}}{4}}{{\tfrac {5}{2}}+{\cfrac {\tfrac {z^{2}}{4}}{{\tfrac {7}{2}}+ {}\ddots }}}}}}}}={\cfrac {z}{1+{\cfrac {z^{2}}{3+{\cfrac {z^{2}}{5+{\ cfrac {z^{2}}{7+{}\ddots }}}}}}}}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Это конкретное разложение известно как непрерывная дробь Ламберта и датируется 1768 годом. [8]
Отсюда легко следует, что
![{\displaystyle \tan(z)={\cfrac {z}{1-{\cfrac {z^{2}}{3-{\cfrac {z^{2}}{5-{\cfrac {z^ {2}}{7-{}\ddots }}}}}}}}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Расширение tanh можно использовать, чтобы доказать, что en иррационально для любого ненулевого целого числа n (чего, увы, недостаточно, чтобы доказать, что e трансцендентно ) . Расширение tan использовалось как Ламбертом, так и Лежандром , чтобы доказать, что π иррационально .
Функцию Бесселя можно записать![{\displaystyle J_{\nu }}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle J_{\nu }(z)={\frac {({\tfrac {1}{2}}z)^{\nu }}{\Gamma (\nu +1)}}\,_{ 0}F_{1}(\nu +1;-{\frac {z^{2}}{4}}),}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
из чего следует
![{\displaystyle {\frac {J_{\nu }(z)}{J_{\nu -1}(z)}}={\cfrac {z}{2\nu - {\cfrac {z^{2} }{2(\nu +1)-{\cfrac {z^{2}}{2(\nu +2)-{\cfrac {z^{2}}{2(\nu +3)-{} \ddots }}}}}}}}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Эти формулы также действительны для любого комплексного z .
Серия 1 Ф 1
С ,![{\displaystyle e^{z}={}_{1}F_{1}(1;1;z)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle 1/e^{z}=e^{-z}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle e^{z}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {-z}{1+{\cfrac {z}{2+{\cfrac {-z}{3+{\cfrac {2z}{4+{\cfrac {-2z}{5+{}\ddots }}}}}}}}}}}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle e^{z}=1+{\cfrac {z}{1+{\cfrac {-z}{2+{\cfrac {z}{3+{\cfrac {-2z}{4+{ \cfrac {2z}{5+{}\ddots }}}}}}}}}}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
После некоторых манипуляций это можно использовать для доказательства простого представления e в виде цепной дроби :
![{\displaystyle e=2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1} 4+{}\ddots }}}}}}}}}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Функция ошибок erf ( z ), заданная формулой
![{\displaystyle \operatorname {erf} (z)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{z}e^{-t^{2}}\,dt ,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
также можно вычислить с помощью гипергеометрической функции Куммера:
![{\displaystyle \operatorname {erf} (z)={\frac {2z}{\sqrt {\pi }}}e^{-z^{2}}\,_{1}F_{1}(1; {\scriptstyle {\frac {3}{2}}};z^{2}).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Применяя цепную дробь Гаусса, можно получить полезное разложение, справедливое для любого комплексного числа z : [9]
![{\displaystyle {\frac {\sqrt {\pi }}{2}}e^{z^{2}}\operatorname {erf} (z)={\cfrac {z}{1-{\cfrac {z ^{2}}{{\frac {3}{2}}+{\cfrac {z^{2}}{{\frac {5}{2}}-{\cfrac {{\frac {3}{ 2}}z^{2}}{{\frac {7}{2}}+{\cfrac {2z^{2}}{{\frac {9}{2}}-{\cfrac {{\frac {5}{2}}z^{2}}{{\frac {11}{2}}+{\cfrac {3z^{2}}{{\frac {13}{2}}-{\cfrac {{\frac {7}{2}}z^{2}}{{\frac {15}{2}}+-\ddots }}}}}}}}}}}}}}}}}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Аналогичный аргумент можно привести для получения разложений в цепные дроби для интегралов Френеля , для функции Доусона и для неполной гамма-функции . Более простая версия аргумента дает два полезных разложения экспоненциальной функции в непрерывную дробь . [10]
Серия 2 Ф 1
От
![{\displaystyle (1-z)^{-b}={}_{1}F_{0}(b;;z)=\,_{2}F_{1}(1,b;1;z) ,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle (1-z)^{-b}={\cfrac {1} {1+ {\cfrac {-bz} {1+ {\cfrac {(b-1)z} {2+ {\cfrac {-(b+1)z}{3+{\cfrac {2(b-2)z}{4+{}\ddots }}}}}}}}}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Легко показать, что разложение арктанса z в ряд Тейлора в окрестности нуля имеет вид
![{\displaystyle \arctan z=zF({\scriptstyle {\frac {1}{2}}},1; {\scriptstyle {\frac {3}{2}}};-z^{2}).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
К этому тождеству можно применить непрерывную дробь Гаусса, что даст разложение
![{\displaystyle \arctan z={\cfrac {z}{1+{\cfrac {(1z)^{2}}{3+{\cfrac {(2z)^{2}}{5+{\cfrac { (3z)^{2}}{7+{\cfrac {(4z)^{2}}{9+\ddots }}}}}}}}}},}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
которая сходится к главной ветви обратной касательной функции на комплексной плоскости разреза, при этом разрез продолжается вдоль мнимой оси от i до точки на бесконечности и от - i до точки на бесконечности. [11]
Эта конкретная цепная дробь сходится довольно быстро, когда z = 1, давая значение π/4 с точностью до семи знаков после запятой по девятой дроби. Соответствующая серия
![{\displaystyle {\frac {\pi }{4}}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {1^{2}}{2+{\cfrac {3^{2}}{2+ {\cfrac {5^{2}}{2+\ddots }}}}}}}}=1- {\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\ фракт {1}{7}}\pm \cdots }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
сходится гораздо медленнее: для достижения точности семь десятичных знаков требуется более миллиона членов. [12]
Вариации этого аргумента можно использовать для получения разложений в непрерывные дроби для натурального логарифма , функции arcsin и обобщенного биномиального ряда .
Примечания
- ^ Джонс и Трон (1980), с. 5
- ^ CF Gauss (1813), Werke, vol. 3 стр. 134–38.
- ^ Б. Риман (1863), «Sullo svolgimento del quoziente di Due Series ipgeometriche in Frazione Continua Infinita» в Werke . стр. 400–406. (Посмертный фрагмент).
- ^ LW Thomé (1867), «Über die Kettenbruchentwicklung des Gauß'schen Quotienten ...», Jour. для математики. том. 67 стр. 299–309.
- ^ Э.Б. Ван Флек (1901), «О сходимости цепной дроби Гаусса и других цепных дробей». Анналы математики , вып. 3 стр. 1–18.
- ^ Джонс и Трон (1980), с. 206
- ^ Стена, 1973 (стр. 339)
- ^ Уолл (1973) с. 349.
- ^ Джонс и Трон (1980), с. 208.
- ^ См. пример в статье «Таблица Паде» для разложения e z как непрерывные дроби Гаусса.
- ^ Уолл (1973) с. 343. Обратите внимание, что i и − i являются точками ветвления обратной касательной функции.
- ^ Джонс и Трон (1980), с. 202.
Рекомендации