Парадокс Кондорсе

Внутреннее противоречие правила большинства

В теории общественного выбора парадокс голосования Кондорсе является фундаментальным открытием маркиза де Кондорсе , что правило большинства по своей сути противоречиво . Результат подразумевает, что логически невозможно для любой системы голосования гарантировать, что победитель получит поддержку большинства избирателей: в некоторых ситуациях большинство избирателей предпочтут A по сравнению с B, B по сравнению с C, а также C по сравнению с A, даже если индивидуальные предпочтения каждого избирателя рациональны и избегают внутреннего противоречия. Примеры парадокса Кондорсе называются циклами Кондорсе или циклическими связями .

В таком цикле каждый возможный выбор отвергается электоратом в пользу другой альтернативы, которую предпочитают более половины всех избирателей. Таким образом, любая попытка обосновать принятие социальных решений на основе мажоритаризма должна принять такие внутренние противоречия (обычно называемые эффектами спойлера ). Системы, которые пытаются сделать это, минимизируя при этом частоту таких внутренних противоречий, называются методами Кондорсе .

Парадокс Кондорсе является частным случаем парадокса Эрроу , который показывает, что любой процесс принятия социальных решений либо внутренне противоречив, является диктатурой , либо включает в себя информацию о силе предпочтений различных избирателей (например, кардинальная полезность или рейтинговое голосование ).

История

Парадокс Кондорсе был впервые обнаружен каталонским философом и теологом Рамоном Луллием в 13 веке во время его исследований церковного управления , но его работа была утеряна до 21 века. Математик и политический философ маркиз де Кондорсе заново открыл парадокс в конце 18 века. ^{[1] [2] [3]}

Открытие Кондорсе означает, что он, возможно, определил ключевой результат теоремы Эрроу о невозможности , хотя и при более жестких условиях, чем того требует Эрроу: циклы Кондорсе создают ситуации, в которых любая рейтинговая система голосования , уважающая большинство, должна иметь эффект помехи .

Пример

Предположим, у нас есть три кандидата, A, B и C, и три избирателя со следующими предпочтениями:

Избиратели (синие) и кандидаты (красные) в двумерном пространстве предпочтений. Каждый избиратель предпочитает более близкого кандидата более далекому. Стрелки показывают порядок, в котором избиратели предпочитают кандидатов.

Если победителем выбран C, можно утверждать, что победит B, поскольку два избирателя (1 и 2) предпочитают B C, и только один избиратель (3) предпочитает C B. Однако по тому же аргументу A предпочтительнее B, а C предпочтительнее A, с разницей два к одному в каждом случае. Таким образом, предпочтения общества демонстрируют цикличность: A предпочтительнее B, который предпочтительнее C, который предпочтительнее A.

В результате любая попытка апеллировать к принципу большинства приведет к логическому внутреннему противоречию . Независимо от того, какую альтернативу мы выберем, мы можем найти другую альтернативу, которая будет предпочтительнее для большинства избирателей.

Реальный сценарий

Избиратели округа Кактус отдают предпочтение действующему окружному руководителю Алексу из Партии фермеров, а не его сопернице Беатрис из Партии солнечных батарей, примерно в соотношении 2 к 1. В этом году третий кандидат, Чарли , баллотируется как независимый. Чарли — богатый и откровенный бизнесмен, о котором избиратели имеют полярные взгляды.

Избиратели делятся на три группы:

• Группа 1 чтит Чарли за спасение школьной футбольной команды. Они ставят Чарли на первое место, а затем Алекса выше Беатрис, как обычно ( CAB ).
• Группа 2 презирает Чарли за его дерзкие деловые методы. Они ставят Чарли на последнее место , а Алекса ставят выше Беатрис, как обычно ( ABC ).
• Группа 3 — основные сторонники Беатрис. Они хотят, чтобы Партия фермеров ушла с поста в пользу Партии солнечных панелей, и считают кандидатуру Чарли второстепенной. Они ставят Беатрис на первое место, Алекса — на последнее, как обычно, а Чарли — на второе место по умолчанию ( BCA ).

Поэтому большинство избирателей предпочитают Алекса Беатрис (A > B), как и всегда. Большинство избирателей либо любят Беатрис, либо ненавидят Чарли, поэтому предпочитают Беатрис Чарли (B > C). И большинство избирателей либо любят Чарли, либо ненавидят Алекса, поэтому предпочитают Чарли Алексу (C > A). Объединение трех предпочтений дает нам A > B > C > A, цикл Кондорсе.

Вероятность парадокса

Вероятность парадокса можно оценить путем экстраполяции реальных данных выборов или с помощью математических моделей поведения избирателей, хотя результаты сильно зависят от того, какая модель используется.

Модель беспристрастной культуры

Мы можем рассчитать вероятность увидеть парадокс для особого случая, когда предпочтения избирателей равномерно распределены среди кандидатов. (Это модель « беспристрастной культуры », которая, как известно, является «худшим сценарием» ^{[4] [5] : 40  [6] : 320  [7]} — большинство моделей показывают существенно более низкие вероятности циклов Кондорсе.)

Для избирателей, предоставляющих список предпочтений из трех кандидатов A, B, C, мы записываем (соотв. , ) случайную величину, равную числу избирателей, которые поместили A перед B (соответственно B перед C, C перед A). Искомая вероятность равна (мы удваиваем, потому что есть также симметричный случай A> C> B> A). Мы показываем, что для нечетных , где , что делает необходимым знать только совместное распределение и . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle X_{n}}$ ${\displaystyle Y_{n}}$ ${\displaystyle Z_{n}}$ ${\displaystyle p_{n}=2P(X_{n}>n/2,Y_{n}>n/2,Z_{n}>n/2)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle p_{n}=3q_{n}-1/2}$ ${\displaystyle q_{n}=P(X_{n}>n/2,Y_{n}>n/2)}$ ${\displaystyle X_{n}}$ ${\displaystyle Y_{n}}$

Если положить , то мы покажем соотношение, которое позволяет вычислить это распределение с помощью рекуррентности: . ${\displaystyle p_{n,i,j}=P(X_{n}=i,Y_{n}=j)}$ ${\displaystyle p_{n+1,i,j}={1 \over 6}p_{n,i,j}+{1 \over 3}p_{n,i-1,j}+{1 \over 3}p_{n,i,j-1}+{1 \over 6}p_{n,i-1,j-1}}$

В результате получены следующие результаты:

Последовательность, по-видимому, стремится к конечному пределу.

Используя центральную предельную теорему , мы показываем, что стремится к , где — переменная, подчиняющаяся распределению Коши , что дает (константа, указанная в OEIS). ${\displaystyle q_{n}}$ ${\displaystyle q={\frac {1}{4}}P\left(|T|>{\frac {\sqrt {2}}{4}}\right),}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle q={\dfrac {1}{2\pi }}\int _{{\sqrt {2}}/4}^{+\infty }{\frac {dt}{1+t^{2}}}={\dfrac {\arctan 2{\sqrt {2}}}{2\pi }}={\dfrac {\arccos {\frac {1}{3}}}{2\pi }}}$

Асимптотическая вероятность возникновения парадокса Кондорсе составляет, таким образом, 8,77%. ^{[8] [9]} ${\displaystyle {{3\arccos {1 \over 3}} \over {2\pi }}-{1 \over 2}={\arcsin {{\sqrt {6}} \over 9} \over \pi }}$

Некоторые результаты для случая более трех кандидатов были рассчитаны ^[10] и смоделированы. ^[11] Смоделированная вероятность для модели беспристрастной культуры с 25 избирателями увеличивается с числом кандидатов: ^{[11] :  28}

Вероятность цикла Кондорсе для связанных моделей приближается к этим значениям для выборов с тремя кандидатами и большим электоратом: ^[9]

• Беспристрастная анонимная культура (IAC): 6,25%
• Равномерная культура (UC): 6,25%
• Максимальное состояние культуры (MC): 9,17%

Все эти модели нереалистичны, но их можно исследовать, чтобы установить верхнюю границу вероятности цикла. ^[9]

Модели групповой сплоченности

При моделировании с более реалистичными предпочтениями избирателей парадоксы Кондорсе на выборах с небольшим числом кандидатов и большим числом избирателей становятся очень редкими. ^{[5] : 78}

Пространственная модель

Исследование выборов с тремя кандидатами проанализировало 12 различных моделей поведения избирателей и обнаружило, что пространственная модель голосования является наиболее точной для реальных данных выборов с ранжированным голосованием . Анализируя эту пространственную модель, они обнаружили, что вероятность цикла уменьшается до нуля по мере увеличения числа избирателей, с вероятностью 5% для 100 избирателей, 0,5% для 1000 избирателей и 0,06% для 10 000 избирателей. ^[12]

Другая пространственная модель обнаружила вероятность 2% или менее во всех симуляциях 201 избирателя и 5 кандидатов, как двухмерных, так и четырехмерных, с корреляцией между измерениями или без нее и с двумя различными дисперсиями кандидатов. ^{[11] :  31}

Эмпирические исследования

Было предпринято много попыток найти эмпирические примеры парадокса. ^[13] Эмпирическая идентификация парадокса Кондорсе предполагает наличие обширных данных о предпочтениях лиц, принимающих решения, по всем альтернативам — то, что доступно лишь очень редко.

Хотя примеры парадокса, по-видимому, время от времени встречаются в небольших группах (например, парламентах), в более крупных группах (например, среди избирателей) было обнаружено очень мало примеров, хотя некоторые из них были выявлены. ^[14]

В результате обобщения 37 отдельных исследований, охватывающих в общей сложности 265 реальных выборов, больших и малых, было обнаружено 25 случаев парадокса Кондорсе, что соответствует общей вероятности 9,4% ^{[6] : 325} (и это может быть высокой оценкой, поскольку случаи парадокса чаще упоминаются, чем случаи без него). ^{[5] : 47}

Анализ 883 выборов с тремя кандидатами, извлеченных из 84 реальных выборов с рейтинговым голосованием Общества реформы выборов, показал вероятность цикла Кондорсе 0,7%. В этих производных выборах участвовало от 350 до 1957 избирателей. ^[12] Аналогичный анализ данных из опросов термометрической шкалы Американских национальных исследований выборов 1970–2004 годов показал вероятность цикла Кондорсе 0,4%. В этих производных выборах участвовало от 759 до 2521 «избирателей». ^[12]

База данных 189 рейтинговых выборов в США с 2004 по 2022 год содержала только один цикл Кондорсе: выборы в городской совет округа 2 Миннеаполиса 2021 года . ^[15] Хотя это указывает на очень низкий уровень циклов Кондорсе (0,5%), возможно, что часть эффекта обусловлена ​​общим двухпартийным доминированием .

Эндрю Майерс, управляющий службой интернет-голосования Condorcet , проанализировал 10 354 неполитических выборов CIVS и обнаружил циклы в 17% выборов с не менее чем 10 голосами, при этом этот показатель снижался до 2,1% для выборов с не менее чем 100 голосами и до 1,2% для ≥300 голосов. ^[16]

Подразумеваемое

Три мужчины, изображающие мексиканское противостояние . Так же, как в мексиканском противостоянии с определенными комбинациями наставлений на оружие не бывает победителя, иногда в выборах с рейтинговым голосованием не бывает победителя, которого предпочитает большинство .

Когда метод Кондорсе используется для определения выборов, парадокс голосования циклических общественных предпочтений подразумевает, что на выборах нет победителя по Кондорсе : нет кандидата, который может выиграть выборы один на один против каждого другого кандидата. Все равно будет наименьшая группа кандидатов, известная как множество Смита , такая, что каждый кандидат в группе может выиграть выборы один на один против каждого из кандидатов вне группы. Несколько вариантов метода Кондорсе различаются тем, как они разрешают такие неоднозначности , когда они возникают для определения победителя. ^[17] Методы Кондорсе, которые всегда выбирают кого-то из множества Смита, когда нет победителя по Кондорсе, известны как эффективные по Смиту . Обратите внимание, что при использовании только рейтингов нет справедливого и детерминированного решения тривиального примера, приведенного ранее, поскольку каждый кандидат находится в совершенно симметричной ситуации.

Ситуации, в которых возникает парадокс голосования, могут привести к нарушению механизмами голосования аксиомы независимости нерелевантных альтернатив — выбор победителя механизмом голосования может зависеть от того, доступен ли для голосования проигравший кандидат.

Двухэтапный процесс голосования

Одним из важных следствий возможного существования парадокса голосования в практической ситуации является то, что в парном процессе голосования, подобном стандартной парламентской процедуре , конечный победитель будет зависеть от того, как упорядочены голоса большинства. Например, скажем, популярный законопроект должен быть принят, прежде чем какая-то другая группа предложит поправку; эта поправка принимается большинством голосов. Это может привести к тому, что большинство законодательного органа отклонит законопроект в целом, тем самым создавая парадокс (когда популярная поправка к популярному законопроекту сделала его непопулярным). Эта логическая непоследовательность является источником поправки «отравленная пилюля» , которая намеренно создает ложный цикл Кондорсе, чтобы убить законопроект. Аналогичным образом, порядок голосов в законодательном органе может быть изменен лицом, расставляющим их так, чтобы обеспечить победу предпочитаемого им результата.

Несмотря на частые возражения сторонников теории социального выбора относительно логически непоследовательных результатов таких процедур и существования лучших альтернатив для выбора между несколькими версиями законопроекта, процедура парного большинства широко используется и кодифицирована в уставах или парламентских процедурах почти каждого вида совещательных собраний .

Спойлерные эффекты

Парадоксы Кондорсе подразумевают, что методы большинства не обеспечивают независимости нерелевантных альтернатив. Назовите трех кандидатов в гонке Камень , Бумага и Ножницы . В гонке один на один Камень проигрывает Бумаге, Бумага Ножницам и т. д.

Без потери общности , скажем, что Рок выигрывает выборы определенным методом. Тогда Ножницы — кандидат-спойлер для Бумаги: если Ножницы выбыли, Бумага выиграла бы единственную гонку один на один (Бумага побеждает Рока). Те же рассуждения применимы независимо от победителя.

Этот пример также показывает, почему выборы по Кондорсе редко (если вообще когда-либо) портятся: спойлеры могут случиться только тогда, когда нет победителя по Кондорсе. Циклы Кондорсе редки на крупных выборах, ^{[18] [19]} и теорема о медианном избирателе показывает, что циклы невозможны, когда кандидаты выстраиваются в лево-правый спектр .

Смотрите также

• Теорема Эрроу о невозможности
• Дискурсивная дилемма
• Эффект спойлера
• Независимость от нерелевантных альтернатив
• Число Накамуры
• Квадратичное голосование
• Камень, ножницы, бумага
• набор Смита

Ссылки

1. Маркиз де Кондорсе (1785). Essai sur l'application de l'analyse à la probilité des decisions rendues à la множественности голосов (PNG) (на французском языке) . Проверено 10 марта 2008 г.
2. Кондорсе, Жан-Антуан-Николя де Карита; Соммерлад, Фиона; Маклин, Иэн (1989-01-01). Политическая теория Кондорсе . Оксфорд: Оксфордский университет, факультет социальных исследований. стр. 69–80, 152–166. OCLC  20408445. Очевидно, что если бы чей-либо голос был противоречивым (имеющим циклические предпочтения), его пришлось бы не учитывать, и поэтому мы должны установить форму голосования, которая делает такие абсурды невозможными.
3. Gehrlein, William V. (2002). «Парадокс Кондорсе и вероятность его возникновения: различные точки зрения на сбалансированные предпочтения*». Теория и решение . 52 (2): 171–199. doi :10.1023/A:1015551010381. ISSN  0040-5833. S2CID  118143928. Здесь Кондорсе отмечает, что у нас есть «противоречивая система», которая представляет собой то, что стало известно как Парадокс Кондорсе.
4. Цетлин, Илья; Регенветтер, Мишель; Грофман, Бернард (2003-12-01). «Беспристрастная культура максимизирует вероятность большинства циклов». Социальный выбор и благосостояние . 21 (3): 387–398. doi :10.1007/s00355-003-0269-z. ISSN  0176-1714. S2CID  15488300. широко признано, что беспристрастная культура нереалистична... беспристрастная культура — это наихудший сценарий
5. Gehrlein, William V.; Lepelley, Dominique (2011). Парадоксы голосования и групповая сплоченность: эффективность правил голосования по Кондорсе . Берлин: Springer. doi :10.1007/978-3-642-03107-6. ISBN 9783642031076OCLC  695387286. большинство результатов выборов не соответствуют ни одному из DC, IC, IAC или MC... эмпирические исследования... показывают, что некоторые из наиболее распространенных парадоксов вряд ли будут наблюдаться на реальных выборах. ... легко сделать вывод, что парадокс Кондорсе должен очень редко наблюдаться на любых реальных выборах с небольшим количеством кандидатов с большим электоратом, пока предпочтения избирателей отражают какую-либо разумную степень групповой взаимной согласованности
6. Van Deemen, Adrian (2014). «Об эмпирической значимости парадокса Кондорсе». Public Choice . 158 (3–4): 311–330. doi :10.1007/s11127-013-0133-3. ISSN  0048-5829. S2CID  154862595. небольшие отклонения от беспристрастного культурного предположения могут привести к большим изменениям в вероятности парадокса. Это может привести к огромным спадам или, наоборот, к огромным увеличениям.
7. Мэй, Роберт М. (1971). «Некоторые математические замечания о парадоксе голосования». Behavioral Science . 16 (2): 143–151. doi :10.1002/bs.3830160204. ISSN  0005-7940.
8. Гильбо, Жорж-Теодюль (2012). «Общие теории и проблемы логики агрегирования». Экономическое ревю . 63 (4): 659–720. дои : 10.3917/reco.634.0659 . ISSN  0035-2764.
9. Gehrlein, William V. (2002-03-01). «Парадокс Кондорсе и вероятность его возникновения: различные точки зрения на сбалансированные предпочтения*». Теория и решение . 52 (2): 171–199. doi :10.1023/A:1015551010381. ISSN  1573-7187. S2CID  118143928. иметь PMRW с вероятностью, приближающейся к 15/16 = 0,9375 с IAC и UC, и приближающейся к 109/120 = 0,9083 для MC. … эти случаи представляют ситуации, в которых вероятность того, что существует PMRW, будет стремиться к минимуму … призваны дать нам некоторое представление о нижней границе вероятности того, что существует PMRW.
10. Герлейн, Уильям В. (1997). «Парадокс Кондорсе и эффективность правил голосования по Кондорсе». Mathematica Japonica . 45 : 173–199.
11. Merrill, Samuel (1984). «Сравнение эффективности многокандидатных избирательных систем». American Journal of Political Science . 28 (1): 23–48. doi :10.2307/2110786. ISSN  0092-5853. JSTOR  2110786.
12. Tideman, T. Nicolaus; Plassmann, Florenz (2012), Felsenthal, Dan S.; Machover, Moshé (ред.), "Modeling the Outcomes of Vote-Casting in Actual Elections", Electoral Systems , Berlin, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg, Таблица 9.6 Доли победителей строгого парного большинства (SPMRW) в наблюдаемых и моделируемых выборах, doi : 10.1007/978-3-642-20441-8_9, ISBN 978-3-642-20440-1, получено 2021-11-12 , Среднее количество избирателей: 1000 … Пространственная модель: 99,47% [вероятность цикла 0,5%] … 716,4 [данные ERS] … Наблюдаемые выборы: 99,32% … 1566,7 [данные ANES] … 99,56%
13. Куррилд-Клитгаард, Питер (2014). «Эмпирический социальный выбор: Введение». Общественный выбор . 158 (3–4): 297–310. дои : 10.1007/s11127-014-0164-4. ISSN  0048-5829. S2CID  148982833.
14. Куррилд-Клитгаард, Питер (2001). «Эмпирический пример парадокса Кондорсе при голосовании в большом электорате». Public Choice . 107 : 135–145. doi :10.1023/A:1010304729545. ISSN  0048-5829. S2CID  152300013.
15. Грэхем-Скуайр, Адам; Маккьюн, Дэвид (28.01.2023). «Исследование рейтингового голосования в Соединенных Штатах, 2004–2022». arXiv : 2301.12075v2 [econ.GN].
16. Майерс, AC (март 2024 г.). Частота победителей Кондорсе на реальных неполитических выборах. 61-я конференция Общества общественного выбора. стр. 5. 83,1% … 97,9% … 98,8% … Рисунок 2: Частота CW и слабых CW с ростом числа избирателей
17. Липпман, Дэвид (2014). «Теория голосования». Математика в обществе . CreateSpace Independent Publishing Platform. ISBN 978-1479276530OCLC  913874268. Существует много методов Кондорсе, которые различаются в первую очередь тем, как они решают проблемы равенства голосов, что очень распространено, когда победителя по Кондорсе не существует.
18. Герлейн, Уильям В. (2002-03-01). «Парадокс Кондорсе и вероятность его возникновения: различные точки зрения на сбалансированные предпочтения*». Теория и решение . 52 (2): 171–199. doi :10.1023/A:1015551010381. ISSN  1573-7187.
19. Ван Димен, Адриан (01 марта 2014 г.). «Об эмпирической значимости парадокса Кондорсе». Общественный выбор . 158 (3): 311–330. дои : 10.1007/s11127-013-0133-3. ISSN  1573-7101.

Дальнейшее чтение

• Гарман, МБ; Камьен, МИ (1968). «Парадокс голосования: расчеты вероятностей». Поведенческая наука . 13 (4): 306–316. doi :10.1002/bs.3830130405. PMID  5663897.
• Ниеми, РГ; Вайсберг, Х. (1968). «Математическое решение для вероятности парадокса голосования». Поведенческая наука . 13 (4): 317–323. doi :10.1002/bs.3830130406. PMID  5663898.
• Ниеми, Р. Г.; Райт, Дж. Р. (1987). «Циклы голосования и структура индивидуальных предпочтений». Социальный выбор и благосостояние . 4 (3): 173–183. doi :10.1007/BF00433943. JSTOR  41105865. S2CID  145654171.