Циклоида

Кривая, описываемая точкой на катящейся окружности

Циклоида, образованная катящейся окружностью

В геометрии циклоида — это кривая, которую описывает точка на окружности , катящаяся по прямой без скольжения. Циклоида — это особая форма трохоиды и пример рулетки , кривой, образованной кривой, катящейся по другой кривой.

Циклоида с вершинами , направленными вверх, является кривой самого быстрого спуска под действием равномерной силы тяжести ( кривая брахистохроны ). Это также форма кривой, для которой период объекта в простом гармоническом движении (повторяющееся движение вверх и вниз) вдоль кривой не зависит от начального положения объекта ( кривая таутохроны ). В физике, когда заряженная частица в состоянии покоя помещается в однородное электрическое и магнитное поле, перпендикулярные друг другу, траектория частицы вычерчивает циклоиду.

Шары катятся под действием равномерной силы тяжести без трения по циклоиде (черной) и прямым линиям с различными уклонами. Это показывает, что шар на кривой всегда обгоняет шары, движущиеся по прямой линии до точки пересечения кривой и каждой прямой линии.

История

Именно в левом испытательном котле «Пекода», когда мыльный камень усердно кружил вокруг меня, я впервые косвенно был поражен замечательным фактом, что в геометрии все тела, скользящие по циклоиде, например мой мыльный камень, будут опускаться из любой точки точно за одно и то же время.

«Моби Дик» Германа Мелвилла , 1851 г.

Циклоиду называли «Еленой геометров», поскольку, как и Елена Троянская , она часто вызывала ссоры среди математиков 17-го века, в то время как Сара Харт считает, что ее так назвали «потому, что свойства этой кривой очень красивы». ^{[1] [2]}

Историки математики предложили несколько кандидатов на роль первооткрывателя циклоиды. Историк математики Пол Таннери предположил, что такая простая кривая должна была быть известна древним , ссылаясь на похожую работу Карпа Антиохийского, описанную Ямвлихом . ^[3] Английский математик Джон Уоллис в 1679 году приписал открытие Николаю Кузанскому , ^[4] но последующие исследования указывают на то, что либо Уоллис ошибался, либо использованные им доказательства теперь утеряны. ^{[5] Имя} Галилео Галилея было выдвинуто в конце 19 века ^[6] , и по крайней мере один автор сообщает, что заслуга приписывается Марину Мерсенну . ^[7] Начиная с работ Морица Кантора ^[8] и Зигмунда Гюнтера ^[9] , ученые теперь отдают приоритет французскому математику Шарлю де Бовелю ^{[10] [11] [12]} на основе его описания циклоиды в его труде Introductio in geometriam , опубликованном в 1503 году. ^[13] В этой работе Бовелль ошибочно принимает дугу, очерченную катящимся колесом, за часть большего круга с радиусом на 120% больше, чем у меньшего колеса. ^[5]

Галилей ввел термин «циклоида» и был первым, кто серьезно изучил эту кривую. ^[5] По словам его ученика Эванджелисты Торричелли , ^[14] в 1599 году Галилей попытался выполнить квадратуру циклоиды (определив площадь под циклоидой) с помощью необычного эмпирического подхода, который включал в себя начертание как образующей окружности, так и полученной циклоиды на листовом металле, вырезание их и взвешивание. Он обнаружил, что соотношение было примерно 3:1, что является истинным значением, но он ошибочно заключил, что соотношение было иррациональной дробью, что сделало бы квадратуру невозможной. ^[7] Около 1628 года Жиль Персон де Роберваль, вероятно, узнал о задаче квадратуры от отца Марена Мерсенна и выполнил квадратуру в 1634 году, используя теорему Кавальери . ^[5] Однако эта работа была опубликована только в 1693 году (в его «Трактате о неделимых »). ^[15]

Построение касательной циклоиды датируется августом 1638 года, когда Мерсенн получил уникальные методы от Роберваля, Пьера де Ферма и Рене Декарта . Мерсенн передал эти результаты Галилею, который передал их своим ученикам Торричелли и Вивиани, которые смогли получить квадратуру. Этот результат и другие были опубликованы Торричелли в 1644 году ^[14] , что также является первой печатной работой о циклоиде. Это привело к тому, что Роберваль обвинил Торричелли в плагиате, и спор был прерван ранней смертью Торричелли в 1647 году. ^[15]

В 1658 году Блез Паскаль бросил математику ради теологии, но, страдая от зубной боли, начал рассматривать несколько задач, касающихся циклоиды. Его зубная боль исчезла, и он воспринял это как небесный знак, чтобы продолжить свои исследования. Восемь дней спустя он закончил свое эссе и, чтобы опубликовать результаты, предложил провести конкурс. Паскаль предложил три вопроса, касающихся центра тяжести , площади и объема циклоиды, с победителем или победителями, получившими призы в 20 и 40 испанских дублонов . Паскаль, Роберваль и сенатор Каркави были судьями, и ни одно из двух представлений ( Джона Уоллиса и Антуана де Лалувера ) не было признано адекватным. ^{[16] : 198} Пока продолжался конкурс, Кристофер Рен отправил Паскалю предложение о доказательстве выпрямления циклоиды; Роберваль сразу же заявил, что он знал о доказательстве в течение многих лет. Уоллис опубликовал доказательство Рена (указав авторство Рена) в своем труде Tractatus Duo , отдав Рену приоритет за первое опубликованное доказательство. ^[15]

Пятнадцать лет спустя Христиан Гюйгенс применил циклоидальный маятник для улучшения хронометров и обнаружил, что частица будет проходить сегмент перевернутой циклоидальной дуги за одинаковое время, независимо от ее начальной точки. В 1686 году Готфрид Вильгельм Лейбниц использовал аналитическую геометрию для описания кривой одним уравнением. В 1696 году Иоганн Бернулли сформулировал задачу о брахистохроне , решением которой является циклоида. ^[15]

Уравнения

Циклоида, проходящая через начало координат, образованная окружностью радиуса r, катящейся по оси x с положительной стороны ( y ≥ 0 ), состоит из точек ( x , y ) , где t — действительный параметр, соответствующий углу, на который повернулась катящаяся окружность. Для заданного t центр окружности лежит в точке ( x , y ) = ( rt , r ) . $${\displaystyle {\begin{aligned}x&=r(t-\sin t)\\y&=r(1-\cos t),\end{aligned}}}$$

Декартово уравнение получается путем решения y -уравнения относительно t и подстановки в x - уравнение: или, исключая многозначный арккосинус: $${\displaystyle x=r\cos ^{-1}\left(1-{\frac {y}{r}}\right)-{\sqrt {y(2r-y)}},}$$

${\displaystyle r\cos \!\left({\frac {x+{\sqrt {y(2r-y)}}}{r}}\right)+y=r.}$

Если рассматривать y как функцию x , то циклоида дифференцируема всюду, за исключением точек возврата на оси x , причем производная стремится к точке возврата или близка к ней (где y=0 ). Отображение из t в ( x , y ) дифференцируемо, фактически класса ^C∞ , с производной 0 в точках возврата. ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle -\infty }$

Наклон касательной к циклоиде в точке определяется выражением . ${\displaystyle (x,y)}$ ${\textstyle {\frac {dy}{dx}}=\cot({\frac {t}{2}})}$

Участок циклоиды от одной вершины до другой называется дугой циклоиды, например, точки с и . ${\displaystyle 0\leq t\leq 2\pi }$ ${\displaystyle 0\leq x\leq 2\pi }$

Рассматривая циклоиду как график функции , она удовлетворяет дифференциальному уравнению : ^[17] ${\displaystyle y=f(x)}$

${\displaystyle \left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}={\frac {2r}{y}}-1.}$

Если мы определим как разницу высот от вершины циклоиды (точки с горизонтальной касательной и ), то имеем: ${\displaystyle h=2r-y=r(1+\cos t)}$ ${\displaystyle \cos t=-1}$

${\displaystyle \left({\frac {dx}{dh}}\right)^{2}={\frac {2r}{h}}-1.}$

Эвольвента

Формирование эвольвенты циклоиды, развертывающей натянутую проволоку, размещенную на полудуге циклоиды (отмечено красным)

Эвольвента циклоиды имеет точно такую ​​же форму, как и циклоида , из которой она происходит. Это можно визуализировать как путь, проложенный кончиком проволоки, изначально лежащим на половине дуги циклоиды: по мере того, как он разворачивается, оставаясь касательным к исходной циклоиде, он описывает новую циклоиду (см. также циклоидальный маятник и длина дуги).

Демонстрация

Демонстрация свойств эвольвенты циклоиды

Эта демонстрация использует определение циклоиды с помощью катящегося колеса, а также вектор мгновенной скорости движущейся точки, касательный к ее траектории. На соседнем рисунке и — две точки, принадлежащие двум катящимся окружностям, причем основание первой находится чуть выше вершины второй. Первоначально и совпадают в точке пересечения двух окружностей. Когда окружности катятся горизонтально с одинаковой скоростью и пересекают две циклоидальные кривые. Рассматривая красную линию, соединяющую и в заданное время, можно доказать, что линия всегда касается нижней дуги в точке и ортогональна верхней дуге в точке . Пусть — общая точка между верхней и нижней окружностями в заданное время. Тогда: ${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle P_{2}}$ ${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle P_{2}}$ ${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle P_{2}}$ ${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle P_{2}}$ ${\displaystyle P_{2}}$ ${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle Q}$

• ${\displaystyle P_{1},Q,P_{2}}$коллинеарны: действительно, равная скорость качения дает равные углы , и, таким образом . Точка лежит на прямой , поэтому и аналогично . Из равенства и следует, что также . Это следует . ${\displaystyle {\widehat {P_{1}O_{1}Q}}={\widehat {P_{2}O_{2}Q}}}$ ${\displaystyle {\widehat {O_{1}QP_{1}}}={\widehat {O_{2}QP_{2}}}}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle O_{1}O_{2}}$ ${\displaystyle {\widehat {P_{1}QO_{1}}}+{\widehat {P_{1}QO_{2}}}=\pi }$ ${\displaystyle {\widehat {P_{2}QO_{2}}}+{\widehat {P_{2}QO_{1}}}=\pi }$ ${\displaystyle {\widehat {O_{1}QP_{1}}}}$ ${\displaystyle {\widehat {O_{2}QP_{2}}}}$ ${\displaystyle {\widehat {P_{1}QO_{2}}}={\widehat {P_{2}QO_{1}}}}$ ${\displaystyle {\widehat {P_{1}QO_{1}}}+{\widehat {P_{2}QO_{1}}}=\pi }$
• Если — точка пересечения перпендикуляра к отрезку и касательной к окружности в точке , то треугольник равнобедренный, что легко видеть из построения: и . При отмеченном ранее равенстве между и , то и равнобедренный. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle O_{1}O_{2}}$ ${\displaystyle P_{2}}$ ${\displaystyle P_{1}AP_{2}}$ ${\displaystyle {\widehat {QP_{2}A}}={\tfrac {1}{2}}{\widehat {P_{2}O_{2}Q}}}$ ${\displaystyle {\widehat {QP_{1}A}}={\tfrac {1}{2}}{\widehat {QO_{1}R}}=}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}{\widehat {QO_{1}P_{1}}}}$ ${\displaystyle {\widehat {P_{1}O_{1}Q}}}$ ${\displaystyle {\widehat {QO_{2}P_{2}}}}$ ${\displaystyle {\widehat {QP_{1}A}}={\widehat {QP_{2}A}}}$ ${\displaystyle P_{1}AP_{2}}$
• Проведя ортогональный отрезок к , от прямой, касательной к верхней окружности, и назвав точку пересечения, можно увидеть, что это ромб, используя теоремы об углах между параллельными прямыми ${\displaystyle P_{2}}$ ${\displaystyle O_{1}O_{2}}$ ${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle P_{1}AP_{2}B}$
• Теперь рассмотрим скорость . Ее можно рассматривать как сумму двух компонент, скорости качения и скорости дрейфа , которые равны по модулю, поскольку окружности катятся без скольжения. параллельна , в то время как касается нижней окружности в точке и, следовательно, параллельна . Ромб, составленный из компонент и, следовательно, подобен (те же углы) ромбу, поскольку они имеют параллельные стороны. Тогда , полная скорость , параллельна , поскольку обе являются диагоналями двух ромбов с параллельными сторонами и имеет общую точку с точкой контакта . Таким образом, вектор скорости лежит на продолжении . Поскольку касается циклоиды в точке , отсюда следует, что также совпадает с касательной к нижней циклоиде в точке . ${\displaystyle V_{2}}$ ${\displaystyle P_{2}}$ ${\displaystyle V_{a}}$ ${\displaystyle V_{d}}$ ${\displaystyle V_{d}}$ ${\displaystyle P_{1}A}$ ${\displaystyle V_{a}}$ ${\displaystyle P_{2}}$ ${\displaystyle P_{2}A}$ ${\displaystyle V_{d}}$ ${\displaystyle V_{a}}$ ${\displaystyle BP_{1}AP_{2}}$ ${\displaystyle V_{2}}$ ${\displaystyle P_{2}}$ ${\displaystyle P_{2}P_{1}}$ ${\displaystyle P_{1}P_{2}}$ ${\displaystyle P_{2}}$ ${\displaystyle V_{2}}$ ${\displaystyle P_{1}P_{2}}$ ${\displaystyle V_{2}}$ ${\displaystyle P_{2}}$ ${\displaystyle P_{1}P_{2}}$ ${\displaystyle P_{2}}$
• Аналогично можно легко показать, что является ортогональным (другой диагонали ромба). ${\displaystyle P_{1}P_{2}}$ ${\displaystyle V_{1}}$
• Это доказывает, что кончик проволоки, изначально натянутой на полудугу нижней циклоиды и закрепленной на верхней окружности в , будет следовать за точкой вдоль ее пути, не меняя своей длины , поскольку скорость кончика в каждый момент ортогональна проволоке (никакого растяжения или сжатия). Проволока будет в то же время касательной в к нижней дуге из-за натяжения и фактов, продемонстрированных выше. (Если бы она не была касательной, то в , а следовательно, и неуравновешенные силы натяжения.) ${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle P_{2}}$ ${\displaystyle P_{2}}$

Область

Используя приведенную выше параметризацию , площадь под одной аркой определяется по формуле: ${\textstyle x=r(t-\sin t),\ y=r(1-\cos t)}$ ${\displaystyle 0\leq t\leq 2\pi ,}$ $${\displaystyle A=\int _{x=0}^{2\pi r}y\,dx=\int _{t=0}^{2\pi }r^{2}(1-\cos t)^{2}dt=3\pi r^{2}.}$$

Это в три раза больше площади катящегося круга.

Длина дуги

Длина циклоиды как следствие свойства ее эвольвенты

Длина дуги S одной дуги определяется по формуле $${\displaystyle {\begin{aligned}S&=\int _{0}^{2\pi }{\sqrt {\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}}}dt\\&=\int _{0}^{2\pi }r{\sqrt {2-2\cos t}}\,dt\\&=2r\int _{0}^{2\pi }\sin {\frac {t}{2}}\,dt\\&=8r.\end{aligned}}}$$

Другой геометрический способ вычисления длины циклоиды — заметить, что когда проволока, описывающая эвольвенту, полностью развернута из половины дуги, она удлиняется вдоль двух диаметров на длину 4 r . Таким образом, это равно половине длины дуги, а длина полной дуги составляет 8 r .

Из вершины циклоиды (точки с горизонтальной касательной и ) до любой точки внутри той же дуги квадрат длины дуги равен , что пропорционально разнице высот ; это свойство является основой изохронности циклоиды . Фактически, квадрат длины дуги равен разнице высот, умноженной на полную длину дуги 8 r . ${\displaystyle \cos t=-1}$ ${\displaystyle 8r^{2}(1+\cos t)}$ ${\displaystyle r(1+\cos t)}$

Циклоидальный маятник

Схема циклоидального маятника.

Если простой маятник подвешен к острию перевернутой циклоиды, так что струна ограничена касательной к одной из ее арок, а длина маятника L равна половине длины дуги циклоиды (т. е. удвоенному диаметру образующей окружности, L = 4r ), груз маятника также описывает циклоидальную траекторию. Такой маятник является изохронным , с равными по времени колебаниями независимо от амплитуды. Вводя систему координат с центром в положении острия, уравнение движения задается следующим образом: где - угол, который прямая часть струны образует с вертикальной осью, и задается следующим образом, где A < 1 - «амплитуда», - радианная частота маятника, а g - ускорение свободного падения. $${\displaystyle {\begin{aligned}x&=r[2\theta (t)+\sin 2\theta (t)]\\y&=r[-3-\cos 2\theta (t)],\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle \theta }$ $${\displaystyle \sin \theta (t)=A\cos(\omega t),\qquad \omega ^{2}={\frac {g}{L}}={\frac {g}{4r}},}$$ ${\displaystyle \omega }$

Пять изохронных циклоидальных маятников с разными амплитудами.

Голландский математик XVII века Христиан Гюйгенс открыл и доказал эти свойства циклоиды, когда искал более точные конструкции маятниковых часов для использования в навигации . ^[18]

Связанные кривые

Несколько кривых связаны с циклоидой.

• Трохоида : обобщение циклоиды, в котором точка, описывающая кривую, может находиться внутри катящейся окружности (укороченная) или снаружи (вытянутая).
• Гипоциклоида : разновидность циклоиды, в которой окружность катится по внутренней стороне другой окружности, а не по прямой.
• Эпициклоида : разновидность циклоиды, в которой окружность катится по внешней стороне другой окружности, а не по прямой.
• Гипотрохоида : обобщение гипоциклоиды, где образующая точка может не находиться на краю катящейся окружности.
• Эпитрохоида : обобщение эпициклоиды, где образующая точка может не находиться на краю катящейся окружности.

Все эти кривые являются рулетками с окружностью, катящейся по другой кривой равномерной кривизны . Циклоида, эпициклоида и гипоциклоида обладают тем свойством, что каждая из них подобна своей эволюте . Если q — произведение этой кривизны на радиус окружности, со знаком плюс для эпи- и минус для гипо-, то отношение подобия кривой к эволюте равно 1 + 2 q .

Классический спирограф чертит гипотрохоидные и эпитрохоидные кривые.

Другие применения

Циклоидальные арки в Художественном музее Кимбелла

Циклоидальная арка была использована архитектором Луисом Каном в его проекте Художественного музея Кимбелла в Форт-Уэрте, штат Техас . Она также была использована Уоллесом К. Харрисоном в проекте Центра Хопкинса в Дартмутском колледже в Ганновере, штат Нью-Гемпшир . ^[19]

Ранние исследования показали, что некоторые поперечные дугообразные кривые пластин скрипок золотого века тесно связаны с кривыми усеченных циклоид. ^[20] Более поздние работы показывают, что усеченные циклоиды не служат общими моделями для этих кривых, ^[21] которые значительно различаются.

Смотрите также

• Циклогон
• Циклоидная передача
• Список периодических функций
• Кривая таутохроны

Ссылки

1. Каджори, Флориан (1999). История математики . Нью-Йорк: Челси. С. 177. ISBN 978-0-8218-2102-2.
2. Харт, Сара (7 апреля 2023 г.). «Удивительные связи между математикой и литературой». New York Times . Получено 7 апреля 2023 г.
3. Таннери, Поль (1883), «Pour l'histoire des lignes et Surfaces courbes dans l'antiquité», Mélanges, Bulletin des Sciences mathématiques et astronomiques , сер. 2, 7 : 278–291, с. 284: В преддверии выхода из цитаты из Жамблика, j'ajouterai que, dans la Courbe de Double Mouvement de Carpos, il est difficile de ne pas pas connaître la Cycloide dont la génération si simple n'a pas dû échapper aux anciens. [Прежде чем закончить цитату из Ямвлиха, добавлю, что в кривой двойного движения Карпа трудно не узнать циклоиду, столь простое зарождение которой не могло ускользнуть от древних.](цитируется в Whitman 1943);
4. Уоллис, Д. (1695). «Отрывок из письма доктора Уоллиса от 4 мая 1697 г. относительно циклоиды, известной кардиналу Кузанусу около 1450 г. и Карлу Бовиллу около 1500 г.». Философские труды Лондонского королевского общества . 19 (215–235): 561–566. doi : 10.1098/rstl.1695.0098 .(Цитируется по Гюнтеру, стр. 5)
5. Уитмен, EA (май 1943), «Некоторые исторические заметки о циклоиде», The American Mathematical Monthly , 50 (5): 309–315, doi :10.2307/2302830, JSTOR  2302830 (требуется подписка)
6. Каджори, Флориан (1999), История математики (5-е изд.), стр. 162, ISBN 0-8218-2102-4(Примечание: в первом издании (1893 г.) и его переизданиях утверждается, что циклоиду изобрел Галилей. По словам Филлипса, это исправление было внесено во втором издании (1919 г.) и сохранилось до последнего (пятого) издания.)
7. Roidt, Tom (2011). Cycloids and Paths (PDF) (MS). Portland State University. стр. 4. Архивировано (PDF) из оригинала 2022-10-09.
8. Кантор, Мориц (1892), Vorlesungen über Geschichte der Mathematik, Bd. 2, Лейпциг: Б. Г. Тойбнер, OCLC  25376971
9. Гюнтер, Зигмунд (1876), Vermischte untersuchungen zur geschichte der mathematischen wissenschaften , Лейпциг: Druck und Verlag Von BG Teubner, p. 352, OCLC  2060559
10. Филлипс, Дж. П. (май 1967 г.), «Брахистохрона, таутохрона, циклоида — яблоко раздора», The Mathematics Teacher , 60 (5): 506–508, doi :10.5951/MT.60.5.0506, JSTOR  27957609(требуется подписка)
11. Виктор, Джозеф М. (1978), Шарль де Бовель, 1479-1553: Интеллектуальная биография, стр. 42, ISBN 978-2-600-03073-1
12. Мартин, Дж. (2010). «Елена геометрии». The College Mathematics Journal . 41 : 17–28. doi :10.4169/074683410X475083. S2CID  55099463.
13. де Буэль, Шарль (1503), Введение в геометрию ... Liber dequadatura circuli. Свобода кубической сферы. Перспектива введения. , OCLC  660960655
14. Торричелли, Евангелиста (1644), Opera геометрическая , OCLC  55541940
15. Уокер, Эвелин (1932), Исследование «Трактата о неделимых» Роберваля , Колумбийский университет(цитируется в Whitman 1943);
16. Коннер, Джеймс А. (2006), Пари Паскаля: Человек, который играл в кости с Богом (1-е изд.), HarperCollins, стр. 224, ISBN 9780060766917
17. Робертс, Чарльз (2018). Элементарные дифференциальные уравнения: приложения, модели и вычисления (2-е иллюстрированное издание). CRC Press. стр. 141. ISBN 978-1-4987-7609-7.Выдержка из страницы 141, уравнение (f) с их K=2r
18. К. Гюйгенс, «Маятниковые часы или геометрические демонстрации, касающиеся движения маятника (sic) в применении к часам», перевод Р. Дж. Блэквелла, Iowa State University Press (Эймс, Айова, США, 1986).
19. 101 причина любить Дартмут, журнал выпускников Дартмута, 2016 г.
20. Playfair, Q. «Curtate Cycloid Arching in Golden Age Cremonese Violin Family Instruments». Журнал Catgut Acoustical Society . II. 4 (7): 48–58.
21. Моттола, Р. М. (2011). «Сравнение изогнутых профилей скрипок золотого века Кремона и некоторых математически сгенерированных кривых». Savart Journal . 1 (1). Архивировано из оригинала 11.12.2017 . Получено 13.08.2012 .

Дальнейшее чтение

• Приложение из физики : Ghatak, A. & Mahadevan, L. Crack street: циклоидальный след цилиндра, разрывающего лист. Physical Review Letters, 91, (2003). link.aps.org
• Эдвард Каснер и Джеймс Ньюман (1940) Математика и воображение , стр. 196–200, Simon & Schuster .
• Уэллс Д. (1991). Словарь любопытной и интересной геометрии издательства Penguin . Нью-Йорк: Penguin Books. С. 445–47. ISBN 0-14-011813-6.

Внешние ссылки

• О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. , «Циклоида», Архив истории математики Мактьютора , Университет Сент-Эндрюс
• Вайсштейн, Эрик В. «Циклоида». MathWorld .Получено 27 апреля 2007 г.
• Циклоиды в разрубании узла
• «Трактат о циклоиде и всех формах циклоидальных кривых», монография Ричарда А. Проктора, бакалавра наук, опубликованная библиотекой Корнелльского университета.
• Циклоидные кривые Шона Мэдсена при участии Дэвида фон Сеггерна, Wolfram Demonstrations Project .
• Циклоида на PlanetPTC (Mathcad)
• ВИЗУАЛЬНЫЙ подход к решению задач ИСЧИСЛЕНИЯ Тома Апостола