Простое гармоническое движение

Периодическое возвратно-поступательное движение в науке и технике

Простое гармоническое движение, показанное как в реальном пространстве, так и в фазовом пространстве . Орбита периодическая . (Здесь оси скорости и положения были перевернуты со стандартного соглашения, чтобы выровнять две диаграммы)

В механике и физике простое гармоническое движение (иногда сокращенно SHM ) — это особый тип периодического движения, испытываемого объектом посредством восстанавливающей силы , величина которой прямо пропорциональна расстоянию объекта от положения равновесия и действует по направлению к положению равновесия. Это приводит к колебанию , которое описывается синусоидой , которая продолжается бесконечно (если не сдерживается трением или любым другим рассеиванием энергии ).

Простое гармоническое движение может служить математической моделью для множества движений, но типичным примером является колебание массы на пружине , когда она подвергается воздействию линейной упругой восстанавливающей силы, заданной законом Гука . Движение синусоидально во времени и демонстрирует одну резонансную частоту. Другие явления могут быть смоделированы простым гармоническим движением, включая движение простого маятника , хотя для того, чтобы это была точная модель, чистая сила на объекте на конце маятника должна быть пропорциональна смещению (и даже в этом случае это только хорошее приближение, когда угол качания мал; см. приближение малого угла ). Простое гармоническое движение также может быть использовано для моделирования молекулярной вибрации .

Простое гармоническое движение дает основу для характеристики более сложного периодического движения с помощью методов анализа Фурье .

Введение

Движение частицы, движущейся по прямой линии с ускорением , направление которого всегда направлено к фиксированной точке на линии, а величина пропорциональна смещению от фиксированной точки, называется простым гармоническим движением. ^[1]

На схеме показан простой гармонический осциллятор , состоящий из груза, прикрепленного к одному концу пружины. Другой конец пружины соединен с жесткой опорой, например, со стеной. Если система остается в состоянии покоя в положении равновесия , то на массу не действует результирующая сила . Однако, если масса смещена из положения равновесия, пружина оказывает восстанавливающую силу упругости , которая подчиняется закону Гука .

Математически восстанавливающая сила F определяется по формуле , где F — восстанавливающая сила упругости, создаваемая пружиной (в единицах СИ : Н ), k — константа пружины ( Н · м ⁻¹ ), а x — смещение от положения равновесия (м). $${\displaystyle \mathbf {F} =-k\mathbf {x} ,}$$

Для любого простого механического гармонического осциллятора:

• Когда система смещается из положения равновесия, возвращающая сила, подчиняющаяся закону Гука, стремится вернуть систему в состояние равновесия.

Как только масса смещается из положения равновесия, она испытывает чистую восстанавливающую силу. В результате она ускоряется и начинает возвращаться в положение равновесия. Когда масса приближается к положению равновесия, восстанавливающая сила уменьшается. В положении равновесия чистая восстанавливающая сила исчезает. Однако при x = 0 масса имеет импульс из-за ускорения, которое придала восстанавливающая сила. Поэтому масса продолжает движение после положения равновесия, сжимая пружину. Затем чистая восстанавливающая сила замедляет ее, пока ее скорость не достигнет нуля, после чего она снова ускоряется до положения равновесия.

Пока в системе нет потерь энергии , масса продолжает колебаться. Таким образом, простое гармоническое движение является типом периодического движения. Если в системе теряется энергия, то масса демонстрирует затухающие колебания .

Обратите внимание, что если графики реального и фазового пространств не являются коллинеарными, движение фазового пространства становится эллиптическим. Охваченная область зависит от амплитуды и максимального импульса.

Динамика

В ньютоновской механике для одномерного простого гармонического движения уравнение движения, представляющее собой линейное обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами, может быть получено с помощью 2-го закона Ньютона и закона Гука для массы на пружине .

$${\displaystyle F_{\mathrm {net} }=m{\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}=-kx,}$$где m — инертная масса колеблющегося тела, x — его смещение от положения равновесия (или среднего), а k — константа ( жесткость пружины для груза на пружине).

Поэтому, $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}=-{\frac {k}{m}}x,}$$

Решение дифференциального уравнения выше дает решение, которое является синусоидальной функцией : где Значение констант и может быть легко найдено: устанавливая на уравнении выше, мы видим, что , так что - начальное положение частицы, ; беря производную этого уравнения и оценивая в нуле, мы получаем, что , так что - начальная скорость частицы, деленная на угловую частоту, . Таким образом, мы можем записать: ${\displaystyle x(t)=c_{1}\cos \left(\omega t\right)+c_{2}\sin \left(\omega t\right),}$ ${\textstyle \omega ={\sqrt {{k}/{m}}}.}$ ${\displaystyle c_{1}}$ ${\displaystyle c_{2}}$ ${\displaystyle t=0}$ ${\displaystyle x(0)=c_{1}}$ ${\displaystyle c_{1}}$ ${\displaystyle c_{1}=x_{0}}$ ${\displaystyle {\dot {x}}(0)=\omega c_{2}}$ ${\displaystyle c_{2}}$ ${\displaystyle c_{2}={\frac {v_{0}}{\omega }}}$ $${\displaystyle x(t)=x_{0}\cos \left({\sqrt {\frac {k}{m}}}t\right)+{\frac {v_{0}}{\sqrt {\frac {k}{m}}}}\sin \left({\sqrt {\frac {k}{m}}}t\right).}$$

Это уравнение можно также записать в виде: где $${\displaystyle x(t)=A\cos \left(\omega t-\varphi \right),}$$

• ${\displaystyle A={\sqrt {{c_{1}}^{2}+{c_{2}}^{2}}}}$
• ${\displaystyle \tan \varphi ={\frac {c_{2}}{c_{1}}},}$
• ${\displaystyle \sin \varphi ={\frac {c_{2}}{A}},\;\cos \varphi ={\frac {c_{1}}{A}}}$

или эквивалентно

• ${\displaystyle A=|c_{1}+c_{2}i|,}$
• ${\displaystyle \varphi =\arg(c_{1}+c_{2}i)}$

В решении c ₁ и c ₂ — две константы, определяемые начальными условиями (в частности, начальное положение в момент времени t = 0 равно c ₁ , а начальная скорость равна c ₂ ω ), а начало координат установлено в положение равновесия. ^[A] Каждая из этих констант несет физический смысл движения: A — амплитуда (максимальное смещение от положения равновесия), ω = 2 πf — угловая частота , а φ — начальная фаза . ^[B]

Используя методы исчисления , можно найти скорость и ускорение как функцию времени: $${\displaystyle v(t)={\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=-A\omega \sin(\omega t-\varphi ),}$$

• Скорость: ${\displaystyle {\omega }{\sqrt {A^{2}-x^{2}}}}$
• Максимальная скорость: v = ωA (в точке равновесия)

$${\displaystyle a(t)={\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}=-A\omega ^{2}\cos(\omega t-\varphi ).}$$

• Максимальное ускорение: Aω ² (в крайних точках)

По определению, если масса m находится под действием SHM, ее ускорение прямо пропорционально смещению. где $${\displaystyle a(x)=-\omega ^{2}x.}$$ $${\displaystyle \omega ^{2}={\frac {k}{m}}}$$

Так как ω = 2 πf , и так как T = ⁠ $${\displaystyle f={\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {k}{m}}},}$$1/ф⁠ где T — период времени, $${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {m}{k}}}.}$$

Эти уравнения показывают, что простое гармоническое движение является изохронным (период и частота не зависят от амплитуды и начальной фазы движения).

Энергия

Заменяем ω ² на ⁠к/м⁠ ,кинетическая энергия K системы в момент времени t равна , апотенциальная энергияравна При отсутствии трения и других потерь энергии полнаямеханическая энергияимеет постоянное значение $${\displaystyle K(t)={\tfrac {1}{2}}mv^{2}(t)={\tfrac {1}{2}}m\omega ^{2}A^{2}\sin ^{2}(\omega t-\varphi )={\tfrac {1}{2}}kA^{2}\sin ^{2}(\omega t-\varphi ),}$$ $${\displaystyle U(t)={\tfrac {1}{2}}kx^{2}(t)={\tfrac {1}{2}}kA^{2}\cos ^{2}(\omega t-\varphi ).}$$ $${\displaystyle E=K+U={\tfrac {1}{2}}kA^{2}.}$$

Примеры

Недемпфированная система пружина-масса совершает простое гармоническое движение.

Следующие физические системы являются примерами простого гармонического осциллятора .

Масса на пружине

Масса m, прикрепленная к пружине с жесткостью k, совершает простое гармоническое движение в замкнутом пространстве . Уравнение для описания периода показывает, что период колебаний не зависит от амплитуды, хотя на практике амплитуда должна быть небольшой. Приведенное выше уравнение справедливо и в случае, когда к массе приложена дополнительная постоянная сила, т. е. дополнительная постоянная сила не может изменить период колебаний. $${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {m}{k}}}}$$

Равномерное круговое движение

Простое гармоническое движение можно считать одномерной проекцией равномерного кругового движения . Если объект движется с угловой скоростью ω по окружности радиуса r с центром в начале координат плоскости xy , то его движение по каждой координате является простым гармоническим движением с амплитудой r и угловой частотой ω .

Колебательное движение

Движение тела, при котором оно движется к определенной точке и от нее, также называется колебательным движением или вибрационным движением. Период времени можно рассчитать по формуле где l — расстояние от вращения до центра масс объекта, подвергающегося SHM, а g — ускорение свободного падения. Это аналогично системе масса-пружина. $${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {l}{g}}}}$$

Масса простого маятника

В приближении малых углов движение простого маятника аппроксимируется простым гармоническим движением. Период массы, прикрепленной к маятнику длиной l с гравитационным ускорением, определяется как ${\displaystyle g}$ $${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {l}{g}}}}$$

Это показывает, что период колебаний не зависит от амплитуды и массы маятника, но не от ускорения под действием силы тяжести, поэтому маятник той же длины на Луне будет качаться медленнее из-за меньшей силы гравитационного поля Луны. Поскольку значение немного меняется на поверхности Земли, период времени будет немного меняться от места к месту, а также будет меняться с высотой над уровнем моря. ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g}$

Это приближение является точным только для малых углов, поскольку выражение для углового ускорения α пропорционально синусу угла смещения: где I — момент инерции . Когда θ мало, sin  θ ≈ θ и, следовательно, выражение становится что делает угловое ускорение прямо пропорциональным и противоположным θ , удовлетворяя определению простого гармонического движения (что результирующая сила прямо пропорциональна смещению от среднего положения и направлена ​​к среднему положению). $${\displaystyle -mgl\sin \theta =I\alpha ,}$$ $${\displaystyle -mgl\theta =I\alpha }$$

шотландский хомут

Механизм Scotch yoke может использоваться для преобразования вращательного движения в линейное возвратно-поступательное движение. Линейное движение может принимать различные формы в зависимости от формы паза, но базовый ярмовой механизм с постоянной скоростью вращения создает линейное движение, которое является простым гармоническим по форме.

Анимация шотландского ярма

Смотрите также

• Ньютоновская механика
• Малоугловое приближение
• Модель осциллятора Лоренца
• Маятник Рэлея–Лоренца
• Изохронный
• Равномерное круговое движение
• Сложное гармоническое движение
• Коэффициент затухания
• Гармонический осциллятор
• Маятник (математика)
• Группа круга
• Вибрация струны

Примечания

1. Выбор использования косинуса в этом уравнении является соглашением. Другие допустимые формулировки:

   $${\displaystyle x(t)=A\sin \left(\omega t+\varphi '\right),}$$где $${\displaystyle \tan \varphi '={\frac {c_{1}}{c_{2}}},}$$

   поскольку cos θ = sin( ⁠π/2⁠ − θ ) .
2. Максимальное смещение (то есть амплитуда), x _max , происходит, когда cos( ωt ± φ ) = 1 , и, следовательно, когда x _max = A .

Ссылки

1. «Простое гармоническое движение – Концепции».

• Фаулз, Грант Р.; Кэссидей, Джордж Л. (2005). Аналитическая механика (7-е изд.). Thomson Brooks/Cole. ISBN 0-534-49492-7.
• Тейлор, Джон Р. (2005). Классическая механика . Книги по университетской науке. ISBN 1-891389-22-X.
• Торнтон, Стивен Т.; Мэрион, Джерри Б. (2003). Классическая динамика частиц и систем (5-е изд.). Брукс Коул. ISBN 0-534-40896-6.
• Уокер, Джерл (2011). Принципы физики (9-е изд.). Хобокен, Нью-Джерси: Wiley. ISBN 978-0-470-56158-4.

Внешние ссылки

• Простое гармоническое движение от HyperPhysics
• Моделирование пружинно-массового осциллятора на Java
• Апплет Geogebra для пружинной массы с 3 прикрепленными PDF-файлами по SHM, управляемым/затухающим осцилляторам, пружинной массе с трением