Синусоидальная волна

Синусоидальная волна , синусоидальная волна или синусоида (символ: ∿ ) — это периодическая волна , форма волны которой (форма) является тригонометрической синусоидальной функцией . В механике , как линейное движение во времени, это простое гармоническое движение ; как вращение , это соответствует равномерному круговому движению . Синусоидальные волны часто встречаются в физике , включая ветровые волны , звуковые волны и световые волны, такие как монохроматическое излучение . В технике , обработке сигналов и математике анализ Фурье разлагает общие функции на сумму синусоидальных волн различных частот, относительных фаз и величин.

Когда любые две синусоидальные волны одинаковой частоты (но произвольной фазы ) линейно объединяются , результатом является другая синусоидальная волна той же частоты; это свойство уникально среди периодических волн. И наоборот, если некоторая фаза выбрана в качестве нулевой отсчетной, синусоидальная волна произвольной фазы может быть записана как линейная комбинация двух синусоидальных волн с фазами ноль и четверть цикла, синусоидальной и косинусоидальной компонент , соответственно.

Пример аудио

Пять секунд синусоиды 220 Гц. Это звуковая волна, описываемая синусоидальной функцией с f = 220 колебаний в секунду.

Проблемы с воспроизведением этого файла? Смотрите справку по медиа .

Синусоидальная волна представляет собой одну частоту без гармоник и считается акустически чистым тоном . Добавление синусоидальных волн разных частот приводит к разной форме волны. Наличие более высоких гармоник в дополнение к основной вызывает изменение тембра , что является причиной того, что один и тот же музыкальный тон, сыгранный на разных инструментах, звучит по-разному.

Синусоидальная форма

Синусоиды произвольной фазы и амплитуды называются синусоидами и имеют общий вид: ^[1] где: $y(t)=A\sin(\omega t+\varphi)=A\sin(2\pi ft+\varphi)$

$А$ , амплитуда , пиковое отклонение функции от нуля.
$т$ , действительная независимая переменная , обычно представляющая время в секундах .
$\омега$ , угловая частота , скорость изменения аргумента функции в радианах в секунду .
$f$ , обычная частота , число колебаний ( циклов ), которые происходят каждую секунду времени.
$\varphi$ , фаза , указывает (в радианах ), где в своем цикле колебание находится при t = 0.
- Когда не равно нулю, вся форма волны кажется смещенной назад во времени на количество секунд. Отрицательное значение представляет задержку, а положительное значение представляет продвижение вперед. $\varphi$ ${\tfrac {\varphi }{\omega }}$
- Добавление или вычитание (одного цикла) к фазе приводит к получению эквивалентной волны. $2\пи$

Как функция как положения, так и времени

Смещение незатухающей пружинно-массовой системы , колеблющейся около положения равновесия с течением времени, представляет собой синусоидальную волну.

Синусоиды, которые существуют как по положению, так и по времени, также имеют:

пространственная переменная , представляющая положение в измерении, в котором распространяется волна. $x$
волновое число (или угловое волновое число) , которое представляет собой пропорциональность между угловой частотой и линейной скоростью ( скоростью распространения ) : $к$ $\омега$ $v$
- волновое число связано с угловой частотой соотношением, где ( лямбда ) — длина волны . ${\textstyle k{=}{\frac {\omega }{v}}{=}{\frac {2\pi f}{v}}{=}{\frac {2\pi }{\lambda }} }$ $\лямбда$

В зависимости от направления движения они могут принимать форму:

$y(x,t)=A\sin(kx-\omega t+\varphi )$ , если волна движется вправо, или
$y(x,t)=A\sin(kx+\omega t+\varphi )$ , если волна движется влево.

Поскольку синусоидальные волны распространяются без изменения формы в распределенных линейных системах , ^{[ необходимо определение ]} их часто используют для анализа распространения волн .

Стоячие волны

Когда две волны с одинаковой амплитудой и частотой, распространяющиеся в противоположных направлениях, накладываются друг на друга, создается картина стоячей волны .

На щипковой струне накладывающиеся волны — это волны, отраженные от фиксированных концов струны. Резонансные частоты струны — это единственные возможные стоячие волны струны, которые возникают только для длин волн, которые в два раза больше длины струны (соответствуют основной частоте ) и целочисленных делений ее (соответствуют высшим гармоникам).

Множественные пространственные измерения

Предыдущее уравнение дает смещение волны в позиции во времени вдоль одной линии. Это можно, например, считать значением волны вдоль провода. $y$ $x$ $t$

В двух или трех пространственных измерениях одно и то же уравнение описывает бегущую плоскую волну , если положение и волновое число интерпретируются как векторы, а их произведение — как скалярное произведение . Для более сложных волн, таких как высота волны в пруду после того, как туда бросили камень, нужны более сложные уравнения. $x$ $k$

Синусоидальная плоская волна

В физике синусоидальная плоская волна является частным случаем плоской волны : поле , значение которого изменяется как синусоидальная функция времени и расстояния от некоторой фиксированной плоскости. Она также называется монохроматической плоской волной с постоянной частотой (как в монохроматическом излучении ).

анализ Фурье

Французский математик Жозеф Фурье открыл, что синусоидальные волны можно суммировать как простые строительные блоки для аппроксимации любой периодической формы волны, включая прямоугольные волны . Эти ряды Фурье часто используются в обработке сигналов и статистическом анализе временных рядов . Затем преобразование Фурье расширило ряды Фурье для обработки общих функций и породило область анализа Фурье .

Дифференциация и интеграция

Дифференциация

Дифференцирование любой синусоиды по времени можно рассматривать как умножение ее амплитуды на ее угловую частоту и продвижение ее вперед на четверть цикла:

${\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}[A\sin(\omega t+\varphi )]&=A\omega \cos(\omega t+\varphi )\\&=A\omega \sin(\omega t+\varphi +{\tfrac {\pi }{2}})\,.\end{aligned}}$

Дифференциатор имеет ноль в начале комплексной частотной плоскости. Коэффициент усиления его частотной характеристики увеличивается со скоростью +20 дБ на декаду частоты (для величин корня мощности ), тот же положительный наклон, что и полоса заграждения фильтра верхних частот 1 ^-го порядка , хотя дифференциатор не имеет частоты среза или плоской полосы пропускания . Фильтр верхних частот 2- ^го порядка приблизительно применяет производную по времени 2 ^{-го порядка}сигналов, полоса частот которых значительно ниже частоты среза фильтра.

Интеграция

Интегрирование любой синусоиды по времени можно рассматривать как деление ее амплитуды на ее угловую частоту и задержку ее на четверть цикла:

${\begin{aligned}\int A\sin(\omega t+\varphi )dt&=-{\frac {A}{\omega }}\cos(\omega t+\varphi )+C\\&=-{\frac {A}{\omega }}\sin(\omega t+\varphi +{\tfrac {\pi }{2}})+C\\&={\frac {A}{\omega }}\sin(\omega t+\varphi -{\tfrac {\pi }{2}})+C\,.\end{aligned}}$

Константа интегрирования будет равна нулю, если пределы интегрирования являются целым кратным периода синусоиды. $C$

Интегратор имеет полюс в начале комплексной частотной плоскости. Коэффициент усиления его частотной характеристики падает со скоростью -20 дБ на декаду частоты (для величин корня мощности), такой же отрицательный наклон, как и полоса заграждения фильтра нижних частот 1 - го ^{порядка} , хотя интегратор не имеет частоты среза или плоской полосы пропускания. Фильтр нижних частот n - ^го порядка приблизительно выполняет n- ^й временной интеграл сигналов, полоса частот которых значительно выше частоты среза фильтра.

Смотрите также

Ссылки

^ Смит, Юлий Орион. "Синусоиды". ccrma.stanford.edu . Получено 05.01.2024 .

Внешние ссылки

"Синусоида". Математические тайны . 2021-11-17 . Получено 2022-09-30 .