Свободная частица

Particle that is not bound by an external force

В физике свободная частица — это частица, которая в некотором смысле не связана внешней силой или, что то же самое, не находится в области изменения ее потенциальной энергии. В классической физике это означает, что частица находится в «свободном от поля» пространстве. В квантовой механике это означает, что частица находится в области однородного потенциала, который обычно равен нулю в интересующей области, поскольку потенциал может быть произвольно установлен равным нулю в любой точке пространства.

Классическая свободная частица

Классическая свободная частица характеризуется фиксированной скоростью v . Импульс задается _

$${\displaystyle \mathbf {p} =m\mathbf {v} }$$

кинетическая энергия

$${\displaystyle E={\frac {1}{2}}mv^{2}={\frac {p^{2}}{2m}}}$$

mv

Бесквантовая частица

Распространение волн де Бройля в 1d - действительная часть комплексной амплитуды выделена синим цветом, мнимая часть - зеленым. Вероятность (показанная как непрозрачность цвета ) обнаружения частицы в данной точке x распределена как форма волны, определенного положения частицы не существует. Когда амплитуда увеличивается выше нуля, кривизна уменьшается, поэтому снова уменьшается, и наоборот - в результате получается переменная амплитуда: волна. Вверху: Плоская волна . Внизу: волновой пакет .

Математическое описание

Свободная частица с массой в нерелятивистской квантовой механике описывается свободным уравнением Шрёдингера : ${\displaystyle m}$

$${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\ \psi (\mathbf {r} ,t)=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi (\mathbf {r} ,t)}$$

где ψ — волновая функция частицы в положении r и времени t . Решение для частицы с импульсом p или волновым вектором k на угловой частоте ω или энергии E дается сложной плоской волной :

$${\displaystyle \psi (\mathbf {r} ,t)=Ae^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)}=Ae^{i(\mathbf {p} \cdot \mathbf {r} -Et)/\hbar }}$$

с амплитудой A и имеет два разных правила в зависимости от его массы:

1. если частица имеет массу : (или эквивалентную ). ${\displaystyle m}$ ${\textstyle \omega ={\frac {\hbar k^{2}}{2m}}}$ ${\textstyle E={\frac {p^{2}}{2m}}}$
2. если частица является безмассовой частицей: . ${\displaystyle \omega =kc}$

Спектр собственных значений бесконечно вырожден, поскольку каждому собственному значению E >0 соответствует бесконечное число собственных функций, соответствующих различным направлениям . ${\displaystyle \mathbf {p} }$

Соотношения Де Бройля : , применяются. Поскольку потенциальная энергия равна (как утверждается) нулю, полная энергия E равна кинетической энергии, которая имеет ту же форму, что и в классической физике: ${\displaystyle \mathbf {p} =\hbar \mathbf {k} }$ ${\displaystyle E=\hbar \omega }$

$${\displaystyle E=T\,\rightarrow \,{\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}=\hbar \omega }$$

Что касается всех квантовых частиц, свободных или связанных, применяются принципы неопределенности Гейзенберга . Понятно, что поскольку плоская волна имеет определенный импульс (определенную энергию), вероятность обнаружения местоположения частицы едина и пренебрежимо мала во всем пространстве. Другими словами, волновая функция не нормируема в евклидовом пространстве, эти стационарные состояния не могут соответствовать физически реализуемым состояниям . ^[1] ${\textstyle \Delta p_{x}\Delta x\geq {\frac {\hbar }{2}}}$

Измерения и расчеты

Интеграл от функции плотности вероятности

$${\displaystyle \rho (\mathbf {r} ,t)=\psi ^{*}(\mathbf {r} ,t)\psi (\mathbf {r} ,t)=|\psi (\mathbf {r} ,t)|^{2}}$$

где * обозначает комплексно-сопряженное число , по всему пространству — это вероятность найти частицу во всем пространстве, которая должна быть равна единице, если частица существует:

$${\displaystyle \int _{\mathrm {all\,space} }|\psi (\mathbf {r} ,t)|^{2}d^{3}\mathbf {r} =1}$$

Это условие нормировки волновой функции. Волновая функция не нормируема для плоской волны, но нормируется для волнового пакета .

Интерпретация волновой функции для одной частицы со спином 0 в одном измерении. Показанные волновые функции являются непрерывными, конечными, однозначными и нормированными. Непрозрачность цвета (%) частиц соответствует плотности вероятности (которая может измеряться в %) обнаружения частицы в точках на оси x.

Разложение Фурье

Волновая функция свободной частицы может быть представлена ​​суперпозицией собственных функций импульса с коэффициентами, заданными преобразованием Фурье исходной волновой функции: ^[2]

$${\displaystyle \psi (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{({\sqrt {2\pi }})^{3}}}\int _{\mathrm {all\,\mathbf {k} \,space} }{\hat {\psi }}_{0}(\mathbf {k} )e^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)}d^{3}\mathbf {k} }$$

где интеграл ведется по всему k -пространству и (чтобы гарантировать, что волновой пакет является решением уравнения Шредингера для свободных частиц). Здесь — значение волновой функции в момент времени 0, а — преобразование Фурье . (Преобразование Фурье, по сути, представляет собой волновую функцию импульса волновой функции положения , но записанную как функцию от .) ${\textstyle \omega =\omega (\mathbf {k} )={\frac {\hbar \mathbf {k} ^{2}}{2m}}}$ ${\displaystyle \psi _{0}}$ ${\displaystyle {\hat {\psi }}_{0}}$ ${\displaystyle \psi _{0}}$ ${\displaystyle {\hat {\psi }}_{0}(\mathbf {k} )}$ ${\displaystyle \psi _{0}(\mathbf {r} )}$ ${\displaystyle \mathbf {k} }$ ${\displaystyle \mathbf {p} =\hbar \mathbf {k} }$

Среднее значение импульса p для комплексной плоской волны равно

$${\displaystyle \langle \mathbf {p} \rangle =\left\langle \psi \left|-i\hbar \nabla \right|\psi \right\rangle =\hbar \mathbf {k} ,}$$

а для общего волнового пакета это

$${\displaystyle \langle \mathbf {p} \rangle =\int _{\mathrm {all\,space} }\psi ^{*}(\mathbf {r} ,t)(-i\hbar \nabla )\psi (\mathbf {r} ,t)d^{3}\mathbf {r} =\int _{\mathrm {all\,{\textbf {k}}\,space} }\hbar \mathbf {k} |{\hat {\psi }}_{0}(\mathbf {k} )|^{2}d^{3}\mathbf {k} .}$$

Ожидаемое значение энергии E равно

$${\displaystyle \langle E\rangle =\left\langle \psi \left|-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\right|\psi \right\rangle =\int _{\text{all space}}\psi ^{*}(\mathbf {r} ,t)\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\right)\psi (\mathbf {r} ,t)d^{3}\mathbf {r} .}$$

Групповая скорость и фазовая скорость

Распространение волнового пакета с движением одного пика, заштрихованного фиолетовым цветом. Пики движутся с фазовой скоростью, тогда как весь пакет движется с групповой скоростью.

Фазовая скорость определяется как скорость, с которой распространяется решение в виде плоской волны, а именно:

$${\displaystyle v_{p}={\frac {\omega }{k}}={\frac {\hbar k}{2m}}={\frac {p}{2m}}.}$$

Обратите внимание, что это не скорость классической частицы с импульсом ; скорее, это половина классической скорости. ${\displaystyle {\frac {p}{2m}}}$ ${\displaystyle p}$

При этом предположим, что исходная волновая функция представляет собой волновой пакет , преобразование Фурье которого сосредоточено вблизи определенного волнового вектора . Тогда групповая скорость плоской волны определяется как ${\displaystyle \psi _{0}}$ ${\displaystyle {\hat {\psi }}_{0}}$ ${\displaystyle \mathbf {k} }$

$${\displaystyle v_{g}=\nabla \omega (\mathbf {k} )={\frac {\hbar \mathbf {k} }{m}}={\frac {\mathbf {p} }{m}},}$$

что согласуется с формулой для классической скорости частицы. Групповая скорость — это (приблизительная) скорость, с которой распространяется весь волновой пакет, а фазовая скорость — это скорость, с которой движутся отдельные пики волнового пакета. ^[3] На рисунке показано это явление: отдельные пики внутри волнового пакета распространяются со скоростью вдвое меньшей скорости всего пакета.

Распространение волнового пакета

Понятие групповой скорости основано на линейной аппроксимации дисперсионного уравнения вблизи определенного значения . ^[4] В этом приближении амплитуда волнового пакета движется со скоростью, равной групповой скорости, не меняя формы . Этот результат является приближением, которое не отражает некоторые интересные аспекты эволюции свободной квантовой частицы. Примечательно, что ширина волнового пакета, измеряемая неопределенностью положения, растет линейно во времени в течение больших времен. Это явление называется расплыванием волнового пакета свободной частицы. ${\displaystyle \omega (k)}$ ${\displaystyle k}$

В частности, нетрудно вычислить точную формулу неопределенности как функции времени, где – оператор положения. Для простоты работая в одном пространственном измерении, мы имеем: ^[5] ${\displaystyle \Delta _{\psi (t)}X}$ ${\displaystyle X}$

$${\displaystyle (\Delta _{\psi (t)}X)^{2}={\frac {t^{2}}{m^{2}}}(\Delta _{\psi _{0}}P)^{2}+{\frac {2t}{m}}\left(\left\langle {\tfrac {1}{2}}({XP+PX})\right\rangle _{\psi _{0}}-\left\langle X\right\rangle _{\psi _{0}}\left\langle P\right\rangle _{\psi _{0}}\right)+(\Delta _{\psi _{0}}X)^{2},}$$

${\displaystyle \psi _{0}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle P}$

Таким образом, при больших положительных временах неопределенность растет линейно с коэффициентом, равным . Если импульс исходной волновой функции сильно локализован, волновой пакет будет распространяться медленно и приближение групповой скорости останется хорошим в течение длительного времени. Интуитивно этот результат говорит о том, что если исходная волновая функция имеет очень четко определенный импульс, то частица имеет четко определенную скорость и будет (в хорошем приближении) распространяться с этой скоростью в течение длительного времени. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle (\Delta _{\psi _{0}}P)/m}$ ${\displaystyle \psi _{0}}$

Релятивистская квантовая свободная частица

Существует ряд уравнений, описывающих релятивистские частицы: см. релятивистские волновые уравнения .

Смотрите также

• Волновой пакет
• Групповая скорость
• Частица в коробке
• Конечный квадратный колодец
• Дельта-потенциал

Рекомендации

• Квантовая механика , Э. Аберс, Эд Пирсона, Аддисон Уэсли, Prentice Hall Inc, 2004, ISBN  978-0-13-146100-0
• Квантовая физика атомов, молекул, твердых тел, ядер и частиц (2-е издание) , Р. Эйсберг, Р. Резник, John Wiley & Sons, 1985, ISBN 978-0-471-87373-0 
• Стационарные состояния , А. Холден, Монографии колледжа по физике (США), Oxford University Press, 1971, ISBN 0-19-851121-3 
• Холл, Брайан К. (2013), Квантовая теория для математиков , Тексты для выпускников по математике, том. 267, Спрингер, ISBN 978-1461471158
• Квантовая механика демистифицирована , Д. МакМахон, Мак Гроу Хилл (США), 2006, ISBN 0-07-145546 9 
• Элементарная квантовая механика , Н. Ф. Мотт, Wykeham Science, Wykeham Press (Taylor & Francisco Group), 1972, ISBN 0-85109-270-5 
• Квантовая механика , Э. Заарур, Ю. Пелег, Р. Пнини, Очерки Шаума, Mc Graw Hill (США), 1998, ISBN 007-0540187 . 

Специфический

1. «Лекция 9» (PDF) .
2. Зал 2013 г., раздел 4.1.
3. Зал 2013 г., разделы 4.3 и 4.4.
4. Холл, 2013 г., уравнение 4.24.
5. Зал 2013 г. Предложение 4.10

дальнейшее чтение

• Новая квантовая вселенная , Т.Хей, П.Уолтерс, Cambridge University Press, 2009, ISBN 978-0-521-56457-1 . 
• Квантовая теория поля , Д. МакМахон, Мак Гроу Хилл (США), 2008, ISBN 978-0-07-154382-8 
• Квантовая механика , Э. Заарур, Ю. Пелег, Р. Пнини, Ускоренный курс Easy Outlines Шаума, Mc Graw Hill (США), 2006, ISBN 978-007-145533-6