Экспоненциальный распад

Уменьшение стоимости со скоростью, пропорциональной текущей стоимости

Величина, подвергающаяся экспоненциальному распаду. Большие константы распада заставляют величину исчезать гораздо быстрее. Этот график показывает распад для константы распада ( λ ) 25, 5, 1, 1/5 и 1/25 для x от 0 до 5.

Количество подвержено экспоненциальному распаду , если оно уменьшается со скоростью, пропорциональной его текущему значению. Символически этот процесс можно выразить следующим дифференциальным уравнением , где N — количество, а λ ( лямбда ) — положительная скорость, называемая константой экспоненциального распада , константой распада , ^[1] константой скорости , ^[2] или константой превращения : ^[3]

${\displaystyle {\frac {dN(t)}{dt}}=-\lambda N(t).}$

Решение этого уравнения (см. вывод ниже):

${\displaystyle N(t)=N_{0}e^{-\lambda t},}$

где N ( t ) — величина в момент времени t , N ₀ = N (0) — начальная величина, то есть величина в момент времени t = 0 .

Измерение скорости распада

Средняя продолжительность жизни

Если распадающееся количество, N ( t ), является числом дискретных элементов в определенном наборе , можно вычислить среднюю продолжительность времени, в течение которого элемент остается в наборе. Это называется средним временем жизни (или просто временем жизни ), где экспоненциальная постоянная времени , , связана с константой скорости распада, λ, следующим образом: ${\displaystyle \tau }$

${\displaystyle \tau ={\frac {1}{\lambda }}.}$

Среднее время жизни можно рассматривать как «масштабное время», поскольку уравнение экспоненциального распада можно записать в терминах среднего времени жизни, вместо константы распада, λ: ${\displaystyle \tau }$

${\displaystyle N(t)=N_{0}e^{-t/\tau },}$

и это время, в которое популяция сборки уменьшается до 1 ⁄ e ≈ 0,367879441 от ее первоначального значения. Это эквивалентно ≈ 1,442695 периодам полураспада. ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \log _{2}{e}}$

Например, если начальная численность населения собрания N (0) составляет 1000 человек, то численность населения в момент времени составит 368 человек. ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle N(\tau )}$

Очень похожее уравнение будет показано ниже, когда основание экспоненты выбрано равным 2, а не e . В этом случае время масштабирования — это «период полураспада».

Период полураспада

Более интуитивной характеристикой экспоненциального распада для многих людей является время, необходимое для того, чтобы распадающееся количество упало до половины своего начального значения. (Если N ( t ) дискретно, то это медианное время жизни, а не среднее время жизни.) Это время называется периодом полураспада и часто обозначается символом t _1/2 . Период полураспада можно записать в терминах константы распада или среднего времени жизни, как:

${\displaystyle t_{1/2}={\frac {\ln(2)}{\lambda }}=\tau \ln(2).}$

Если это выражение подставить в показательное уравнение выше и ln 2 включить в основание, то это уравнение примет вид: ${\displaystyle \tau }$

${\displaystyle N(t)=N_{0}2^{-t/t_{1/2}}.}$

Таким образом, количество оставшегося материала составляет 2 ⁻¹  = 1/2, возведенное в (целое или дробное) число прошедших периодов полураспада. Таким образом, после 3 периодов полураспада останется 1/2 ³  = 1/8 исходного материала.

Таким образом, среднее время жизни равно периоду полураспада, деленному на натуральный логарифм числа 2, или: ${\displaystyle \tau }$

${\displaystyle \tau ={\frac {t_{1/2}}{\ln(2)}}\approx 1.4427\cdot t_{1/2}.}$

Например, период полураспада полония-210 составляет 138 дней, а средняя продолжительность жизни — 200 дней.

Решение дифференциального уравнения

Уравнение, описывающее экспоненциальный распад, имеет вид

${\displaystyle {\frac {dN(t)}{dt}}=-\lambda N(t)}$

или, путем перестановки (применяя технику, называемую разделением переменных ),

${\displaystyle {\frac {dN(t)}{N(t)}}=-\lambda dt.}$

Интегрируя, имеем

${\displaystyle \ln N=-\lambda t+C\,}$

где C — константа интегрирования , и, следовательно,

${\displaystyle N(t)=e^{C}e^{-\lambda t}=N_{0}e^{-\lambda t}\,}$

где окончательная подстановка, N ₀ = e ^C , получается путем оценки уравнения при t = 0, поскольку N ₀ определяется как величина при t = 0.

Это форма уравнения, которая чаще всего используется для описания экспоненциального распада. Любая константа распада, среднее время жизни или период полураспада достаточна для характеристики распада. Обозначение λ для константы распада является остатком обычного обозначения для собственного значения . В этом случае λ является собственным значением отрицательного дифференциального оператора с N ( t ) в качестве соответствующей собственной функции . Единицами константы распада являются с ^{−1 [ необходима цитата ]} .

Вывод средней продолжительности жизни

При наличии сборки элементов, число которых в конечном итоге уменьшается до нуля, среднее время жизни , , (также называемое просто временем жизни ) является ожидаемым значением количества времени до того, как объект будет удален из сборки. В частности, если индивидуальное время жизни элемента сборки является временем, прошедшим между некоторым опорным моментом времени и удалением этого элемента из сборки, среднее время жизни является арифметическим средним индивидуальных времен жизни. ${\displaystyle \tau }$

Исходя из формулы численности населения

${\displaystyle N=N_{0}e^{-\lambda t},\,}$

Сначала пусть c будет нормализующим множителем для преобразования в функцию плотности вероятности :

${\displaystyle 1=\int _{0}^{\infty }c\cdot N_{0}e^{-\lambda t}\,dt=c\cdot {\frac {N_{0}}{\lambda }}}$

или, при перестановке,

${\displaystyle c={\frac {\lambda }{N_{0}}}.}$

Экспоненциальный распад — это скалярное множитель экспоненциального распределения (т.е. индивидуальное время жизни каждого объекта распределено экспоненциально), которое имеет хорошо известное ожидаемое значение . Мы можем вычислить его здесь, используя интегрирование по частям .

${\displaystyle \tau =\langle t\rangle =\int _{0}^{\infty }t\cdot c\cdot N_{0}e^{-\lambda t}\,dt=\int _{0}^{\infty }\lambda te^{-\lambda t}\,dt={\frac {1}{\lambda }}.}$

Распад двумя или более процессами

Количество может распадаться посредством двух или более различных процессов одновременно. В общем, эти процессы (часто называемые «режимами распада», «каналами распада», «маршрутами распада» и т. д.) имеют разные вероятности возникновения и, таким образом, происходят с разной скоростью с разными периодами полураспада, параллельно. Общая скорость распада количества  N определяется суммой путей распада; таким образом, в случае двух процессов:

${\displaystyle -{\frac {dN(t)}{dt}}=N\lambda _{1}+N\lambda _{2}=(\lambda _{1}+\lambda _{2})N.}$

Решение этого уравнения приведено в предыдущем разделе, где сумма рассматривается как новая полная константа распада . ${\displaystyle \lambda _{1}+\lambda _{2}\,}$ ${\displaystyle \lambda _{c}}$

${\displaystyle N(t)=N_{0}e^{-(\lambda _{1}+\lambda _{2})t}=N_{0}e^{-(\lambda _{c})t}.}$

Парциальное среднее время жизни, связанное с отдельными процессами, по определению является мультипликативной обратной величиной соответствующей константы частичного распада: . Объединенное значение может быть выражено в терминах s: ${\displaystyle \tau =1/\lambda }$ ${\displaystyle \tau _{c}}$ ${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle {\frac {1}{\tau _{c}}}=\lambda _{c}=\lambda _{1}+\lambda _{2}={\frac {1}{\tau _{1}}}+{\frac {1}{\tau _{2}}}}$

${\displaystyle \tau _{c}={\frac {\tau _{1}\tau _{2}}{\tau _{1}+\tau _{2}}}.}$

Поскольку периоды полураспада отличаются от среднего срока службы на постоянный множитель, то же самое уравнение справедливо в отношении двух соответствующих периодов полураспада: ${\displaystyle \tau }$

${\displaystyle T_{1/2}={\frac {t_{1}t_{2}}{t_{1}+t_{2}}}}$

где — объединенный или полный период полураспада для процесса, а — так называемые частичные периоды полураспада соответствующих процессов. Термины «частичный период полураспада» и «частичный средний период полураспада» обозначают величины, полученные из константы распада, как если бы данный режим распада был единственным режимом распада для величины. Термин «частичный период полураспада» вводит в заблуждение, поскольку его нельзя измерить как временной интервал, за который определенное количество делится пополам . ${\displaystyle T_{1/2}}$ ${\displaystyle t_{1}}$ ${\displaystyle t_{2}}$

С точки зрения отдельных констант распада можно показать , что общий период полураспада составляет ${\displaystyle T_{1/2}}$

${\displaystyle T_{1/2}={\frac {\ln 2}{\lambda _{c}}}={\frac {\ln 2}{\lambda _{1}+\lambda _{2}}}.}$

Для распада посредством трех одновременных экспоненциальных процессов общий период полураспада можно рассчитать, как указано выше:

${\displaystyle T_{1/2}={\frac {\ln 2}{\lambda _{c}}}={\frac {\ln 2}{\lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3}}}={\frac {t_{1}t_{2}t_{3}}{(t_{1}t_{2})+(t_{1}t_{3})+(t_{2}t_{3})}}.}$

Распад серии / связанный распад

В ядерной науке и фармакокинетике интересующий агент может находиться в цепочке распада, где накопление регулируется экспоненциальным распадом исходного агента, в то время как сам интересующий агент распадается посредством экспоненциального процесса.

Эти системы решаются с использованием уравнения Бейтмена .

В фармакологической практике некоторые принимаемые внутрь вещества могут всасываться в организм посредством процесса, который можно обоснованно смоделировать как экспоненциальный распад, или могут быть намеренно сформулированы так , чтобы иметь такой профиль высвобождения.

Приложения и примеры

Экспоненциальный распад происходит в самых разных ситуациях. Большинство из них относятся к области естественных наук .

Многие процессы распада, которые часто рассматриваются как экспоненциальные, на самом деле являются экспоненциальными только до тех пор, пока выборка большая и выполняется закон больших чисел . Для небольших выборок необходим более общий анализ, учитывающий процесс Пуассона .

Естественные науки

• Химические реакции : Скоростинекоторых типов химических реакций зависят от концентрации того или иного реагента . Реакции, скорость которых зависит только от концентрации одного реагента (известные как реакции первого порядка ), следовательно, следуют экспоненциальному спаду. Например, многие, катализируемые ферментами, ведут себя таким образом.
• Электростатика : Электрический заряд (или, что то же самое, потенциал ), содержащийся в конденсаторе (емкость C ), разряжается с экспоненциальным затуханием (когда конденсатор испытывает постоянную внешнюю нагрузку с сопротивлением R ) и аналогично заряжается с зеркальным отражением экспоненциального затухания (когда конденсатор заряжается от источника постоянного напряжения через постоянное сопротивление). Экспоненциальная постоянная времени для процесса равнапоэтому период полураспада равенТе же уравнения можно применить к двойственному току в катушке индуктивности. ${\displaystyle \tau =R\,C,}$ ${\displaystyle R\,C\,\ln(2).}$
  • Более того, частный случай конденсатора или индуктора, изменяющегося через несколько параллельных резисторов, представляет собой интересный пример множественных процессов распада, где каждый резистор представляет отдельный процесс. Фактически, выражение для эквивалентного сопротивления двух параллельных резисторов отражает уравнение для периода полураспада с двумя процессами распада.
• Геофизика : Атмосферное давление уменьшается примерно экспоненциально с увеличением высоты над уровнем моря, со скоростью около 12% на 1000 м. ^{[ необходима цитата ]}
• Теплопередача : Если объект при одной температуре подвергается воздействию среды с другой температурой, разница температур между объектом и средой следует экспоненциальному затуханию (в пределе медленных процессов; эквивалентно «хорошей» теплопроводности внутри объекта, так что его температура остается относительно однородной по всему объему). См. также закон охлаждения Ньютона .
• Люминесценция : После возбуждения интенсивность излучения, пропорциональная числу возбужденных атомов или молекул, люминесцентного материала затухает экспоненциально. В зависимости от числа задействованных механизмов затухание может быть моно- или мультиэкспоненциальным.
• Фармакология и токсикология : Установлено, что многие вводимые вещества распределяются и метаболизируются (см. клиренс ) в соответствии с экспоненциальными моделями распада. Биологические периоды полураспада «альфа-период полураспада» и «бета-период полураспада» вещества измеряют, насколько быстро вещество распределяется и выводится.
• Физическая оптика : Интенсивность электромагнитного излучения, такого как свет, рентгеновские лучи или гамма-лучи в поглощающей среде, следует экспоненциальному убыванию с расстоянием в поглощающую среду. Это известно как закон Бера-Ламберта .
• Радиоактивность : В образце радионуклида , который подвергается радиоактивному распаду в другое состояние, число атомов в исходном состоянии следует экспоненциальному распаду до тех пор, пока оставшееся число атомов велико. Продукт распада называется радиогенным нуклидом.
• Термоэлектричество : снижение сопротивления термистора с отрицательным температурным коэффициентом по мере повышения температуры.
• Вибрации : Некоторые вибрации могут затухать экспоненциально; эта характеристика часто встречается в затухающих механических осцилляторах и используется при создании огибающих ADSR в синтезаторах . Перезатухающая система просто вернется в состояние равновесия через экспоненциальный затухание.
• Пивная пена: Арнд Лейке из Мюнхенского университета Людвига-Максимилиана получил Шнобелевскую премию за демонстрацию того, что пивная пена подчиняется закону экспоненциального распада. ^[4]

Социальные науки

• Финансы : пенсионный фонд будет уменьшаться экспоненциально, будучи предметом дискретных сумм выплат, обычно ежемесячных, и входных данных, подлежащих непрерывной процентной ставке. Дифференциальное уравнение dA/dt = вход – выход может быть записано и решено, чтобы найти время, необходимое для достижения любой суммы A, остающейся в фонде.
• В простой глоттохронологии (спорное) предположение о постоянной скорости распада языков позволяет оценить возраст отдельных языков. (Для вычисления времени разделения между двумя языками требуются дополнительные предположения, независимые от экспоненциального распада).

Информатика

• Основной протокол маршрутизации в Интернете , BGP , должен поддерживать таблицу маршрутизации , чтобы запоминать пути, по которым может быть отклонен пакет . Когда один из этих путей неоднократно меняет свое состояние с доступного на недоступное (и наоборот ), маршрутизатор BGP , контролирующий этот путь, должен неоднократно добавлять и удалять запись пути из своей таблицы маршрутизации ( перемешивать путь), тем самым тратя локальные ресурсы, такие как ЦП и ОЗУ , и, что еще важнее, передавая бесполезную информацию одноранговым маршрутизаторам. Чтобы предотвратить это нежелательное поведение, алгоритм, называемый демпфированием перемешивания маршрута, назначает каждому маршруту вес, который увеличивается каждый раз, когда маршрут меняет свое состояние, и экспоненциально уменьшается со временем. Когда вес достигает определенного предела, перемешивание больше не выполняется, тем самым подавляя маршрут.

Графики, сравнивающие времена удвоения и периоды полураспада экспоненциального роста (жирные линии) и распада (слабые линии), а также их приближения 70/ t и 72/ t . В версии SVG наведите курсор на график, чтобы выделить его и его дополнение.

Смотрите также

• Экспоненциальная формула
• Экспоненциальный рост
• Радиоактивный распад для математики цепочек экспоненциальных процессов с различными константами

Примечания

1. Сервэй, Мозес и Мойер (1989, стр. 384)
2. Симмонс (1972, стр. 15)
3. Макгроу-Хилл (2007)
4. Leike, A. (2002). «Демонстрация закона экспоненциального распада с использованием пивной пены». European Journal of Physics . 23 (1): 21–26. Bibcode :2002EJPh...23...21L. CiteSeerX  10.1.1.693.5948 . doi :10.1088/0143-0807/23/1/304. S2CID  250873501.

Ссылки

• McGraw-Hill Encyclopedia of Science & Technology (10-е изд.). Нью-Йорк: McGraw-Hill . 2007. ISBN 978-0-07-144143-8.
• Serway, Raymond A.; Moses, Clement J.; Moyer, Curt A. (1989), Современная физика , Форт-Уэрт: Harcourt Brace Jovanovich , ISBN 0-03-004844-3
• Симмонс, Джордж Ф. (1972), Дифференциальные уравнения с приложениями и историческими примечаниями , Нью-Йорк: McGraw-Hill , LCCN  75173716

Внешние ссылки

• Калькулятор экспоненциального распада
• Стохастическое моделирование экспоненциального распада
• Учебник по постоянным времени