Скорость Найквиста

Минимальная частота дискретизации для избежания наложения спектров

Рис 1: Типичный пример частоты и скорости Найквиста. Они редко бывают равны, поскольку это потребовало бы передискретизации в 2 раза (т.е. в 4 раза больше полосы пропускания).

В обработке сигналов частота Найквиста , названная в честь Гарри Найквиста , представляет собой значение, равное удвоенной максимальной частоте ( полосе пропускания ) данной функции или сигнала. Она имеет единицы выборок в единицу времени, традиционно выражаемые как выборки в секунду, или герцы (Гц). ^[1] Когда сигнал дискретизируется с более высокой частотой выборки (см. § Критическая частота ), результирующая дискретно-временная последовательность считается свободной от искажений, известных как наложение спектров . И наоборот, для данной частоты выборки соответствующая частота Найквиста составляет половину частоты выборки. Обратите внимание, что частота Найквиста является свойством непрерывного во времени сигнала , тогда как частота Найквиста является свойством дискретно-временной системы.

Термин «скорость Найквиста» также используется в другом контексте с единицами символов в секунду, что на самом деле является областью, в которой работал Гарри Найквист. В этом контексте это верхняя граница для скорости передачи символов в канале базовой полосы с ограниченной полосой пропускания, таком как телеграфная линия ^[2], или канале с полосой пропускания , таком как ограниченная полоса радиочастот или канал с частотным разделением каналов .

Относительно выборки

Рис. 2: Преобразование Фурье функции с ограниченной полосой пропускания (амплитуда в зависимости от частоты)

Когда непрерывная функция, дискретизируется с постоянной скоростью, выборок/секунду , всегда существует неограниченное количество других непрерывных функций, которые соответствуют тому же набору выборок. Но только одна из них имеет ограниченную полосу пропускания циклами /секунду ( герц ), ^[A] , что означает, что ее преобразование Фурье , для всех   Математические алгоритмы, которые обычно используются для воссоздания непрерывной функции из выборок, создают произвольно хорошие приближения к этой теоретической, но бесконечно длинной функции. Из этого следует, что если исходная функция имеет ограниченную полосу пропускания , которая называется критерием Найквиста , то это единственная уникальная функция, которую аппроксимируют алгоритмы интерполяции. С точки зрения собственной полосы пропускания функции , как показано здесь, критерий Найквиста часто формулируется как   И называется скоростью Найквиста для функций с полосой пропускания Когда критерий Найквиста не выполняется , скажем, возникает условие, называемое наложением спектров , что приводит к некоторым неизбежным различиям между и восстановленной функцией, которая имеет меньшую полосу пропускания. В большинстве случаев различия рассматриваются как искажение. ${\displaystyle x(t),}$ ${\displaystyle f_{s}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}f_{s}}$ ${\displaystyle X(f),}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle |f|\geq {\tfrac {1}{2}}f_{s}.}$ ${\displaystyle x(t),}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}f_{s},}$ ${\displaystyle (B),}$ ${\displaystyle f_{s}>2B.}$ ${\displaystyle 2B}$ ${\displaystyle B.}$ ${\displaystyle (}$ ${\displaystyle B>{\tfrac {1}{2}}f_{s}),}$ ${\displaystyle x(t)}$

Рис. 3: Верхние 2 графика изображают преобразования Фурье 2 различных функций, которые дают одинаковые результаты при дискретизации с определенной скоростью. Функция базовой полосы дискретизируется быстрее, чем ее скорость Найквиста, а функция полосы пропускания дискретизируется недостаточно, что фактически преобразует ее в базовую полосу. Нижние графики показывают, как идентичные спектральные результаты создаются псевдонимами процесса дискретизации.

Преднамеренное наложение имен

На рисунке 3 изображен тип функции, называемой полосой пропускания или lowpass , потому что ее диапазон положительных частот значительной энергии равен [0,  B ). Когда вместо этого диапазон частот равен ( A ,  A + B ), для некоторого A  >  B , он называется полосовым , и общее желание (по разным причинам) состоит в том, чтобы преобразовать его в полосу пропускания. Одним из способов сделать это является частотное смешивание ( гетеродинирование ) функции полосы пропускания до диапазона частот (0,  B ). Одной из возможных причин является уменьшение частоты Найквиста для более эффективного хранения. И оказывается, что можно напрямую достичь того же результата, дискретизируя функцию полосы пропускания с частотой дискретизации ниже Найквиста, которая является наименьшим целым кратным частоты A , которая соответствует критерию Найквиста для полосы пропускания: f _s  > 2 B. Для более общего обсуждения см. выборку полосы пропускания .

Относительно сигнализации

Задолго до того, как имя Гарри Найквиста стало ассоциироваться с дискретизацией, термин «скорость Найквиста» использовался по-другому, со значением, близким к тому, что на самом деле изучал Найквист. Цитируя книгу Гарольда С. Блэка 1953 года «Теория модуляции», в разделе «Интервал Найквиста» вступительной главы «Историческая справка»:

«Если основной диапазон частот ограничен B циклами в секунду, то 2 B было дано Найквистом как максимальное количество элементов кода в секунду, которое может быть однозначно разрешено, предполагая, что пиковая интерференция составляет менее половины квантового шага. Эта скорость обычно называется сигнализацией со скоростью Найквиста , а 1/(2 B ) было названо интервалом Найквиста ». (жирный шрифт добавлен для акцента; курсив взят из оригинала)

Согласно Оксфордскому словарю английского языка , утверждение Блэка относительно 2 B может быть источником термина « ставка Найквиста» . ^[3]

Знаменитая работа Найквиста 1928 года была исследованием того, сколько импульсов (элементов кода) можно передать в секунду и восстановить через канал с ограниченной полосой пропускания. ^[4] Передача сигналов со скоростью Найквиста означала передачу как можно большего количества кодовых импульсов через телеграфный канал, насколько позволяла его полоса пропускания. Шеннон использовал подход Найквиста, когда доказал теорему о выборке в 1948 году, но Найквист не работал над выборкой как таковой.

В более поздней главе Блэка «Принцип выборки» Найквисту приписывается некоторая заслуга в некоторых важных математических расчетах:

«Найквист (1928) указал, что если функция существенно ограничена интервалом времени T , то для определения функции достаточно двух значений BT , основывая свои выводы на представлении функции в виде ряда Фурье на интервале времени T ».

Смотрите также

• Частота Найквиста
• Критерий Найквиста ISI
• Теорема выборки Найквиста-Шеннона
• Выборка (обработка сигнала)

Примечания

1. Фактор имеет единицы измерения циклы/выборка (см. Выборка и теорему выборки ). ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$

Ссылки

1. Оппенгейм, Алан В .; Шефер, Рональд В .; Бак, Джон Р. (1999). Дискретная обработка сигналов (2-е изд.). Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall. стр. 140. ISBN 0-13-754920-2. T — период дискретизации, а его обратная величина, f _s =1/T, — частота дискретизации в выборках в секунду.
2. Роджер Л. Фримен (2004). Инженерия телекоммуникационных систем. John Wiley & Sons. стр. 399. ISBN 0-471-45133-9.
3. Блэк, Х.С. , Теория модуляции , т. 65, 1953, цитируется в Оксфордском словаре английского языка
4. Найквист, Гарри. «Некоторые темы в теории телеграфной передачи», Trans. AIEE, т. 47, стр. 617–644, апрель 1928 г. Перепечатано как классическая статья в: Proc. IEEE, т. 90, № 2, февраль 2002 г.