Кривая плоскости четвертого порядка

Плоская алгебраическая кривая, определяемая полиномом 4-й степени

В алгебраической геометрии плоская кривая четвертой степени — это плоская алгебраическая кривая четвертой степени . Она может быть определена двумерным уравнением четвертой степени :

${\displaystyle Ax^{4}+By^{4}+Cx^{3}y+Dx^{2}y^{2}+Exy^{3}+Fx^{3}+Gy^{3}+Hx^{2}y+Ixy^{2}+Jx^{2}+Ky^{2}+Lxy+Mx+Ny+P=0,}$

с по крайней мере одной из A, B, C, D, E, не равной нулю. Это уравнение имеет 15 констант. Однако его можно умножить на любую ненулевую константу, не меняя кривую; таким образом, выбрав подходящую константу умножения, любой из коэффициентов можно установить равным 1, оставив только 14 констант. Следовательно, пространство кривых четвертой степени можно отождествить с действительным проективным пространством ⁠ ⁠ Из ${\displaystyle \mathbb {RP} ^{14}.}$теоремы Крамера об алгебраических кривых также следует, что существует ровно одна кривая четвертой степени, которая проходит через набор из 14 различных точек в общем положении , поскольку квартика имеет 14 степеней свободы .

Квартальная кривая может иметь максимум:

• Четыре связанных компонента
• Двадцать восемь бикасательных
• Три обычных двойных точки .

Можно также рассматривать кривые четвертой степени над другими полями (или даже кольцами ), например, над комплексными числами . Таким образом, можно получить римановы поверхности , которые являются одномерными объектами над ⁠ ⁠, ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$ но двумерны над ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ Примером является квартика Клейна . Кроме того, можно рассмотреть кривые в проективной плоскости , заданные однородными многочленами.

Примеры

Различные комбинации коэффициентов в приведенном выше уравнении приводят к появлению различных важных семейств кривых, перечисленных ниже.

• 
  Кривая амперсанда
• 
  кривая фасоли
• 
  Двустворчатая кривая
• 
  Изгиб дуги
• 
  Крестообразная кривая с параметрами (b,a): (1,1) — красный цвет; (2,2) — зеленый цвет; (3,3) — синий цвет.
• 
  Крестообразная кривая с параметрами (b,a): (1,1) — красный цвет; (2,1) — зеленый цвет; (3,1) — синий цвет.
• 
  Спиральная секция
• 
  Трехлистный клевер в декартовых координатах
• 
  Трехлистный клевер в полярных координатах

Кривая амперсанда

Амперсандная кривая — это кривая четвертой степени, заданная уравнением:

${\displaystyle \ (y^{2}-x^{2})(x-1)(2x-3)=4(x^{2}+y^{2}-2x)^{2}.}$

Он имеет нулевой род с тремя обычными двойными точками, все в действительной плоскости. ^[1]

кривая фасоли

Кривая Бина представляет собой кривую четвертой степени с уравнением:

${\displaystyle x^{4}+x^{2}y^{2}+y^{4}=x(x^{2}+y^{2}).\,}$

Кривая Бина имеет род ноль. Она имеет одну особенность в начале координат, обычную тройную точку. ^{[2] [3]}

Двустворчатая кривая

Двустворчатый корень представляет собой кривую четвертой степени с уравнением

${\displaystyle (x^{2}-a^{2})(x-a)^{2}+(y^{2}-a^{2})^{2}=0\,}$

где a определяет размер кривой. Двустворчатый зуб имеет только два выступа в качестве особенностей, и, следовательно, является кривой рода один. ^[4]

Изгиб дуги

Дуговая кривая представляет собой кривую четвертой степени с уравнением:

${\displaystyle x^{4}=x^{2}y-y^{3}.\,}$

Дугообразная кривая имеет единственную тройную точку при x = 0, y = 0 и, следовательно, является рациональной кривой с родом ноль. ^[5]

Крестообразная кривая

Крестообразная кривая , или поперечная кривая, представляет собой кривую четвертой степени, заданную уравнением

${\displaystyle x^{2}y^{2}-b^{2}x^{2}-a^{2}y^{2}=0\,}$

где a и b — два параметра , определяющие форму кривой. Крестообразная кривая связана стандартным квадратичным преобразованием x ↦ 1/ x , y ↦ 1/ y с эллипсом a ² x ² + b ² y ² = 1, и, следовательно, является рациональной плоской алгебраической кривой рода ноль. Крестообразная кривая имеет три двойные точки в вещественной проективной плоскости при x =0 и y =0, x =0 и z =0, и y =0 и z =0. ^[6]

Поскольку кривая рациональна, ее можно параметризовать рациональными функциями. Например, если a = 1 и b = 2, то

${\displaystyle x=-{\frac {t^{2}-2t+5}{t^{2}-2t-3}},\quad y={\frac {t^{2}-2t+5}{2t-2}}}$

параметризует точки на кривой за пределами исключительных случаев, когда знаменатель равен нулю.

Иллюстрация обратной теоремы Пифагора и обычной теоремы Пифагора

Обратная теорема Пифагора получается из приведенного выше уравнения путем замены x на AC , y на BC и каждой a и b на CD , где A , B — концы гипотенузы прямоугольного треугольника ABC , а D — основание перпендикуляра, опущенного из точки C , вершины прямого угла, на гипотенузу:

${\displaystyle {\begin{aligned}AC^{2}BC^{2}-CD^{2}AC^{2}-CD^{2}BC^{2}&=0\\AC^{2}BC^{2}&=CD^{2}BC^{2}+CD^{2}AC^{2}\\{\frac {1}{CD^{2}}}&={\frac {BC^{2}}{AC^{2}\cdot BC^{2}}}+{\frac {AC^{2}}{AC^{2}\cdot BC^{2}}}\\\therefore \;\;{\frac {1}{CD^{2}}}&={\frac {1}{AC^{2}}}+{\frac {1}{BC^{2}}}\end{aligned}}}$

Спиральная секция

Спирические сечения можно определить как бициркулярные четвертичные кривые, симметричные относительно осей x и y . Спиральные сечения входят в семейство торических сечений и включают семейство гиппопедов и семейство овалов Кассини . Название происходит от σπειρα, что на древнегреческом означает тор.

Декартово уравнение можно записать как

${\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{2}=dx^{2}+ey^{2}+f,}$

и уравнение в полярных координатах как

${\displaystyle r^{4}=dr^{2}\cos ^{2}\theta +er^{2}\sin ^{2}\theta +f.\,}$

Клевер трехлистный (trifolium)

Трехлистный клевер или трифолиум [ ^7] — это кривая четвертой степени

${\displaystyle x^{4}+2x^{2}y^{2}+y^{4}-x^{3}+3xy^{2}=0.\,}$

Решая относительно y , кривую можно описать следующей функцией:

${\displaystyle y=\pm {\sqrt {\frac {-2x^{2}-3x\pm {\sqrt {16x^{3}+9x^{2}}}}{2}}},}$

где два появления ± независимы друг от друга, что дает до четырех различных значений y для каждого x .

Параметрическое уравнение кривой имеет вид

${\displaystyle x=\cos(3t)\cos t,\quad y=\cos(3t)\sin t.\,}$^[8]

В полярных координатах ( x = r  cos φ, y = r  sin φ) уравнение имеет вид

${\displaystyle r=\cos(3\varphi ).\,}$

Это частный случай розы-кривой с k = 3. Эта кривая имеет тройную точку в начале координат (0, 0) и три двойные касательные.

Смотрите также

• Тернарный квартик
• Бикасательные квартики

Ссылки

1. Вайсштейн, Эрик В. «Кривая амперсанда». Математический мир .
2. Канди, Х. Мартин; Роллетт, А. П. (1961) [1952], Математические модели (2-е изд.), Clarendon Press, Оксфорд, стр. 72, ISBN 978-0-906212-20-2, МР  0124167
3. Вайсштейн, Эрик В. «Кривая Бина». MathWorld .
4. Вайсштейн, Эрик В. «Двустворчатая кривая». MathWorld .
5. Вайсштейн, Эрик В. «Боу». MathWorld .
6. Вайсштейн, Эрик В. «Крестообразная кривая». Математический мир .
7. Вайсштейн, Эрик В. «Трифолиум». Математический мир .
8. Гибсон, К. Г., Элементарная геометрия алгебраических кривых, введение для студентов , Cambridge University Press, Кембридж, 2001, ISBN 978-0-521-64641-3 . Страницы 12 и 78.