Четко определенное выражение

Выражение, определение которого дает ему уникальную интерпретацию.

В математике хорошо определенное выражение или однозначное выражение — это выражение , определение которого присваивает ему уникальную интерпретацию или значение. В противном случае выражение называется нехорошо определенным , плохо определенным или неоднозначным . ^[1] Функция хорошо определена, если она дает тот же результат при изменении представления входных данных без изменения значения входных данных. Например, если в качестве входных данных принимается действительное число, и если не равно, то не является хорошо определенным (и, следовательно, не является функцией). ^[2] Термин хорошо определен также может использоваться для указания того, что логическое выражение является однозначным или непротиворечивым. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(0.5)}$ ${\displaystyle f(1/2)}$ ${\displaystyle f}$

Функция, которая не определена должным образом, не то же самое, что функция, которая не определена . Например, если , то даже если не определено, это не означает, что функция не определена должным образом; скорее, 0 не находится в области . ${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x}}}$ ${\displaystyle f(0)}$ ${\displaystyle f}$

Пример

Пусть будут множествами, пусть и «определят» как если бы и если бы . ${\displaystyle A_{0},A_{1}}$ ${\displaystyle A=A_{0}\cup A_{1}}$ ${\displaystyle f:A\rightarrow \{0,1\}}$ ${\displaystyle f(a)=0}$ ${\displaystyle a\in A_{0}}$ ${\displaystyle f(a)=1}$ ${\displaystyle a\in A_{1}}$

Тогда хорошо определено, если . Например, если и , то будет хорошо определено и равно . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle A_{0}\cap A_{1}=\emptyset \!}$ ${\displaystyle A_{0}:=\{2,4\}}$ ${\displaystyle A_{1}:=\{3,5\}}$ ${\displaystyle f(a)}$ ${\displaystyle \operatorname {mod} (a,2)}$

Однако, если , то не будет хорошо определено, поскольку является "неоднозначным" для . Например, если и , то должно быть и 0, и 1, что делает его неоднозначным. В результате последнее не является хорошо определено и, следовательно, не является функцией. ${\displaystyle A_{0}\cap A_{1}\neq \emptyset }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(a)}$ ${\displaystyle a\in A_{0}\cap A_{1}}$ ${\displaystyle A_{0}:=\{2\}}$ ${\displaystyle A_{1}:=\{2\}}$ ${\displaystyle f(2)}$ ${\displaystyle f}$

«Определение» как предвосхищение определения

Чтобы избежать кавычек вокруг слова «define» в предыдущем простом примере, «определение» можно разбить на два логических шага: ${\displaystyle f}$

1. Определение бинарного отношения . В примере:

   ${\displaystyle f:={\bigl \{}(a,i)\mid i\in \{0,1\}\wedge a\in A_{i}{\bigr \}},}$

   (что пока является ничем иным, как определенным подмножеством декартова произведения .) ${\displaystyle A\times \{0,1\}}$
2. Утверждение . Бинарное отношение является функцией; в примере: ${\displaystyle f}$

   ${\displaystyle f:A\rightarrow \{0,1\}.}$

В то время как определение на шаге 1 сформулировано со свободой любого определения и, безусловно, эффективно (без необходимости классифицировать его как «хорошо определенное»), утверждение на шаге 2 должно быть доказано. То есть, является функцией тогда и только тогда, когда , в этом случае – как функция – хорошо определено. С другой стороны, если , то для , мы имели бы, что и , что делает бинарное отношение нефункциональным (как определено в Бинарное отношение#Специальные типы бинарных отношений ) и, таким образом, нехорошо определенным как функция. В разговорной речи «функция» также называется неоднозначной в точке (хотя per definitionem никогда не существует «неоднозначной функции»), а исходное «определение» бессмысленно. Несмотря на эти тонкие логические проблемы, довольно часто для «определений» такого рода используют термин определение (без апострофов) по трем причинам: ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle A_{0}\cap A_{1}=\emptyset }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle A_{0}\cap A_{1}\neq \emptyset }$ ${\displaystyle a\in A_{0}\cap A_{1}}$ ${\displaystyle (a,0)\in f}$ ${\displaystyle (a,1)\in f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a}$

1. Он обеспечивает удобную краткую запись двухэтапного подхода.
2. Соответствующее математическое обоснование (т.е. шаг 2) в обоих случаях одинаково.
3. В математических текстах утверждение верно «до 100%».

Независимость представителя

Вопросы относительно корректности определения функции часто возникают, когда определяющее уравнение функции ссылается не только на сами аргументы, но и на элементы аргументов, выступающие в качестве представителей . Это иногда неизбежно, когда аргументы являются смежными классами и когда уравнение ссылается на представителей смежных классов. Результат применения функции тогда не должен зависеть от выбора представителя.

Функции с одним аргументом

Например, рассмотрим следующую функцию:

${\displaystyle {\begin{matrix}f:&\mathbb {Z} /8\mathbb {Z} &\to &\mathbb {Z} /4\mathbb {Z} \\&{\overline {n}}_{8}&\mapsto &{\overline {n}}_{4},\end{matrix}}}$

где и — целые числа по модулю m , а обозначает класс конгруэнтности n mod m . ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} ,m\in \{4,8\}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /m\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle {\overline {n}}_{m}}$

Примечание: является ссылкой на элемент и является аргументом . ${\displaystyle {\overline {n}}_{4}}$ ${\displaystyle n\in {\overline {n}}_{8}}$ ${\displaystyle {\overline {n}}_{8}}$ ${\displaystyle f}$

Функция хорошо определена, потому что: ${\displaystyle f}$

${\displaystyle n\equiv n'{\bmod {8}}\;\Leftrightarrow \;8{\text{ divides }}(n-n')\Rightarrow \;4{\text{ divides }}(n-n')\;\Leftrightarrow \;n\equiv n'{\bmod {4}}.}$

В качестве контрпримера приведем обратное определение:

${\displaystyle {\begin{matrix}g:&\mathbb {Z} /4\mathbb {Z} &\to &\mathbb {Z} /8\mathbb {Z} \\&{\overline {n}}_{4}&\mapsto &{\overline {n}}_{8},\end{matrix}}}$

не приводит к четко определенной функции, так как , например, равно в , но первое будет отображено в , тогда как второе будет отображено в , а и не равны в . ${\displaystyle {\overline {1}}_{4}}$ ${\displaystyle {\overline {5}}_{4}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /4\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle {\overline {1}}_{8}}$ ${\displaystyle {\overline {5}}_{8}}$ ${\displaystyle {\overline {1}}_{8}}$ ${\displaystyle {\overline {5}}_{8}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /8\mathbb {Z} }$

Операции

В частности, термин « хорошо определено» используется в отношении (бинарных) операций над смежными классами. В этом случае можно рассматривать операцию как функцию двух переменных, и свойство быть хорошо определенным то же самое, что и для функции. Например, сложение целых чисел по модулю некоторого n может быть естественным образом определено в терминах сложения целых чисел.

${\displaystyle [a]\oplus [b]=[a+b]}$

Тот факт, что это хорошо определено, следует из того, что мы можем записать любого представителя как , где — целое число. Следовательно, ${\displaystyle [a]}$ ${\displaystyle a+kn}$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle [a]\oplus [b]=[a+kn]\oplus [b]=[(a+kn)+b]=[(a+b)+kn]=[a+b];}$

аналогичное справедливо для любого представителя , тем самым делая то же самое, независимо от выбора представителя. ${\displaystyle [b]}$ ${\displaystyle [a+b]}$

Четко определенная нотация

Для действительных чисел произведение однозначно, поскольку ; поэтому говорят, что обозначение хорошо определено . ^[1] Это свойство, также известное как ассоциативность умножения, гарантирует, что результат не зависит от последовательности умножений; поэтому спецификация последовательности может быть опущена. Операция вычитания неассоциативна; несмотря на это, существует соглашение, которое является сокращением для , поэтому оно считается «хорошо определенным». С другой стороны, деление неассоциативно, и в случае соглашения о скобках не являются хорошо установленными; поэтому это выражение часто считается плохо определенным. ${\displaystyle a\times b\times c}$ ${\displaystyle (a\times b)\times c=a\times (b\times c)}$ ${\displaystyle a-b-c}$ ${\displaystyle (a-b)-c}$ ${\displaystyle a/b/c}$

В отличие от функций, неоднозначности обозначений можно преодолеть с помощью дополнительных определений (например, правил приоритета , ассоциативности оператора). Например, в языке программирования C оператор -вычитания ассоциативен слева направо , что означает, что a-b-cопределяется как (a-b)-c, а оператор =присваивания ассоциативен справа налево , что означает, что a=b=cопределяется как a=(b=c). ^[3] В языке программирования APL есть только одно правило: справа налево — но скобки сначала.

Другие варианты использования термина

Решение уравнения в частных производных называется хорошо определенным, если оно непрерывно определяется граничными условиями при изменении этих граничных условий. ^[1]

Смотрите также

• Отношение эквивалентности § Корректность определения при отношении эквивалентности
• Дефиниционизм
• Существование
• Патологический (математика)
• Уникальность
• Количественная оценка уникальности
• Неопределенный
• Правильно сформированная формула

Ссылки

Примечания

1. Weisstein, Eric W. "Well-Defined". Из MathWorld – A Wolfram Web Resource . Получено 2 января 2013 г.
2. Джозеф Дж. Ротман, Теория групп: Введение , стр. 287 «... функция является «однозначной», или, как мы предпочитаем говорить ... функция хорошо определена .», Аллин и Бэкон, 1965.
3. "Приоритет операторов и ассоциативность в C". GeeksforGeeks . 2014-02-07 . Получено 2019-10-18 .

Источники

• Современная абстрактная алгебра , Джозеф А. Галлиан, 6-е издание, Houghlin Mifflin, 2006, ISBN 0-618-51471-6 . 
• Алгебра: Глава 0 , Паоло Алуффи, ISBN 978-0821847817 . Страница 16. 
• Абстрактная алгебра , Даммит и Фут, 3-е издание, ISBN 978-0471433347 . Страница 1.