Точно определенное выражение

Выражение, определение которого придает ему уникальную интерпретацию

В математике четко определенное выражение или однозначное выражение — это выражение , определение которого придает ему уникальную интерпретацию или значение. В противном случае выражение считается нечетко определенным , плохо определенным или двусмысленным . ^[1] Функция считается корректно определенной, если она дает тот же результат при изменении представления входных данных без изменения входного значения. Например, если в качестве входных данных принимаются действительные числа, а если не равно, то функция не определена должным образом (и, следовательно, не является функцией). ^[2] Термин «хорошо определенное» также может использоваться для обозначения того, что логическое выражение является однозначным или непротиворечивым. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(0.5)}$ ${\displaystyle f(1/2)}$ ${\displaystyle f}$

Функция, которая не определена четко, — это не то же самое, что функция, которая не определена . Например, если , то даже то, что она не определена, не означает, что функция не определена должным образом – это просто означает, что 0 не находится в области определения . ${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x}}}$ ${\displaystyle f(0)}$ ${\displaystyle f}$

Пример

Пусть множества, пусть и «определят», как будто и если . ${\displaystyle A_{0},A_{1}}$ ${\displaystyle A=A_{0}\cup A_{1}}$ ${\displaystyle f:A\rightarrow \{0,1\}}$ ${\displaystyle f(a)=0}$ ${\displaystyle a\in A_{0}}$ ${\displaystyle f(a)=1}$ ${\displaystyle a\in A_{1}}$

Тогда корректно определено, если . Например, если и , то будет корректно определено и равно . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle A_{0}\cap A_{1}=\emptyset \!}$ ${\displaystyle A_{0}:=\{2,4\}}$ ${\displaystyle A_{1}:=\{3,5\}}$ ${\displaystyle f(a)}$ ${\displaystyle \operatorname {mod} (a,2)}$

Однако если , то не будет четко определено, поскольку является «неоднозначным» для . Например, если и , то должны быть одновременно 0 и 1, что делает его неоднозначным. В результате последняя не определена четко и, следовательно, не является функцией. ${\displaystyle A_{0}\cap A_{1}\neq \emptyset }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(a)}$ ${\displaystyle a\in A_{0}\cap A_{1}}$ ${\displaystyle A_{0}:=\{2\}}$ ${\displaystyle A_{1}:=\{2\}}$ ${\displaystyle f(2)}$ ${\displaystyle f}$

«Определение» как предвосхищение определения

Чтобы избежать кавычек вокруг слова «определить» в предыдущем простом примере, «определение» можно разбить на два простых логических этапа: ${\displaystyle f}$

1. Определение бинарного отношения : В примере

   ${\displaystyle f:={\bigl \{}(a,i)\mid i\in \{0,1\}\wedge a\in A_{i}{\bigr \}},}$

   (что пока что представляет собой не что иное, как определенное подмножество декартова произведения .) ${\displaystyle A\times \{0,1\}}$
2. Утверждение : Бинарное отношение является функцией; в примере ${\displaystyle f}$

   ${\displaystyle f:A\rightarrow \{0,1\}.}$

Хотя определение на шаге 1 сформулировано со свободой любого определения и, безусловно, эффективно (без необходимости классифицировать его как «точно определенное»), утверждение на шаге 2 должно быть доказано. То есть является функцией тогда и только тогда , когда , и в этом случае – как функция – корректно определена. С другой стороны, если , то для an мы бы имели то и , что делает бинарное отношение нефункциональным (как определено в разделе Бинарное отношение#Специальные типы бинарных отношений ) и, следовательно , не вполне определенным как функция. В просторечии «функцию» также называют неоднозначной в точке (хотя по определению никогда не существует «неоднозначной функции»), а исходное «определение» бессмысленно. Несмотря на эти тонкие логические проблемы, для «определений» такого рода довольно часто заранее используют термин «определение» (без апострофов) – по трем причинам: ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle A_{0}\cap A_{1}=\emptyset }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle A_{0}\cap A_{1}\neq \emptyset }$ ${\displaystyle a\in A_{0}\cap A_{1}}$ ${\displaystyle (a,0)\in f}$ ${\displaystyle (a,1)\in f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a}$

1. Это удобное сокращение двухэтапного подхода.
2. Соответствующие математические рассуждения (т. е. шаг 2) одинаковы в обоих случаях.
3. В математических текстах утверждение верно «до 100%».

Независимость представителя

Вопрос о корректности функции классически возникает, когда определяющее уравнение функции относится не (только) к самим аргументам, но (также) к элементам аргументов, выступающим представителями . Иногда этого невозможно избежать, когда аргументы являются классами смежности , а уравнение относится к представителям смежных классов. Тогда результат применения функции не должен зависеть от выбора представителя.

Функции с одним аргументом

Например, рассмотрим следующую функцию

${\displaystyle {\begin{matrix}f:&\mathbb {Z} /8\mathbb {Z} &\to &\mathbb {Z} /4\mathbb {Z} \\&{\overline {n}}_{8}&\mapsto &{\overline {n}}_{4},\end{matrix}}}$

где и — целые числа по модулю m и обозначает класс сравнения n по модулю m . ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} ,m\in \{4,8\}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /m\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle {\overline {n}}_{m}}$

NB: это ссылка на элемент и аргумент . ${\displaystyle {\overline {n}}_{4}}$ ${\displaystyle n\in {\overline {n}}_{8}}$ ${\displaystyle {\overline {n}}_{8}}$ ${\displaystyle f}$

Функция корректно определена, поскольку ${\displaystyle f}$

${\displaystyle n\equiv n'{\bmod {8}}\;\Leftrightarrow \;8{\text{ divides }}(n-n')\Rightarrow \;4{\text{ divides }}(n-n')\;\Leftrightarrow \;n\equiv n'{\bmod {4}}.}$

В качестве противоположного примера можно привести обратное определение

${\displaystyle {\begin{matrix}g:&\mathbb {Z} /4\mathbb {Z} &\to &\mathbb {Z} /8\mathbb {Z} \\&{\overline {n}}_{4}&\mapsto &{\overline {n}}_{8},\end{matrix}}}$

не приводит к четко определенной функции, поскольку, например, равно в , но первое будет отображено в , тогда как второе будет отображено в , и и не равны в . ${\displaystyle {\overline {1}}_{4}}$ ${\displaystyle {\overline {5}}_{4}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /4\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle {\overline {1}}_{8}}$ ${\displaystyle {\overline {5}}_{8}}$ ${\displaystyle {\overline {1}}_{8}}$ ${\displaystyle {\overline {5}}_{8}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /8\mathbb {Z} }$

Операции

В частности, термин «точно определенный» используется по отношению к (бинарным) операциям над смежными классами. В этом случае операцию можно рассматривать как функцию двух переменных, и свойство корректности определения такое же, как и у функции. Например, сложение целых чисел по модулю некоторого n можно естественным образом определить в терминах сложения целых чисел.

${\displaystyle [a]\oplus [b]=[a+b]}$

Тот факт, что это четко определено, следует из того, что мы можем записать любой представитель as , где – целое число. Поэтому, ${\displaystyle [a]}$ ${\displaystyle a+kn}$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle [a]\oplus [b]=[a+kn]\oplus [b]=[(a+kn)+b]=[(a+b)+kn]=[a+b];}$

и аналогично для любого представителя России , тем самым делая то же самое независимо от выбора представителя. ${\displaystyle [b]}$ ${\displaystyle [a+b]}$

Четко определенные обозначения

Для действительных чисел произведение однозначно, поскольку (и, следовательно, обозначения называются корректными ). ^[1] Это свойство, также известное как ассоциативность умножения, гарантирует, что результат не зависит от последовательности умножений, поэтому указание последовательности можно опустить. ${\displaystyle a\times b\times c}$ ${\displaystyle (a\times b)\times c=a\times (b\times c)}$

С другой стороны, операция вычитания не является ассоциативной. Однако существует соглашение, которое является сокращением для , поэтому оно «четко определено». ${\displaystyle a-b-c}$ ${\displaystyle (a-b)-c}$

Деление также неассоциативно. Однако в случае с соглашениями о заключении в круглые скобки не так четко устоялись, поэтому это выражение часто считают плохо определенным. ${\displaystyle a/b/c}$

В отличие от функций, неоднозначность обозначений можно более или менее легко преодолеть с помощью дополнительных определений (например, правил старшинства , ассоциативности оператора). Например, в языке программирования C оператор -вычитания ассоциативен слева направо , что означает, что a-b-cон определен как (a-b)-c, а оператор =присваивания ассоциативен справа налево , что означает, что он a=b=cопределяется как a=(b=c). ^[3] В языке программирования APL есть только одно правило: справа налево – но сначала скобки.

Другие варианты использования термина

Решение уравнения в частных производных называется корректно определенным, если оно определяется граничными условиями непрерывно при изменении граничных условий. ^[1]

Смотрите также

• Отношение эквивалентности § Корректность определения относительно отношения эквивалентности
• Дефиниционизм
• Существование
• Уникальность
• Количественная оценка уникальности
• Неопределенный
• Правильно составленная формула

Рекомендации

Примечания

1. Вайсштейн, Эрик В. «Хорошо определено». Из MathWorld — веб-ресурса Wolfram . Проверено 2 января 2013 г.
2. Джозеф Дж. Ротман, Теория групп: введение , с. 287 «… функция «однозначна», или, как мы предпочитаем говорить… функция четко определена », Аллин и Бэкон, 1965.
3. «Приоритет операторов и ассоциативность в C». Гики для Гиков . 07.02.2014 . Проверено 18 октября 2019 г.

Источники

• Современная абстрактная алгебра , Джозеф А. Галлиан, 6-е издание, Houghlin Mifflin, 2006, ISBN 0-618-51471-6 . 
• Алгебра: Глава 0 , Паоло Алуффи, ISBN 978-0821847817 . Страница 16. 
• Абстрактная алгебра , Даммит и Фут, 3-е издание, ISBN 978-0471433347 . Страница 1.