Чётные и нечётные функции

Функции, для которых f(–x) равно f(x) или –f(x)

Функция синуса и все ее многочлены Тейлора являются нечетными функциями.

Функция косинуса и все ее многочлены Тейлора являются четными функциями.

В математике четная функция — это действительная функция, такая что для каждого в ее области определения . Аналогично, нечетная функция — это функция, такая что для каждого в ее области определения. ${\displaystyle f(-x)=f(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f(-x)=-f(x)}$ ${\displaystyle x}$

Они названы по четности степеней степенных функций , которые удовлетворяют каждому условию: функция четна, если n — четное целое число , и нечетна, если n — нечетное целое число. ${\displaystyle f(x)=x^{n}}$

Чётные функции — это действительные функции, график которых самосимметричен относительно оси Y , а нечётные функции — это действительные функции , график которых самосимметричен относительно начала координат .

Если область определения действительной функции самосимметрична относительно начала координат, то функцию можно однозначно разложить в сумму четной и нечетной функций.

Определение и примеры

Четность и нечетность обычно рассматриваются для действительных функций , то есть действительных функций действительной переменной. Однако эти концепции могут быть определены более обобщенно для функций, область определения и область кодомена которых имеют понятие аддитивной обратной . Это включает абелевы группы , все кольца , все поля и все векторные пространства . Так, например, действительная функция может быть нечетной или четной (или ни одной из них), как и комплексная -значная функция векторной переменной и т. д.

Приведенные примеры являются действительными функциями, чтобы проиллюстрировать симметрию их графиков .

Чётные функции

${\displaystyle f(x)=x^{2}}$является примером четной функции.

Действительная функция f является четной , если для каждого x в ее области определения, − x также находится в ее области определения и ^{[1] : стр. 11} или эквивалентно $${\displaystyle f(-x)=f(x)}$$ $${\displaystyle f(x)-f(-x)=0.}$$

Геометрически график четной функции симметричен относительно оси y , то есть ее график остается неизменным после отражения относительно оси y .

Примерами четных функций являются:

• Абсолютное значение ${\displaystyle x\mapsto |x|,}$
• ${\displaystyle x\mapsto x^{2},}$
• ${\displaystyle x\mapsto x^{4},}$
• косинус ${\displaystyle \cos ,}$
• гиперболический косинус ${\displaystyle \cosh ,}$
• Гауссова функция ${\displaystyle x\mapsto \exp(-x^{2}).}$

Нечетные функции

${\displaystyle f(x)=x^{3}}$является примером нечетной функции.

Действительная функция f является нечетной , если для каждого x в ее области определения, − x также находится в ее области определения и ^{[1] : стр. 72} или эквивалентно $${\displaystyle f(-x)=-f(x)}$$ $${\displaystyle f(x)+f(-x)=0.}$$

Геометрически график нечетной функции обладает вращательной симметрией относительно начала координат , что означает, что ее график остается неизменным после поворота на 180 градусов вокруг начала координат.

Если находится в области определения нечетной функции , то . ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f(0)=0}$

Примерами нечетных функций являются:

• Функция знака ${\displaystyle x\mapsto \operatorname {sgn}(x),}$
• Функция идентичности ${\displaystyle x\mapsto x,}$
• ${\displaystyle x\mapsto x^{3},}$
• синус ${\displaystyle \sin ,}$
• гиперболический синус ${\displaystyle \sinh ,}$
• Функция ошибки ${\displaystyle \operatorname {erf} .}$

${\displaystyle f(x)=x^{3}+1}$не является ни четным, ни нечетным.

Основные свойства

Уникальность

• Если функция является и четной, и нечетной, она равна 0 везде, где определена.
• Если функция нечетная, то абсолютное значение этой функции является четной функцией.

Сложение и вычитание

• Сумма двух четных функций четна.
• Сумма двух нечетных функций нечетна.
• Разница между двумя нечетными функциями нечетна.
• Разность между двумя четными функциями четна.
• Сумма четной и нечетной функции не является четной или нечетной, если только одна из функций не равна нулю в заданной области определения .

Умножение и деление

• Произведение двух четных функций является четной функцией.
  • Это означает, что произведение любого числа четных функций также является четной функцией.
• Произведение двух нечетных функций является четной функцией.
• Произведение четной функции и нечетной функции является нечетной функцией.
• Частное двух четных функций является четной функцией.
• Частное двух нечетных функций является четной функцией.
• Частное четной функции и нечетной функции является нечетной функцией.

Состав

• Композиция двух четных функций четна.
• Композиция двух нечетных функций нечетна.
• Композиция четной функции и нечетной функции является четной.
• Композиция любой функции с четной функцией четна (но не наоборот).

Чётно-нечётное разложение

Если действительная функция имеет область определения, которая самосимметрична относительно начала координат, то ее можно однозначно разложить в сумму четной и нечетной функций, которые называются соответственно четной частью (или четным компонентом ) и нечетной частью (или нечетным компонентом ) функции и определяются как и $${\displaystyle f_{\text{even}}(x)={\frac {f(x)+f(-x)}{2}},}$$ $${\displaystyle f_{\text{odd}}(x)={\frac {f(x)-f(-x)}{2}}.}$$

Легко проверить, что четно, нечетно и ${\displaystyle f_{\text{even}}}$ ${\displaystyle f_{\text{odd}}}$ ${\displaystyle f=f_{\text{even}}+f_{\text{odd}}.}$

Это разложение уникально, поскольку, если

${\displaystyle f(x)=g(x)+h(x),}$

где g четное, а h нечетное, то и поскольку ${\displaystyle g=f_{\text{even}}}$ ${\displaystyle h=f_{\text{odd}},}$

${\displaystyle {\begin{aligned}2f_{\text{e}}(x)&=f(x)+f(-x)=g(x)+g(-x)+h(x)+h(-x)=2g(x),\\2f_{\text{o}}(x)&=f(x)-f(-x)=g(x)-g(-x)+h(x)-h(-x)=2h(x).\end{aligned}}}$

Например, гиперболический косинус и гиперболический синус можно рассматривать как четную и нечетную части показательной функции, поскольку первая из них является четной функцией, вторая — нечетной, а

${\displaystyle e^{x}=\underbrace {\cosh(x)} _{f_{\text{even}}(x)}+\underbrace {\sinh(x)} _{f_{\text{odd}}(x)}}$.

Синусное и косинусное преобразования Фурье также выполняют четно-нечетное разложение, представляя нечетную часть функции с помощью синусоидальных волн (нечетная функция), а четную часть функции — с помощью косинусоидальных волн (четная функция).

Дополнительные алгебраические свойства

• Любая линейная комбинация четных функций является четной, а четные функции образуют векторное пространство над вещественными числами . Аналогично, любая линейная комбинация нечетных функций является нечетной, а нечетные функции также образуют векторное пространство над вещественными числами. Фактически, векторное пространство всех вещественных функций является прямой суммой подпространств четных и нечетных функций . Это более абстрактный способ выражения свойства в предыдущем разделе.
  • Пространство функций можно считать градуированной алгеброй над действительными числами по этому свойству, а также по некоторым из приведенных выше свойств.

• Чётные функции образуют коммутативную алгебру над вещественными числами. Однако нечётные функции не образуют алгебру над вещественными числами, поскольку они не замкнуты относительно умножения.

Аналитические свойства

Чётность или нечётность функции не подразумевает её дифференцируемость или даже непрерывность . Например, функция Дирихле чётная, но нигде не непрерывна.

Далее рассматриваются свойства, включающие производные , ряды Фурье , ряды Тейлора , и, таким образом, предполагается, что эти понятия определены для рассматриваемых функций.

Основные аналитические свойства

• Производная четной функции нечетна .
• Производная нечетной функции четна.
• Интеграл нечетной функции от − A до + A равен нулю (где A конечно, и функция не имеет вертикальных асимптот между − A и A ) . Для нечетной функции, интегрируемой по симметричному интервалу, например , результат интеграла по этому интервалу равен нулю; то есть ^[2] ${\displaystyle [-A,A]}$

  ${\displaystyle \int _{-A}^{A}f(x)\,dx=0}$.

• Интеграл четной функции от − A до + A равен удвоенному интегралу от 0 до + A (где A конечно, и функция не имеет вертикальных асимптот между − A и A . Это также верно, когда A бесконечно, но только если интеграл сходится); то есть

  ${\displaystyle \int _{-A}^{A}f(x)\,dx=2\int _{0}^{A}f(x)\,dx}$.

Ряд

• Ряд Маклорена четной функции включает только четные степени.
• Ряд Маклорена нечетной функции включает только нечетные степени.
• Ряд Фурье периодической четной функции включает только косинусные члены.
• Ряд Фурье периодической нечетной функции включает только синусоидальные члены.
• Преобразование Фурье чисто действительной четной функции является действительным и четным. (см. Анализ Фурье § Свойства симметрии )
• Преобразование Фурье чисто вещественной нечетной функции является мнимым и нечетным. (см. Анализ Фурье § Свойства симметрии )

Гармоники

При обработке сигналов гармонические искажения возникают, когда синусоидальный сигнал передается через нелинейную систему без памяти , то есть систему, выход которой в момент времени t зависит только от входа в момент времени t и не зависит от входа в любой из предыдущих моментов времени. Такая система описывается функцией отклика . Тип производимых гармоник зависит от функции отклика f : ^[3] ${\displaystyle V_{\text{out}}(t)=f(V_{\text{in}}(t))}$

• Если функция отклика четная, то результирующий сигнал будет состоять только из четных гармоник входной синусоиды; ${\displaystyle 0f,2f,4f,6f,\dots }$
  • Основная гармоника также является нечетной, поэтому присутствовать не будет.
  • Простым примером является двухполупериодный выпрямитель .
  • Компонент представляет собой смещение постоянного тока, обусловленное односторонним характером четно-симметричных передаточных функций. ${\displaystyle 0f}$
• Если он нечетный, результирующий сигнал будет состоять только из нечетных гармоник входной синусоиды; ${\displaystyle 1f,3f,5f,\dots }$
  • Выходной сигнал будет полуволновым симметричным .
  • Простым примером является ограничение в симметричном двухтактном усилителе .
• Если он асимметричен, результирующий сигнал может содержать как четные, так и нечетные гармоники; ${\displaystyle 1f,2f,3f,\dots }$
  • Простыми примерами являются однополупериодный выпрямитель и ограничение в асимметричном усилителе класса А.

Это не относится к более сложным формам волн. Например, пилообразная волна содержит как четные, так и нечетные гармоники. После четно-симметричного двухполупериодного выпрямления она становится треугольной волной , которая, за исключением смещения постоянного тока, содержит только нечетные гармоники.

Обобщения

Многомерные функции

Чётная симметрия:

Функция называется четно-симметричной, если: ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=f(-x_{1},-x_{2},\ldots ,-x_{n})\quad {\text{for all }}x_{1},\ldots ,x_{n}\in \mathbb {R} }$

Нечетная симметрия:

Функция называется нечетно-симметричной, если: ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=-f(-x_{1},-x_{2},\ldots ,-x_{n})\quad {\text{for all }}x_{1},\ldots ,x_{n}\in \mathbb {R} }$

Комплекснозначные функции

Определения четной и нечетной симметрии для комплекснозначных функций действительного аргумента аналогичны действительному случаю. В обработке сигналов иногда рассматривается подобная симметрия, которая включает комплексное сопряжение . ^{[4] [5]}

Сопряженная симметрия:

Комплекснозначная функция действительного аргумента называется сопряженно симметричной, если ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {C} }$

${\displaystyle f(x)={\overline {f(-x)}}\quad {\text{for all }}x\in \mathbb {R} }$

Комплекснозначная функция является сопряженно симметричной тогда и только тогда, когда ее действительная часть является четной функцией, а ее мнимая часть — нечетной функцией.

Типичным примером сопряженной симметричной функции является цис-функция

${\displaystyle x\to e^{ix}=\cos x+i\sin x}$

Сопряженная антисимметрия:

Комплекснозначная функция действительного аргумента называется сопряженной антисимметричной, если: ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {C} }$

${\displaystyle f(x)=-{\overline {f(-x)}}\quad {\text{for all }}x\in \mathbb {R} }$

Комплекснозначная функция является сопряженно антисимметричной тогда и только тогда, когда ее действительная часть является нечетной функцией, а ее мнимая часть — четной функцией.

Последовательности конечной длины

Определения нечетной и четной симметрии распространяются на N -точечные последовательности (т.е. функции вида ) следующим образом: ^{[5] : стр. 411} ${\displaystyle f:\left\{0,1,\ldots ,N-1\right\}\to \mathbb {R} }$

Чётная симметрия:

Последовательность из N точек называется сопряженно-симметричной, если

${\displaystyle f(n)=f(N-n)\quad {\text{for all }}n\in \left\{1,\ldots ,N-1\right\}.}$

Такую последовательность часто называют палиндромной последовательностью ; см. также Палиндромный многочлен .

Нечетная симметрия:

Последовательность из N точек называется сопряженной антисимметричной, если

${\displaystyle f(n)=-f(N-n)\quad {\text{for all }}n\in \left\{1,\ldots ,N-1\right\}.}$

Такую последовательность иногда называют антипалиндромной последовательностью ; см. также Антипалиндромный многочлен .

Смотрите также

• Эрмитова функция для обобщения в комплексных числах
• ряд Тейлора
• ряд Фурье
• Метод Гольштейна-Херринга
• Четность (физика)

Примечания

1. ГельФанд, ИМ ; Глаголева Е.Г. ; Шнол, Э.Э. (1990). Функции и графики . Биркхойзер. ISBN 0-8176-3532-7.
2. W., Weisstein, Eric. «Нечетная функция». mathworld.wolfram.com .{{cite web}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
3. Бернерс, Дэйв (октябрь 2005 г.). "Спросите врачей: ламповые и твердотельные гармоники". UA WebZine . Universal Audio . Получено 2016-09-22 . Подводя итог, если функция f(x) нечетная, косинусный вход не даст четных гармоник. Если функция f(x) четная, косинусный вход не даст нечетных гармоник (но может содержать компонент постоянного тока). Если функция не является ни нечетной, ни четной, все гармоники могут присутствовать на выходе.
4. Оппенгейм, Алан В .; Шефер, Рональд В .; Бак, Джон Р. (1999). Обработка сигналов в дискретном времени (2-е изд.). Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall. стр. 55. ISBN 0-13-754920-2.
5. Proakis, John G.; Manolakis, Dimitri G. (1996), Цифровая обработка сигналов: принципы, алгоритмы и приложения (3-е изд.), Upper Saddle River, NJ: Prentice-Hall International, ISBN 9780133942897, sAcfAQAAIAAJ

Ссылки

• Гельфанд, ИМ ; Глаголева Е.Г.; Шнол, Э.Э. (2002) [1969], Функции и графики, Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications