Четыре силы

В специальной теории относительности четырехсила — это четырехвекторная сила , заменяющая классическую силу .

В специальной теории относительности

Четырехсила определяется как скорость изменения четырехимпульса частицы по отношению к собственному времени частицы :

$${\displaystyle \mathbf {F} ={\mathrm {d} \mathbf {P} \over \mathrm {d} \tau }.}$$

Для частицы с постоянной инвариантной массой где – четвертая скорость , поэтому мы можем связать четырехсилу с четырехкратным ускорением, как во втором законе Ньютона : ${\displaystyle m>0}$ ${\displaystyle \mathbf {P} =m\mathbf {U} }$ ${\displaystyle \mathbf {U} =\gamma (c,\mathbf {u} )}$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$

$${\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {A} =\left(\gamma {\mathbf {f} \cdot \mathbf {u} \over c},\gamma {\mathbf {f} }\right).}$$

Здесь

$${\displaystyle {\mathbf {f} }={\mathrm {d} \over \mathrm {d} t}\left(\gamma m{\mathbf {u} }\right)={\mathrm {d} \mathbf {p} \over \mathrm {d} t}}$$

и

$${\displaystyle {\mathbf {f} \cdot \mathbf {u} }={\mathrm {d} \over \mathrm {d} t}\left(\gamma mc^{2}\right)={\mathrm {d} E \over \mathrm {d} t}.}$$

где и – векторы трехмерного пространства , описывающие скорость, импульс частицы и силу, действующую на нее соответственно. ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle \mathbf {p} }$ ${\displaystyle \mathbf {f} }$

Включая термодинамические взаимодействия

Из формул предыдущего раздела следует, что временная составляющая четырехсилы — это затраченная мощность, не считая релятивистских поправок . Это справедливо только в чисто механических ситуациях, когда теплообмен исчезает или им можно пренебречь. ${\displaystyle \mathbf {f} \cdot \mathbf {u} }$ ${\displaystyle \gamma /c}$

В полном термомеханическом случае не только работа , но и тепло способствует изменению энергии, которая является временной составляющей ковектора энергии-импульса . Временная составляющая четырехсилы в данном случае помимо мощности включает в себя скорость нагрева . ^[1] Обратите внимание, что работа и тепло не могут быть осмысленно разделены, поскольку они оба несут инерцию. ^[2] Этот факт распространяется и на контактные силы, т. е. на тензор напряжения-энергии-импульса . ^{[3] [2]} ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \mathbf {f} \cdot \mathbf {u} }$

Следовательно, в термомеханических ситуациях временная составляющая четырех сил не пропорциональна мощности , а имеет более общее выражение, которое следует давать в каждом конкретном случае, которое представляет собой запас внутренней энергии за счет комбинации работы и тепла: ^{[2] [1] [4] [3]} и который в ньютоновском пределе становится . ${\displaystyle \mathbf {f} \cdot \mathbf {u} }$ ${\displaystyle h+\mathbf {f} \cdot \mathbf {u} }$

В общей теории относительности

В общей теории относительности связь между четырехсилой и четырехускорением остается прежней, но элементы четырехсилы связаны с элементами четырехимпульса через ковариантную производную по собственному времени.

$${\displaystyle F^{\lambda }:={\frac {DP^{\lambda }}{d\tau }}={\frac {dP^{\lambda }}{d\tau }}+\Gamma ^{\lambda }{}_{\mu \nu }U^{\mu }P^{\nu }}$$

Кроме того, мы можем сформулировать силу, используя концепцию преобразований координат между различными системами координат. Предположим, что мы знаем правильное выражение силы в системе координат, в которой частица в данный момент находится в состоянии покоя. Затем мы можем выполнить преобразование в другую систему, чтобы получить соответствующее выражение силы. ^[5] В специальной теории относительности преобразование будет преобразованием Лоренца между системами координат, движущимися с относительной постоянной скоростью, тогда как в общей теории относительности это будет преобразование общей координаты.

Рассмотрим четырехсилу , действующую на частицу массы , находящуюся в данный момент в покое в системе координат. Релятивистская сила в другой системе координат, движущейся с постоянной скоростью относительно другой, получается с помощью преобразования Лоренца: ${\displaystyle F^{\mu }=(F^{0},\mathbf {F} )}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle f^{\mu }}$ ${\displaystyle v}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {f} &=\mathbf {F} +(\gamma -1)\mathbf {v} {\mathbf {v} \cdot \mathbf {F} \over v^{2}},\\f^{0}&=\gamma {\boldsymbol {\beta }}\cdot \mathbf {F} ={\boldsymbol {\beta }}\cdot \mathbf {f} .\end{aligned}}}$$

где . ${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}=\mathbf {v} /c}$

В общей теории относительности выражение силы принимает вид

$${\displaystyle f^{\mu }=m{DU^{\mu } \over d\tau }}$$

с ковариантной производной . Уравнение движения становится ${\displaystyle D/d\tau }$

$${\displaystyle m{d^{2}x^{\mu } \over d\tau ^{2}}=f^{\mu }-m\Gamma _{\nu \lambda }^{\mu }{dx^{\nu } \over d\tau }{dx^{\lambda } \over d\tau },}$$

где находится символ Кристоффеля . Если нет внешней силы, это становится уравнением геодезических в искривленном пространстве-времени . Второй член в приведенном выше уравнении играет роль гравитационной силы. Если это правильное выражение для силы в свободно падающей системе отсчета , мы можем использовать принцип эквивалентности для записи четырех сил в произвольной координате : ${\displaystyle \Gamma _{\nu \lambda }^{\mu }}$ ${\displaystyle f_{f}^{\alpha }}$ ${\displaystyle \xi ^{\alpha }}$ ${\displaystyle x^{\mu }}$

$${\displaystyle f^{\mu }={\partial x^{\mu } \over \partial \xi ^{\alpha }}f_{f}^{\alpha }.}$$

Примеры

В специальной теории относительности четыре силы Лоренца (четыре силы, действующие на заряженную частицу, находящуюся в электромагнитном поле) можно выразить как:

$${\displaystyle f_{\mu }=qF_{\mu \nu }U^{\nu },}$$

где

• ${\displaystyle F_{\mu \nu }}$– электромагнитный тензор ,
• ${\displaystyle U^{\nu }}$- четырехскоростная , и
• ${\displaystyle q}$это электрический заряд .

Смотрите также

• четырехвекторный
• четырехскоростной
• четыре ускорения
• четырехимпульсный
• четырехградиентный

Рекомендации

1. Грот, Ричард А.; Эринген, А. Джемаль (1966). «Релятивистская механика сплошной среды: Часть I - Механика и термодинамика». Межд. J. Engng Sci . 4 (6): 611–638, 664. doi : 10.1016/0020-7225(66)90008-5.
2. Эккарт, Карл (1940). «Термодинамика необратимых процессов. III. Релятивистская теория простой жидкости». Физ. Преподобный . 58 (10): 919–924. Бибкод : 1940PhRv...58..919E. doi : 10.1103/PhysRev.58.919.
3. CA Трусделл, Р.А. Тупен: Классические теории поля (в С. Флюгге (ред.): Энциклопедия физики, Том III-1 , Springer 1960). §§152–154 и 288–289.
4. Можен, Жерар А. (1978). «О ковариантных уравнениях релятивистской электродинамики сплошных сред. I. Общие уравнения». Дж. Математика. Физ . 19 (5): 1198–1205. Бибкод : 1978JMP....19.1198M. дои : 10.1063/1.523785.
5. Стивен, Вайнберг (1972). Гравитация и космология: принципы и приложения общей теории относительности . Джон Уайли и сыновья, Inc. ISBN 0-471-92567-5.

• Риндлер, Вольфганг (1991). Введение в специальную теорию относительности (2-е изд.). Оксфорд: Издательство Оксфордского университета. ISBN 0-19-853953-3.