В евклидовой плоской геометрии прямоугольник представляет собой четырехугольник с четырьмя прямыми углами . Его также можно определить как: равноугольный четырехугольник, поскольку равноугольность означает, что все его углы равны (360°/4 = 90°); или параллелограмм , содержащий прямой угол. Прямоугольник с четырьмя сторонами одинаковой длины является квадратом . Термин «продолговатый» иногда используется для обозначения неквадратного прямоугольника . [1] [2] [3] Прямоугольник с вершинами ABCD будет обозначаться как ABCD .
Слово «прямоугольник» происходит от латинского rectangulus , которое представляет собой комбинацию слов «rectus» (прилагательное «правый», «собственный») и «angulus» ( «угол »).
Скрещенный прямоугольник — это скрещенный (самопересекающийся) четырехугольник, который состоит из двух противоположных сторон прямоугольника и двух диагоналей [4] (следовательно, только две стороны параллельны). Это частный случай антипараллелограмма , и его углы не являются прямыми и не все равны, хотя противоположные углы равны. Другие геометрии, такие как сферическая , эллиптическая и гиперболическая , имеют так называемые прямоугольники с противоположными сторонами, равными по длине, и равными углами, которые не являются прямыми.
Прямоугольники используются во многих задачах мозаики, таких как мозаика плоскости прямоугольниками или мозаика прямоугольника многоугольниками .
Выпуклый четырехугольник является прямоугольником тогда и только тогда, когда он соответствует любому из следующих условий: [5] [6]
Прямоугольник — частный случай параллелограмма, у которого каждая пара смежных сторон перпендикулярна .
Параллелограмм — это частный случай трапеции (известной в Северной Америке как трапеция ), у которой обе пары противоположных сторон параллельны и равны по длине .
Трапеция – это выпуклый четырехугольник , у которого есть хотя бы одна пара параллельных противоположных сторон.
Выпуклый четырехугольник – это
Де Вильерс определяет прямоугольник в более общем смысле как любой четырехугольник, оси симметрии которого проходят через каждую пару противоположных сторон. [9] Это определение включает как прямоугольные, так и скрещенные прямоугольники. У каждого есть ось симметрии, параллельная паре противоположных сторон и равноудаленная от них, а другая является серединным перпендикуляром этих сторон, но в случае скрещенного прямоугольника первая ось не является осью симметрии ни для одной из сторон. что оно делит пополам.
Четырехугольники с двумя осями симметрии, каждая из которых проходит через пару противоположных сторон, относятся к более широкому классу четырехугольников, у которых хотя бы одна ось симметрии проходит через пару противоположных сторон. Эти четырехугольники включают равнобедренную трапецию и скрещенную равнобедренную трапецию (перекрещенные четырехугольники с тем же расположением вершин , что и равнобедренная трапеция).
Прямоугольник является циклическим : все углы лежат на одной окружности .
Он равноугольный : все его угловые углы равны (каждый по 90 градусов ).
Он изогональный или вершинно-транзитивный : все углы лежат на одной и той же орбите симметрии .
Он имеет две линии отражательной симметрии и вращательную симметрию второго порядка (до 180°).
Двойной многоугольник прямоугольника представляет собой ромб , как показано в таблице ниже. [10]
Прямоугольник – это прямолинейный многоугольник : его стороны сходятся под прямым углом.
Прямоугольник в плоскости может быть определен пятью независимыми степенями свободы, состоящими, например, из трех для положения (включая две для перемещения и одну для вращения ), одну для формы ( соотношение сторон ) и одну для общего размера (площади). .
Два прямоугольника, ни один из которых не помещается внутри другого, называются несравнимыми .
Если прямоугольник имеет длину и ширину
Изопериметрическая теорема для прямоугольников утверждает, что среди всех прямоугольников данного периметра наибольшую площадь имеет квадрат .
Середины сторон любого четырехугольника с перпендикулярными диагоналями образуют прямоугольник.
Параллелограмм с равными диагоналями является прямоугольником.
Японская теорема для вписанных четырехугольников [11] утверждает, что центры четырех треугольников, определяемые вершинами вписанного четырехугольника, взятыми по три за раз, образуют прямоугольник.
Теорема о британском флаге утверждает, что с вершинами, обозначенными A , B , C и D , для любой точки P на одной плоскости прямоугольника: [12]
Для каждого выпуклого тела C на плоскости мы можем вписать прямоугольник r в C так, что гомотетическая копия R тела r описана вокруг C и положительный коэффициент гомотетии не превышает 2 и . [13]
Прямоугольник со сторонами a, b (a<b) сложен по линии, проходящей через центр прямоугольника, чтобы получить минимальную площадь пересекающихся пересечений: единственный прямоугольник существует для двух решений одинаковой площади, но разной формы - треугольник и пятиугольник (уникальное соотношение сторон: ). [14]
Перекрещенный четырехугольник (самопересекающийся) состоит из двух противоположных сторон несамопересекающегося четырехугольника и двух диагоналей. Точно так же скрещенный прямоугольник — это скрещенный четырехугольник , который состоит из двух противоположных сторон прямоугольника и двух диагоналей. Он имеет то же расположение вершин , что и прямоугольник. Он выглядит как два одинаковых треугольника с общей вершиной, но геометрическое пересечение не считается вершиной.
Перекрещенный четырехугольник иногда сравнивают с галстуком-бабочкой или бабочкой , иногда называют «угловой восьмеркой». Трехмерный прямоугольный проволочный каркас , скрученный, может принять форму галстука-бабочки .
Внутренняя часть скрещенного прямоугольника может иметь плотность полигонов ±1 в каждом треугольнике, в зависимости от ориентации обмотки по часовой стрелке или против часовой стрелки.
Перекрещенный прямоугольник можно считать равноугольным, если разрешены повороты направо и налево. Как и в любом скрещенном четырехугольнике , сумма его внутренних углов равна 720°, что позволяет внутренним углам появляться снаружи и превышать 180°. [15]
Прямоугольник и скрещенный прямоугольник являются четырехугольниками со следующими общими свойствами:
В сферической геометрии сферический прямоугольник — это фигура, четыре края которой представляют собой большие дуги окружностей, пересекающиеся под равными углами, превышающими 90°. Противоположные дуги равны по длине. Поверхность сферы в евклидовой объемной геометрии является неевклидовой поверхностью в смысле эллиптической геометрии. Сферическая геометрия — это простейшая форма эллиптической геометрии.
В эллиптической геометрии эллиптический прямоугольник — это фигура на эллиптической плоскости, четыре края которой представляют собой эллиптические дуги, пересекающиеся под равными углами, превышающими 90 °. Противоположные дуги равны по длине.
В гиперболической геометрии гиперболический прямоугольник — это фигура на гиперболической плоскости, четыре края которой представляют собой гиперболические дуги, пересекающиеся под равными углами менее 90 °. Противоположные дуги равны по длине.
Прямоугольник используется во многих периодических узорах мозаики , например, в кирпичной кладке:
Прямоугольник, замощенный квадратами, прямоугольниками или треугольниками, называется «квадратным», «прямоугольным» или «треугольным» (или «треугольным») прямоугольником соответственно. Плиточный прямоугольник является идеальным [16] [17] , если плитки одинаковы и ограничены по количеству, и нет двух плиток одинакового размера. Если две такие плитки имеют одинаковый размер, мозаика несовершенна . В идеальном (или несовершенном) треугольном прямоугольнике треугольники должны быть прямоугольными . Базу данных всех известных идеальных прямоугольников, идеальных квадратов и связанных с ними фигур можно найти на сайте Squareing.net. Наименьшее количество квадратов, необходимое для идеального замощения прямоугольника, составляет 9 [18] , а наименьшее число, необходимое для идеального замощения квадрата , составляет 21, найденное в 1978 году с помощью компьютерного поиска. [19]
Прямоугольник имеет соизмеримые стороны тогда и только тогда, когда его можно замостить конечным числом неравных квадратов. [16] [20] То же самое верно, если плитки представляют собой неравные равнобедренные прямоугольные треугольники.
Наибольшее внимание привлекли мозаики прямоугольников другими плитками, состоящие из конгруэнтных непрямоугольных полимино , допускающих все вращения и отражения. Существуют также замощения конгруэнтными полиаболами .
U+25AC ▬ ЧЕРНЫЙ ПРЯМОУГОЛЬНИК U+25AD ▭ БЕЛЫЙ ПРЯМОУГОЛЬНИК U+25AE ▮ ЧЕРНЫЙ ВЕРТИКАЛЬНЫЙ ПРЯМОУГОЛЬНИК U+25AF ▯ БЕЛЫЙ ВЕРТИКАЛЬНЫЙ ПРЯМОУГОЛЬНИК
{{cite web}}
: CS1 maint: archived copy as title (link)