Концепция алгебраической теории чисел
В теории чисел число Хигнера ( как его назвали Конвей и Гай) — это положительное целое число без квадратов d такое, что мнимое квадратичное поле имеет номер класса 1. Эквивалентно, кольцо целых алгебраических чисел имеет уникальную факторизацию . [1]![{\displaystyle \mathbb {Q} \left[{\sqrt {-d}}\right]}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mathbb {Q} \left[{\sqrt {-d}}\right]}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Определение таких чисел является частным случаем проблемы числа классов , и они лежат в основе нескольких ярких результатов в теории чисел.
Согласно теореме (Бейкера–) Штарка–Хигнера существует ровно девять чисел Хигнера:
1, 2, 3, 7, 11, 19, 43, 67 и 163. (последовательность A003173 в OEIS )
Этот результат был выдвинут Гауссом и доказан с небольшими ошибками Куртом Хигнером в 1952 году. Алан Бейкер и Гарольд Старк независимо доказали этот результат в 1966 году, а Старк далее указал, что пробел в доказательстве Хигнера был незначительным. [2]
Полином Эйлера, порождающий простые числа
Полином Эйлера, порождающий простые числа
![{\displaystyle n^{2}+n+41,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
nРабинович [3] доказал, что
![{\displaystyle n^{2}+n+p}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
дискриминант![{\displaystyle n=0,\dots,p-2}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle 1-4p}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
(Обратите внимание, что дает , поэтому максимально.)![{\displaystyle p-1}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle p^{2}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle p-2}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
1, 2 и 3 не имеют требуемой формы, поэтому работающими числами Хигнера являются 7, 11, 19, 43, 67, 163, что дает простые производящие функции формы Эйлера для 2, 3, 5, 11, 17, 41; эти последние числа Ф. Ле Лионне назвал счастливыми числами Эйлера . [4]
Почти целые числа и константа Рамануджана
Константа Рамануджана — это трансцендентное число [5] , которое является почти целым числом , поскольку оно очень близко к целому числу : [6]![{\displaystyle е^{\pi {\sqrt {163}}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle e^{\pi {\sqrt {163}}}=262\,537\,412\,640\,768\,743,999\,999\,999\,999\,25\ldots \около 640 \,320^{3}+744.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Это число было открыто в 1859 году математиком Чарльзом Эрмитом . [7]
В первоапрельской статье 1975 года в журнале Scientific American [8] обозреватель «Математических игр» Мартин Гарднер выдвинул ложное утверждение, что число на самом деле было целым числом и что индийский математический гений Шриниваса Рамануджан предсказал его - следовательно, его имя.
Это совпадение объясняется комплексным умножением и q -разложением j- инварианта .
Деталь
Далее j(z) обозначает j-инвариант комплексного числа z. Вкратце, является целым числом, где d является числом Хегнера, а![{\displaystyle \textstyle j\left({\frac {1+{\sqrt {-d}}}{2}}\right)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle e^{\pi {\sqrt {d}}}\approx -j\left({\frac {1+{\sqrt {-d}}}{2}}\right)+744}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
qЕсли является квадратичным иррациональным числом, то j -инвариант является целым алгебраическим числом степени , номер класса и минимальный (монический целочисленный) полином, которому он удовлетворяет, называется «полиномом класса Гильберта». Таким образом, если мнимое квадратичное расширение имеет номер класса 1 (поэтому d — число Хигнера), j -инвариант является целым числом.![{\displaystyle \тау }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \left|\mathrm {Cl} {\bigl (}\mathbf {Q} (\tau){\bigr)}\right|}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mathbf {Q} (\tau)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mathbf {Q} (\tau)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
q -разложение j , с его разложением в ряд Фурье , записанным как ряд Лорана через , начинается как:![{\displaystyle q=e^{2\pi i\tau }}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle j(\tau)={\frac {1}{q}}+744+196\,884q+\cdots .}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Коэффициенты асимптотически растут как![{\displaystyle c_{n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \ln(c_{n})\sim 4\pi {\sqrt {n}}+O {\bigl (}\ln(n){\bigr)},}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
j![{\displaystyle 200\,000^{n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \textstyle q\ll {\frac {1}{200\,000}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \textstyle \tau = {\frac {1+{\sqrt {-163}}}{2}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle q=-e^{-\pi {\sqrt {163}}}\quad \therefore \quad {\frac {1}{q}} = -e^{\pi {\sqrt {163}} }.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle j\left({\frac {1+{\sqrt {-163}}}{2}}\right)=\left(-640\,320\right)^{3},}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \left(-640\,320\right)^{3}=-e^{\pi {\sqrt {163}}}+744+O\left(e^{-\pi {\sqrt { 163}}}\вправо).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle e^{\pi {\sqrt {163}}}=640\,320^{3}+744+O\left(e^{-\pi {\sqrt {163}}}\right)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\frac {-196\,884}{e^{\pi {\sqrt {163}}}}}\approx {\frac {-196\,884}{640\,320^{3} +744}}\приблизительно -0.000\,000\,000\,000\,75}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle е^{\pi {\sqrt {163}}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Формулы Пи
Братья Чудновские в 1987 году обнаружили, что
![{\displaystyle {\frac {1}{\pi }}={\frac {12}{640\,320^{\frac {3}{2}}}}\sum _{k=0}^{\ infty }{\frac {(6k)!(163\cdot 3\,344\,418k+13\,591\,409)}{(3k)!(k!)^{3}(-640\,320 )^{3k}}},}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle j\left({\frac {1+{\sqrt {-163}}}{2}}\right)=-640\,320^{3}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
серии Рамануджана-СатоДругие числа Хегнера
Для четырех наибольших чисел Хигнера получаются следующие аппроксимации [9] .
![{\displaystyle {\begin{aligned}e^{\pi {\sqrt {19}}}&\approx {\color {white}000\,0}96^{3}+744-0,22\\e^{ \pi {\sqrt {43}}}&\approx {\color {white}000\,}960^{3}+744-0.000\,22\\e^{\pi {\sqrt {67}}} &\approx {\color {white}00}5\,280^{3}+744-0.000\,0013\\e^{\pi {\sqrt {163}}}&\approx 640\,320^{ 3}+744-0.000\,000\,000\,000\,75\end{aligned}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Альтернативно, [10]
![{\displaystyle {\begin{aligned}e^{\pi {\sqrt {19}}}&\approx 12^{3}\left(3^{2}-1\right)^{3}{\color {white}00}+744-0.22\\e^{\pi {\sqrt {43}}}&\approx 12^{3}\left(9^{2}-1\right)^{3}{ \color {white}00}+744-0.000\,22\\e^{\pi {\sqrt {67}}}&\approx 12^{3}\left(21^{2}-1\right) ^{3}{\color {white}0}+744-0.000\,0013\\e^{\pi {\sqrt {163}}}&\approx 12^{3}\left(231^{2} -1\вправо)^{3}+744-0.000\,000\,000\,000\,75\end{aligned}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
рядом Эйзенштейна[11]j![{\displaystyle d<19}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle d=19}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle 12^{3}\left(n^{2}-1\right)^{3}=\left(2^{2}\cdot 3\cdot (n-1)\cdot (n+1) )\вправо)^{3},}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
и фактор как,
![{\displaystyle {\begin{aligned}j\left({\frac {1+{\sqrt {-19}}}{2}}\right)&={\color {white}000\,0}-96 ^{3}=-\left(2^{5}\cdot 3\right)^{3}\\j\left({\frac {1+{\sqrt {-43}}}{2}}\ right)&={\color {white}000\,}-960^{3}=-\left(2^{6}\cdot 3\cdot 5\right)^{3}\\j\left({ \frac {1+{\sqrt {-67}}}{2}}\right)&={\color {white}00}-5\,280^{3}=-\left(2^{5} \cdot 3\cdot 5\cdot 11\right)^{3}\\j\left({\frac {1+{\sqrt {-163}}}{2}}\right)&=-640\, 320^{3}=-\left(2^{6}\cdot 3\cdot 5\cdot 23\cdot 29\right)^{3}.\end{aligned}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Эти трансцендентные числа , помимо того, что они точно аппроксимируются целыми числами (которые являются просто алгебраическими числами степени 1), могут быть точно аппроксимированы алгебраическими числами степени 3, [12]
![{\displaystyle {\begin{aligned}e^{\pi {\sqrt {19}}} &\approx x^{24}-24.000\,31;&x^{3}-2x-2&=0\\e ^{\pi {\sqrt {43}}}&\approx x^{24}-24.000\,000\,31;&x^{3}-2x^{2}-2&=0\\e^{\ pi {\sqrt {67}}}&\approx x^{24}-24.000\,000\,0019;&x^{3}-2x^{2}-2x-2&=0\\e^{\pi {\sqrt {163}}}&\approx x^{24}-24.000\,000\,000\,000\,0011;&\quad x^{3}-6x^{2}+4x-2&= 0\end{выровнено}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Корни кубик могут быть точно заданы частными эта-функции Дедекинда η ( τ ), модулярной функции, включающей корень 24-й степени и которая объясняет число 24 в приближении. Их также можно близко аппроксимировать алгебраическими числами степени 4, [13]
![{\displaystyle {\begin{aligned}e^{\pi {\sqrt {19}}}&\approx 3^{5}\left(3- {\sqrt {2\left(1-{\tfrac {96) }{24}}+1{\sqrt {3\cdot 19}}\right)}}\right)^{-2}-12.000\,06\dots \\e^{\pi {\sqrt {43} }}&\approx 3^{5}\left(9-{\sqrt {2\left(1-{\tfrac {960}{24}}+7{\sqrt {3\cdot 43}}\right) }}\right)^{-2}-12.000\,000\,061\dots \\e^{\pi {\sqrt {67}}}&\approx 3^{5}\left(21-{\ sqrt {2\left(1-{\tfrac {5\,280}{24}}+31{\sqrt {3\cdot 67}}\right)}}\right)^{-2}-12.000\, 000\,000\,36\dots \\e^{\pi {\sqrt {163}}}&\approx 3^{5}\left(231-{\sqrt {2\left(1-{\tfrac) {640\,320}{24}}+2\,413{\sqrt {3\cdot 163}}\right)}}\right)^{-2}-12.000\,000\,000\,000\ ,000\,21\dots \end{aligned}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Если обозначает выражение в скобках (например, ), оно удовлетворяет соответственно уравнениям четвертой степени![{\displaystyle х}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\begin{aligned}x^{4}-{\color {white}00}4\cdot 3x^{3}+{\color {white}000\,0}{\tfrac {2}{ 3}}(96+3)x^{2}-{\color {white}000\,000}{\tfrac {2}{3}}\cdot 3(96-6)x-3&=0\\ x^{4}-{\color {white}00}4\cdot 9x^{3}+{\color {white}000\,}{\tfrac {2}{3}}(960+3)x^ {2}-{\color {white}000\,00}{\tfrac {2}{3}}\cdot 9(960-6)x-3&=0\\x^{4}-{\color { белый}0}4\cdot 21x^{3}+{\color {white}00}{\tfrac {2}{3}}(5\,280+3)x^{2}-{\color {белый }000}{\tfrac {2}{3}}\cdot 21(5\,280-6)x-3&=0\\x^{4}-4\cdot 231x^{3}+{\tfrac { 2}{3}}(640\,320+3)x^{2}-{\tfrac {2}{3}}\cdot 231(640\,320-6)x-3&=0\\\end {выровнено}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Обратите внимание на повторное появление целых чисел , а также на тот факт, что![{\displaystyle n=3,9,21,231}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\begin{aligned}2^{6}\cdot 3\left(-\left(1-{\tfrac {96}{24}}\right)^{2}+1^{2}\ cdot 3\cdot 19\right)&=96^{2}\\2^{6}\cdot 3\left(-\left(1-{\tfrac {960}{24}}\right)^{2 }+7^{2}\cdot 3\cdot 43\right)&=960^{2}\\2^{6}\cdot 3\left(-\left(1-{\tfrac {5\,280) }{24}}\right)^{2}+31^{2}\cdot 3\cdot 67\right)&=5\,280^{2}\\2^{6}\cdot 3\left( -\left(1-{\tfrac {640\,320}{24}}\right)^{2}+2413^{2}\cdot 3\cdot 163\right)&=640\,320^{2 }\end{выровнено}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
jАналогично для алгебраических чисел степени 6:
![{\displaystyle {\begin{aligned}e^{\pi {\sqrt {19}}}&\approx \left(5x\right)^{3}-6.000\,010\dots \\e^{\pi {\sqrt {43}}}&\approx \left(5x\right)^{3}-6.000\,000\,010\dots \\e^{\pi {\sqrt {67}}}&\approx \left(5x\right)^{3}-6.000\,000\,000\,061\dots \\e^{\pi {\sqrt {163}}}&\approx \left(5x\right)^ {3}-6.000\,000\,000\,000\,000\,034\dots \end{aligned}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
где x s задаются соответственно соответствующим корнем секстических уравнений ,
![{\displaystyle {\begin{aligned}5x^{6}-{\color {white}000\,0}96x^{5}-10x^{3}+1&=0\\5x^{6}-{ \color {white}000\,}960x^{5}-10x^{3}+1&=0\\5x^{6}-{\color {white}00}5\,280x^{5}-10x ^{3}+1&=0\\5x^{6}-640\,320x^{5}-10x^{3}+1&=0\end{aligned}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
при этом снова появляются j -инварианты. Эти секстики не только алгебраичны, они также разрешимы в радикалах , поскольку они разлагаются на две кубики по расширению (с первым разложением далее на два квадратика ). Эти алгебраические приближения могут быть точно выражены через эта-факторы Дедекинда. В качестве примера пусть тогда![{\displaystyle \mathbb {Q} {\sqrt {5}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \textstyle \tau = {\frac {1+{\sqrt {-163}}}{2}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\begin{aligned}e^{\pi {\sqrt {163}}}&=\left({\frac {e^{\frac {\pi i}{24}}\eta (\tau )}{\eta (2\tau )}}\right)^{24}-24.000\,000\,000\,000\,001\,05\dots \\e^{\pi {\sqrt {163 }}}&=\left({\frac {e^{\frac {\pi i}{12}}\eta (\tau )}{\eta (3\tau )}}\right)^{12} -12.000\,000\,000\,000\,000\,21\dots \\e^{\pi {\sqrt {163}}}&=\left({\frac {e^{\frac {\ pi i}{6}}\eta (\tau )}{\eta (5\tau )}}\right)^{6}-6.000\,000\,000\,000\,000\,034\dots \end{выровнено}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
где коэффициенты эта — это алгебраические числа, приведенные выше.
Номера класса 2
Три числа 88, 148, 232, для которых мнимое квадратичное поле имеет номер класса 2, не являются числами Хегнера, но обладают некоторыми схожими свойствами в терминах почти целых чисел . Например, ![{\displaystyle \mathbb {Q} \left[{\sqrt {-d}}\right]}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\begin{aligned}e^{\pi {\sqrt {88}}}+8\,744&\approx {\color {white}00\,00}2\,508\,952^{2 }-0,077\dots \\e^{\pi {\sqrt {148}}}+8\,744&\approx {\color {white}00\,}199\,148\,648^{2}-0,000 \,97\dots \\e^{\pi {\sqrt {232}}}+8\,744&\approx 24\,591\,257\,752^{2}-0.000\,0078\dots \\ \end{выровнено}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\begin{aligned}e^{\pi {\sqrt {22}}}-24&\approx {\color {white}00}\left(6+4{\sqrt {2}}\right) ^{6}+0,000\,11\dots \\e^{\pi {\sqrt {37}}}+24&\approx \left(12+2{\sqrt {37}}\right)^{6} -0,000\,0014\dots \\e^{\pi {\sqrt {58}}}-24&\approx \left(27+5{\sqrt {29}}\right)^{6}-0,000\, 000\,0011\dots \\\end{выровнено}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Последовательные простые числа
Учитывая нечетное простое число p , если вычислять для (этого достаточно, потому что ), можно получить последовательные составные числа, за которыми следуют последовательные простые числа, тогда и только тогда, когда p является числом Хигнера. [14]![{\displaystyle k^{2}\mod p}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \textstyle k=0,1,\dots, {\frac {p-1}{2}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \left(pk\right)^{2}\equiv k^{2}\mod p}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Подробности см. в разделе «Квадратичные полиномы, производящие последовательные различные простые числа и группы классов комплексных квадратичных полей» Ричарда Моллина. [15]
Примечания и ссылки
- ^ Конвей, Джон Хортон ; Гай, Ричард К. (1996). Книга чисел. Спрингер. п. 224. ИСБН 0-387-97993-Х.
- ^ Старк, Х.М. (1969), «О пробеле в теореме Хигнера» (PDF) , Журнал теории чисел , 1 (1): 16–27, Бибкод : 1969JNT.....1...16S, doi : 10.1016/0022-314X(69)90023-7, hdl : 2027.42/33039
- ^ Рабинович, Георг "Eindeutigkeit der Zerlegung in Primzahlfaktoren inquadatischen Zahlkörpern". Учеб. Пятый интернат. Конгресс математики. (Кембридж) 1, 418–421, 1913.
- ^ Le Lionnais, F. Les nombres remarquables. Париж: Герман, стр. 88 и 144, 1983.
- ^ Вайсштейн, Эрик В. «Трансцендентное число». Математический мир .дает , по материалам Нестеренко Ю. В. «Об алгебраической независимости компонент решений системы линейных дифференциальных уравнений». Изв. Акад. Наук СССР, сер. Мат. 38, 495–512, 1974. Английский перевод по математике. СССР 8, 501–518, 1974.
![{\displaystyle е^{\pi {\sqrt {d}}},d\in Z^{*}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- ^ Константа Рамануджана - из Wolfram MathWorld
- ^ Барроу, Джон Д. (2002). Константы природы . Лондон: Джонатан Кейп. п. 72. ИСБН 0-224-06135-6.
- ^ Гарднер, Мартин (апрель 1975 г.). «Математические игры». Научный американец . Scientific American, Inc. 232 (4): 127. Бибкод : 1975SciAm.232e.102G. doi : 10.1038/scientificamerican0575-102.
- ^ Это можно проверить, вычислив
![{\displaystyle {\sqrt[{3}]{e^{\pi {\sqrt {d}}}-744}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
на калькуляторе и![{\displaystyle {\frac {196\,884}{e^{\pi {\sqrt {d}}}}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
для линейного члена ошибки. - ^ «Подробнее о e^(pi*SQRT(163))».
- ^ Абсолютное отклонение случайного действительного числа (выбранного, скажем, равномерно из [0,1] ) является равномерно распределенной переменной на [0, 0,5] , поэтому оно имеет абсолютное среднее отклонение и медианное абсолютное отклонение 0,25, а также отклонение 0,22 не является исключением.
- ^ «Формулы Пи».
- ^ «Расширение этаных коэффициентов Дедекинда Рамануджана».
- ^ «Простые комплексные квадратичные поля».
- ^ Моллин, РА (1996). «Квадратичные многочлены, производящие последовательные, различные простые числа и группы классов комплексных квадратичных полей» (PDF) . Акта Арифметика . 74 : 17–30. дои : 10.4064/aa-74-1-17-30.
Внешние ссылки
- Вайсштейн, Эрик В. «Число Хегнера». Математический мир .
- Последовательность OEIS A003173 (числа Хегнера: мнимые квадратичные поля с уникальной факторизацией)
- Проблема числа классов Гаусса для мнимых квадратичных полей, Дориан Голдфельд: Подробная история проблемы.
- Кларк, Алекс. «163 и Рамануджан Констант». Числофил . Брэйди Харан . Архивировано из оригинала 16 мая 2013 г. Проверено 2 апреля 2013 г.