В теории чисел идеальная группа классов ( или группа классов ) поля алгебраических чисел K — это факторгруппа JK / PK , где JK — группа дробных идеалов кольца целых чисел K , а PK — ее подгруппа главных идеалов . Группа классов является мерой того, в какой степени уникальная факторизация не удалась в кольце целых чисел K . Порядок группы , который конечен , называется номером класса K.
Теория распространяется на области Дедекинда и их поля частных , для которых мультипликативные свойства тесно связаны со структурой группы классов. Например, группа классов дедекиндовой области тривиальна тогда и только тогда, когда кольцо является уникальной областью факторизации .
Идеальные группы классов (или, скорее, то, что фактически представляло собой идеальные группы классов) изучались за некоторое время до того, как была сформулирована идея идеала . Эти группы появились в теории квадратичных форм : в случае бинарных целочисленных квадратичных форм, приведённых в нечто вроде окончательной формы Карлом Фридрихом Гауссом , закон композиции был определён на некоторых классах эквивалентности форм. Это дало конечную абелеву группу , как это было признано в то время.
Позже Эрнст Куммер работал над теорией круговых полей . Было осознано (вероятно, несколькими людьми), что неспособность завершить доказательство в общем случае Великой теоремы Ферма путем факторизации с использованием корней из единицы произошла по очень веской причине: неудача однозначной факторизации, т. е. фундаментальной теоремы арифметики. – удержаться в кольцах , порожденных этими корнями единства, было серьезным препятствием. В результате работы Куммера впервые появилось исследование препятствий факторизации. Теперь мы признаем это частью идеальной группы классов: фактически Куммер выделил p - кручение в этой группе для поля p -корней из единицы для любого простого числа p как причину неудачи стандартного метода. атаки на проблему Ферма (см. обычное простое число ).
Несколько позже Рихард Дедекинд вновь сформулировал понятие идеала, Куммер работал по-иному. На этом этапе существующие примеры можно было бы унифицировать. Было показано, что хотя кольца целых алгебраических чисел не всегда имеют уникальную факторизацию на простые числа (поскольку они не обязательно должны быть областями главных идеалов ), они обладают тем свойством, что каждый собственный идеал допускает уникальную факторизацию как произведение простых идеалов (т. е. , каждое кольцо целых алгебраических чисел является дедекиндовой областью ). Размер группы идеальных классов можно рассматривать как меру отклонения кольца от области главного идеала; Кольцо является областью главных идеалов тогда и только тогда, когда оно имеет тривиальную группу классов идеалов.
Если R — область целостности , определите отношение ~ на ненулевых дробных идеалах R посредством I ~ J всякий раз, когда существуют ненулевые элементы a и b из R такие, что ( a ) I = ( b ) J. (Здесь обозначение ( a ) означает главный идеал R , состоящий из всех кратных a .) Легко показать, что это отношение эквивалентности . Классы эквивалентности называются идеальными классами R . Классы идеалов можно умножать: если [ I ] обозначает класс эквивалентности идеала I , то умножение [ I ][ J ] = [ IJ ] корректно определено и коммутативно . Главные идеалы образуют идеальный класс [ R ], который служит единичным элементом для этого умножения. Таким образом, класс [ I ] имеет обратный [ J ] тогда и только тогда, когда существует идеал J такой, что IJ является главным идеалом. В общем случае такой J может не существовать и, следовательно, множество идеальных классов R может быть только моноидом .
Однако, если R является кольцом целых алгебраических чисел в поле алгебраических чисел или, в более общем смысле , областью Дедекинда , умножение, определенное выше , превращает набор дробных классов идеалов в абелеву группу , группу идеальных классов R. Групповое свойство существования обратных элементов легко следует из того факта, что в дедекиндовой области каждый ненулевой идеал (кроме R ) является произведением простых идеалов .
Группа классов идеалов тривиальна (т.е. имеет только один элемент) тогда и только тогда, когда все идеалы R являются главными. В этом смысле группа идеальных классов измеряет, насколько R далек от области главных идеалов и, следовательно, от удовлетворения уникальной простой факторизации (области Дедекинда являются уникальными областями факторизации тогда и только тогда, когда они являются областями главных идеалов).
Число идеальных классов (т.номер класса R)вообще может быть бесконечным. Фактически, каждая абелева группаизоморфнагруппе идеальных классов некоторой дедекиндовой области. [1]Но еслиR— кольцо целых алгебраических чисел, то число классов всегдаконечно. Это один из основных результатов классическойалгебраической теории чисел.
В общем, вычисление группы классов сложно; это можно сделать вручную для кольца целых чисел в поле алгебраических чисел с малым дискриминантом , используя оценку Минковского . Этот результат дает оценку, зависящую от кольца, такую, что каждый идеальный класс содержит идеальную норму, меньшую, чем граница. В общем, граница недостаточно точна, чтобы сделать расчет практичным для полей с большим дискриминантом, но компьютеры хорошо подходят для этой задачи.
Отображение колец целых чисел R в соответствующие им группы классов является функториальным , и группа классов может быть отнесена к разделу алгебраической K-теории , причем K 0 ( R ) является функтором, присваивающим R его идеальную группу классов; точнее, K 0 ( R ) = Z × C ( R ), где C ( R ) — группа классов. Группы с высшим K также можно использовать и арифметически интерпретировать в связи с кольцами целых чисел.
Выше было отмечено, что группа идеальных классов дает часть ответа на вопрос, насколько идеалы в дедекиндовой области ведут себя как элементы. Другую часть ответа дает группа единиц дедекиндовой области, поскольку переход от главных идеалов к их образующим требует использования единиц (и это остальная причина введения понятия дробного идеала, а также ):
Определите отображение R × в множество всех ненулевых дробных идеалов R , отправив каждый элемент в главный (дробный) идеал, который он порождает. Это групповой гомоморфизм ; его ядро — это группа единиц R , а его коядро — идеальная группа классов R. Неспособность этих групп быть тривиальными является мерой неспособности отображения быть изоморфизмом: это неспособность идеалов действовать как кольцевые элементы, то есть как числа.
Если — целое число без квадратов (произведение различных простых чисел), отличное от 1, то это квадратичное расширение Q . Если , то номер класса кольца целых алгебраических чисел равен 1 ровно для следующих значений : . Этот результат был впервые выдвинут Гауссом и доказан Куртом Хигнером , хотя в доказательство Хигнера не верили до тех пор, пока Гарольд Старк не дал более позднее доказательство в 1967 году. (См. Теорему Старка-Хигнера .) Это частный случай знаменитой проблемы числа классов .
Если же d > 0, то неизвестно, существует ли бесконечно много полей с номером класса 1. Результаты вычислений показывают, что таких полей очень много. Однако неизвестно даже, существует ли бесконечно много числовых полей с номером класса 1. [2]
При d < 0 группа идеальных классов изоморфна группе классов целых бинарных квадратичных форм дискриминанта , равного дискриминанту . Для d > 0 идеальная группа классов может быть вдвое меньше, поскольку группа классов целых бинарных квадратичных форм изоморфна узкой группе классов . [3]
Для вещественных квадратичных целочисленных колец номер класса указан в OEIS A003649; для мнимого случая они приведены в OEIS A000924.
Кольцо квадратичных целых чисел R = Z [ √ −5 ] является кольцом целых чисел Q ( √ −5 ). Он не обладает уникальной факторизацией; на самом деле группа классов R является циклической порядка 2. Действительно, идеал
не является главным, что можно доказать от противного следующим образом. имеет нормальную функцию , которая удовлетворяет условиям , и тогда и только тогда, когда является единицей в . Прежде всего, потому что факторкольцо по модулю идеала изоморфно , так что факторкольцо по модулю изоморфно . Если бы J был порожден элементом x из R , то x делил бы и 2, и 1 + √ −5 . Тогда норма делила бы оба и , поэтому N (x) делила бы 2. Если то - единица и , противоречие. Но и 2 быть не может, потому что R не имеет элементов нормы 2, потому что диофантово уравнение не имеет решений в целых числах, как и не имеет решений по модулю 5 .
Также вычисляется, что J 2 = (2), что является главным, поэтому класс J в группе идеальных классов имеет второй порядок. Чтобы доказать, что других идеальных классов не существует, требуется больше усилий.
Тот факт, что этот J не является главным, также связан с тем, что элемент 6 имеет две различные разложения на неприводимые :
Теория полей классов — это раздел теории алгебраических чисел , который стремится классифицировать все абелевы расширения данного поля алгебраических чисел, то есть расширения Галуа с абелевой группой Галуа . Особенно красивый пример можно найти в поле классов Гильберта числового поля, которое можно определить как максимальное неразветвленное абелево расширение такого поля. Поле класса Гильберта L числового поля K уникально и обладает следующими свойствами:
Ни одно из свойств не так-то легко доказать.
