Числовой (или числовой ) — это базовый стандарт , по которому вычисляется значение. В математической экономике это торгуемый экономический объект, в цене которого выражаются относительные цены всех других торгуемых товаров. В монетарной экономике одна из функций денег состоит в том, чтобы действовать как числовая единица, т.е. служить в качестве расчетной единицы и, следовательно, обеспечивать общий эталон, относительно которого можно измерять стоимость различных товаров и услуг.
Использование нумератора, будь то денежного или какого-либо потребительского товара, облегчает сравнение стоимости, когда важны только относительные цены, как в теории общего равновесия . Когда экономический анализ называет конкретный товар числовым, говорят, что все остальные цены нормализуются по цене этого товара. Например, если единица товара g имеет вдвое большую рыночную стоимость единицы цифрового товара, то (относительная) цена товара g равна 2. Поскольку стоимость одной единицы цифрового товара по отношению к одной единице самого себя равна 1, цена нумератора всегда равна 1.
На финансовом рынке, где обращаются ценные бумаги, можно использовать числовой метод для оценки активов. Например, пусть это цена 1 доллара США, который был инвестирован в денежный рынок в момент времени 0 , в момент времени t . Фундаментальная теорема ценообразования активов гласит, что все активы , оцененные в числовых единицах (в данном случае M ), являются мартингалами по отношению к нейтральной к риску мере , скажем . То есть:
Теперь предположим, что это еще один строго положительный торгуемый актив (и, следовательно, мартингейл, если оценивать его с точки зрения денежного рынка). Тогда мы можем определить новую вероятностную меру с помощью производной Радона–Никодима
Тогда можно показать, что это мартингейл, если оценивать его с точки зрения нового числа :
Этот метод имеет множество важных применений в моделях LIBOR и своп -рынках, а также на товарных рынках. Джамшидиан (1989) впервые использовал его в контексте модели Васичека для процентных ставок для расчета цен опционов на облигации. Жеман, Эль Каруи и Роше (1995) представили общую формальную основу для изменения техники вычислений. См., например, Brigo and Mercurio (2001) [1] об изменении набора инструментов для расчета.
Определение подходящей нумерации основано на нескольких моделях финансового ценообразования, таких как опционы и определенные активы. Идентификация рискованного актива как числового связана с количеством базовых активов для моделирования. Базовые сдвиги моделируются следующим образом:
где 1 определяет нумерацию.
![{\displaystyle {\frac {S(t)}{M(t)}}=E_{Q}\left[{\frac {S(T)}{M(T)}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd66e6baaa83dbed422fbcf19002d7c9688fd56a)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{}\quad E_{Q^{N}}\left[{\frac {S(T)}{N(T)}}\right]\\&=E_{ Q}\left[{\frac {N(T)}{M(T)}}{\frac {S(T)}{N(T)}}\right]/E_{Q}\left[{\ frac {N(T)}{M(T)}}\right]\\&={\frac {M(t)}{N(t)}}E_{Q}\left[{\frac {S( T)}{M(T)}}\right]\\&={\frac {M(t)}{N(t)}}{\frac {S(t)}{M(t)}}\ \&={\frac {S(t)}{N(t)}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd201f925f13ab360419587a61800a9e4f1759dd)
