модель Васичека

Математическая модель процентных ставок

Траектория краткосрочной ставки и соответствующие кривые доходности при T=0 (фиолетовый) и двух более поздних моментах времени

В финансах модель Васичека — это математическая модель, описывающая эволюцию процентных ставок . Это тип однофакторной модели краткосрочной ставки , поскольку она описывает изменения процентных ставок, обусловленные только одним источником рыночного риска . Модель может использоваться при оценке процентных деривативов , а также была адаптирована для кредитных рынков. Она была введена в 1977 году Олдржихом Вашичеком ^[1] и может также рассматриваться как стохастическая инвестиционная модель .

Подробности

Модель определяет, что мгновенная процентная ставка следует стохастическому дифференциальному уравнению :

${\displaystyle dr_{t}=a(b-r_{t})\,dt+\sigma \,dW_{t}}$

где W _t — винеровский процесс в рамках нейтральной по риску структуры, моделирующий случайный рыночный риск-фактор, в том смысле, что он моделирует непрерывный приток случайности в систему. Параметр стандартного отклонения , , определяет волатильность процентной ставки и в некотором роде характеризует амплитуду мгновенного притока случайности. Типичные параметры и , вместе с начальным условием , полностью характеризуют динамику и могут быть быстро охарактеризованы следующим образом, предполагая, что они неотрицательны: ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle b,a}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle r_{0}}$ ${\displaystyle a}$

• ${\displaystyle b}$: "долгосрочный средний уровень". Все будущие траектории будут развиваться вокруг среднего уровня b в долгосрочной перспективе; ${\displaystyle r}$
• ${\displaystyle a}$: «скорость реверсии». Характеризует скорость, с которой такие траектории будут перегруппировываться во времени; ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$
• ${\displaystyle \sigma }$: "мгновенная волатильность", измеряет момент за моментом амплитуду случайности, входящей в систему. Выше подразумевает большую случайность ${\displaystyle \sigma }$

Следующая производная величина также представляет интерес:

• ${\displaystyle {\sigma ^{2}}/(2a)}$: "долгосрочная дисперсия". Все будущие траектории будут перегруппировываться вокруг долгосрочного среднего с такой дисперсией через долгое время. ${\displaystyle r}$

${\displaystyle a}$и имеют тенденцию противостоять друг другу: увеличение увеличивает количество случайности, входящей в систему, но в то же время увеличение означает увеличение скорости, с которой система будет статистически стабилизироваться вокруг долгосрочного среднего значения с коридором дисперсии, определяемым также . Это становится ясно при рассмотрении долгосрочной дисперсии, ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a}$

${\displaystyle {\frac {\sigma ^{2}}{2a}}}$

который увеличивается с , но уменьшается с . ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle a}$

Эта модель представляет собой стохастический процесс Орнштейна-Уленбека . Приведение долгосрочного среднего стохастического к другому SDE является упрощенной версией коинтелляции SDE. ^[2]

Обсуждение

Модель Васичека была первой, которая уловила возврат к среднему значению , существенную характеристику процентной ставки, которая отличает ее от других финансовых цен. Таким образом, в отличие от цен акций , например, процентные ставки не могут расти бесконечно. Это связано с тем, что на очень высоком уровне они будут препятствовать экономической активности, вызывая снижение процентных ставок. Аналогично, процентные ставки обычно не опускаются ниже 0. В результате процентные ставки движутся в ограниченном диапазоне, демонстрируя тенденцию к возвращению к долгосрочному значению.

Фактор дрейфа представляет собой ожидаемое мгновенное изменение процентной ставки в момент времени t . Параметр b представляет собой долгосрочное равновесное значение, к которому возвращается процентная ставка. Действительно, при отсутствии шоков ( ) процентная ставка остается постоянной, когда r _t = b . Параметр a , регулирующий скорость корректировки, должен быть положительным, чтобы обеспечить стабильность вокруг долгосрочного значения. Например, когда r _t ниже b , член дрейфа становится положительным для положительного a , создавая тенденцию к повышению процентной ставки (к равновесию). ${\displaystyle a(b-r_{t})}$ ${\displaystyle dW_{t}=0}$ ${\displaystyle a(b-r_{t})}$

Главным недостатком является то, что в модели Васичека теоретически возможно, что процентная ставка станет отрицательной, что является нежелательной особенностью в докризисных предположениях. Этот недостаток был исправлен в модели Кокса–Ингерсолла–Росса , экспоненциальной модели Васичека, модели Блэка–Дермана–Тоя и модели Блэка–Карасинского , среди многих других. Модель Васичека была дополнительно расширена в модели Халла–Уайта . Модель Васичека также является каноническим примером модели аффинной временной структуры , наряду с моделью Кокса–Ингерсолла–Росса . В недавних исследованиях обе модели использовались для разделения данных и прогнозирования. ^[3]

Асимптотическое среднее и дисперсия

Решаем стохастическое дифференциальное уравнение и получаем

${\displaystyle r_{t}=r_{0}e^{-at}+b\left(1-e^{-at}\right)+\sigma e^{-at}\int _{0}^{t}e^{as}\,dW_{s}.\,\!}$

Используя аналогичные методы, применяемые к стохастическому процессу Орнштейна–Уленбека, мы получаем, что переменная состояния распределена нормально со средним значением

${\displaystyle \mathrm {E} [r_{t}]=r_{0}e^{-at}+b(1-e^{-at})}$

и дисперсия

${\displaystyle \mathrm {Var} [r_{t}]={\frac {\sigma ^{2}}{2a}}(1-e^{-2at}).}$

Следовательно, мы имеем

${\displaystyle \lim _{t\to \infty }\mathrm {E} [r_{t}]=b}$

и

${\displaystyle \lim _{t\to \infty }\mathrm {Var} [r_{t}]={\frac {\sigma ^{2}}{2a}}.}$

Ценообразование облигаций

При предположении отсутствия арбитража дисконтная облигация может быть оценена в модели Васичека. Временная стоимость дисконтной облигации с датой погашения экспоненциально аффинна по процентной ставке: ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle T}$

${\displaystyle P(t,T)=e^{A(t,T)-B(t,T)r(t)}}$

где

${\displaystyle B(t,T)={\frac {1-e^{-a(T-t)}}{a}}}$

${\displaystyle A(t,T)=\left(b-{\frac {\sigma ^{2}}{2a^{2}}}\right)\left[B(t,T)-(T-t)\right]-{\frac {\sigma ^{2}}{4a}}B^{2}(t,T)}$

Смотрите также

• Процесс Орнштейна–Уленбека .
• Модель Халла–Уайта
• Модель Кокса–Ингерсолла–Росса

Ссылки

1. Васичек, О. (1977). «Равновесная характеристика временной структуры». Журнал финансовой экономики . 5 (2): 177–188. CiteSeerX  10.1.1.164.447 . doi :10.1016/0304-405X(77)90016-2.
2. Махдави Дамгани Б. (2013). «Не вводящая в заблуждение ценность выводимой корреляции: введение в модель коинтеляции». Wilmott Magazine . 2013 (67): 50–61. doi :10.1002/wilm.10252.
3. Орландо, Джузеппе; Минини, Роза Мария; Буфало, Микеле (июль 2020 г.). «Прогнозирование процентных ставок с использованием моделей Васичека и CIR: подход к разделению». Journal of Forecasting . 39 (4): 569–579. arXiv : 1901.02246 . doi :10.1002/for.2642. ISSN  0277-6693. S2CID  126507446.

• Халл, Джон К. (2003). Опционы, фьючерсы и другие производные инструменты . Верхняя Сэддл-Ривер, Нью-Джерси: Prentice Hall . ISBN 978-0-13-009056-0.
• Дамиано Бриго, Фабио Меркурио (2001). Модели процентных ставок – теория и практика с улыбкой, инфляцией и кредитом (2-е изд. 2006 г.). Springer Verlag. ISBN 978-3-540-22149-4.
• Джессика Джеймс, Ник Веббер (2000). Моделирование процентной ставки . Wiley. ISBN 978-0-471-97523-6.

Внешние ссылки

• Модель Васичека, Бьёрн Эракер, Висконсинская школа бизнеса
• Оценка и прогнозирование кривой доходности с помощью модели Васичека, Д. Баязит, Ближневосточный технический университет