Процесс Орнштейна-Уленбека

Стохастический процесс, моделирующий случайное блуждание с трением

Пять симуляций с θ = 1, σ = 1 и µ = 0.

3D-моделирование с θ = 1, σ = 3, µ = (0, 0, 0) и начальной позицией (10, 10, 10).

В математике процесс Орнштейна–Уленбека — это стохастический процесс с приложениями в финансовой математике и физических науках. Его первоначальное применение в физике было в качестве модели скорости массивной броуновской частицы под влиянием трения. Он назван в честь Леонарда Орнштейна и Джорджа Юджина Уленбека .

Процесс Орнштейна–Уленбека является стационарным процессом Гаусса–Маркова , что означает, что это гауссовский процесс , марковский процесс и является однородным во времени. Фактически, это единственный нетривиальный процесс, который удовлетворяет этим трем условиям, вплоть до допуска линейных преобразований пространственных и временных переменных. ^[1] С течением времени процесс имеет тенденцию дрейфовать к своей средней функции: такой процесс называется процессом, возвращающимся к среднему .

Процесс можно рассматривать как модификацию случайного блуждания в непрерывном времени или процесса Винера , в котором свойства процесса были изменены таким образом, что существует тенденция блуждания к движению назад к центральному положению, с большим притяжением, когда процесс находится дальше от центра. Процесс Орнштейна–Уленбека также можно рассматривать как аналог процесса AR(1) в непрерывном времени в дискретном времени .

Определение

Упрощенная формула для процесса Орнштейна–Уленбека из фрески, показанной ниже.

Голландский художественный коллектив De Strakke Hand: фреска Леонарда Орнштейна, изображающая Орнштейна как соучредителя Голландского физического общества ( Нидерландское физическое общество ) за своим столом в 1921 году, и иллюстрирующая дважды случайное блуждание пьяницы с упрощенной формулой для процесса Орнштейна–Уленбека. Остеркаде, Утрехт, Нидерланды, недалеко от лаборатории Орнштейна. Перевод текста: Профессор Орнштейн исследует случайное движение, 1930 год.

Процесс Орнштейна–Уленбека определяется следующим стохастическим дифференциальным уравнением : ${\displaystyle x_{t}}$

${\displaystyle dx_{t}=-\theta \,x_{t}\,dt+\sigma \,dW_{t}}$

где и являются параметрами и обозначает процесс Винера . ^{[2] [3] [4]} ${\displaystyle \theta >0}$ ${\displaystyle \sigma >0}$ ${\displaystyle W_{t}}$

Иногда добавляют дополнительный термин дрейфа:

${\displaystyle dx_{t}=\theta (\mu -x_{t})\,dt+\sigma \,dW_{t}}$

где — константа. Процесс Орнштейна–Уленбека иногда также записывается как уравнение Ланжевена вида ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle {\frac {dx_{t}}{dt}}=-\theta \,x_{t}+\sigma \,\eta (t)}$

где , также известный как белый шум , заменяет предполагаемую производную винеровского процесса. ^[5] Однако не существует, поскольку винеровский процесс нигде не дифференцируем, ^[6] и поэтому уравнение Ланжевена имеет смысл только в том случае, если его интерпретировать в распределительном смысле. В физических и инженерных дисциплинах это общепринятое представление для процесса Орнштейна–Уленбека и подобных стохастических дифференциальных уравнений, при этом молчаливо предполагается, что шумовой член является производной дифференцируемой (например, Фурье) интерполяции винеровского процесса. ${\displaystyle \eta (t)}$ ${\displaystyle dW_{t}/dt}$ ${\displaystyle dW_{t}/dt}$

Представление уравнения Фоккера–Планка

Процесс Орнштейна–Уленбека также можно описать с помощью функции плотности вероятности, которая определяет вероятность нахождения процесса в состоянии в момент времени . ^[5] Эта функция удовлетворяет уравнению Фоккера–Планка ${\displaystyle P(x,t)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle t}$

${\displaystyle {\frac {\partial P}{\partial t}}=\theta {\frac {\partial }{\partial x}}(xP)+D{\frac {\partial ^{2}P}{\partial x^{2}}}}$

где . Это линейное параболическое уравнение в частных производных , которое можно решить различными методами. Вероятность перехода, также известная как функция Грина , является гауссовой со средним значением и дисперсией : ${\displaystyle D=\sigma ^{2}/2}$ ${\displaystyle P(x,t\mid x',t')}$ ${\displaystyle x'e^{-\theta (t-t')}}$ ${\displaystyle {\frac {D}{\theta }}\left(1-e^{-2\theta (t-t')}\right)}$

${\displaystyle P(x,t\mid x',t')={\sqrt {\frac {\theta }{2\pi D(1-e^{-2\theta (t-t')})}}}\exp \left[-{\frac {\theta }{2D}}{\frac {(x-x'e^{-\theta (t-t')})^{2}}{1-e^{-2\theta (t-t')}}}\right]}$

Это дает вероятность состояния, возникающего в момент времени при заданном начальном состоянии в момент времени . Эквивалентно, это решение уравнения Фоккера–Планка с начальным условием . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle x'}$ ${\displaystyle t'<t}$ ${\displaystyle P(x,t\mid x',t')}$ ${\displaystyle P(x,t')=\delta (x-x')}$

Математические свойства

При условии определенного значения среднее значение равно ${\displaystyle x_{0}}$

${\displaystyle \operatorname {\mathbb {E} } (x_{t}\mid x_{0})=x_{0}e^{-\theta t}+\mu (1-e^{-\theta t})}$

и ковариация равна

${\displaystyle \operatorname {cov} (x_{s},x_{t})={\frac {\sigma ^{2}}{2\theta }}\left(e^{-\theta |t-s|}-e^{-\theta (t+s)}\right).}$

Для стационарного (необусловленного) процесса среднее значение равно , а ковариация и равна . ${\displaystyle x_{t}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle x_{s}}$ ${\displaystyle x_{t}}$ ${\displaystyle {\frac {\sigma ^{2}}{2\theta }}e^{-\theta |t-s|}}$

Процесс Орнштейна–Уленбека является примером гауссовского процесса , который имеет ограниченную дисперсию и допускает стационарное распределение вероятностей , в отличие от процесса Винера ; разница между ними заключается в их «дрейфовом» члене. Для процесса Винера дрейфовый член постоянен, тогда как для процесса Орнштейна–Уленбека он зависит от текущего значения процесса: если текущее значение процесса меньше (долгосрочного) среднего, дрейф будет положительным; если текущее значение процесса больше (долгосрочного) среднего, дрейф будет отрицательным. Другими словами, среднее значение действует как уровень равновесия для процесса. Это дает процессу его информативное название «возвращающийся к среднему».

Свойства выборочных путей

Однородный во времени процесс Орнштейна–Уленбека можно представить как масштабированный, преобразованный во времени процесс Винера :

${\displaystyle x_{t}={\frac {\sigma }{\sqrt {2\theta }}}e^{-\theta t}W_{e^{2\theta t}}}$

где — стандартный процесс Винера. Это примерно теорема 1.2 в Doob 1942. Эквивалентно, с заменой переменной это становится ${\displaystyle W_{t}}$ ${\displaystyle s=e^{2\theta t}}$

${\displaystyle W_{s}={\frac {\sqrt {2\theta }}{\sigma }}s^{1/2}x_{(\ln s)/(2\theta )},\qquad s>0}$

Используя это отображение, можно перевести известные свойства в соответствующие утверждения для . Например, закон повторного логарифма для становится ^[1] ${\displaystyle W_{t}}$ ${\displaystyle x_{t}}$ ${\displaystyle W_{t}}$

${\displaystyle \limsup _{t\to \infty }{\frac {x_{t}}{\sqrt {(\sigma ^{2}/\theta )\ln t}}}=1,\quad {\text{with probability 1.}}}$

Формальное решение

Стохастическое дифференциальное уравнение для может быть формально решено путем изменения параметров . ^[7] Запись ${\displaystyle x_{t}}$

${\displaystyle f(x_{t},t)=x_{t}e^{\theta t}\,}$

мы получаем

${\displaystyle {\begin{aligned}df(x_{t},t)&=\theta \,x_{t}\,e^{\theta t}\,dt+e^{\theta t}\,dx_{t}\\[6pt]&=e^{\theta t}\theta \,\mu \,dt+\sigma \,e^{\theta t}\,dW_{t}.\end{aligned}}}$

Интегрируя от до получаем ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle t}$

${\displaystyle x_{t}e^{\theta t}=x_{0}+\int _{0}^{t}e^{\theta s}\theta \,\mu \,ds+\int _{0}^{t}\sigma \,e^{\theta s}\,dW_{s}\,}$

после чего мы видим

${\displaystyle x_{t}=x_{0}\,e^{-\theta t}+\mu \,(1-e^{-\theta t})+\sigma \int _{0}^{t}e^{-\theta (t-s)}\,dW_{s}.\,}$

Из этого представления видно , что первый момент (т.е. среднее значение) равен

${\displaystyle \operatorname {E} (x_{t})=x_{0}e^{-\theta t}+\mu (1-e^{-\theta t})\!\ }$

предполагая, что является константой. Более того, изометрия Ито может быть использована для вычисления ковариационной функции по ${\displaystyle x_{0}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {cov} (x_{s},x_{t})&=\operatorname {E} [(x_{s}-\operatorname {E} [x_{s}])(x_{t}-\operatorname {E} [x_{t}])]\\[5pt]&=\operatorname {E} \left[\int _{0}^{s}\sigma e^{\theta (u-s)}\,dW_{u}\int _{0}^{t}\sigma e^{\theta (v-t)}\,dW_{v}\right]\\[5pt]&=\sigma ^{2}e^{-\theta (s+t)}\operatorname {E} \left[\int _{0}^{s}e^{\theta u}\,dW_{u}\int _{0}^{t}e^{\theta v}\,dW_{v}\right]\\[5pt]&={\frac {\sigma ^{2}}{2\theta }}\,e^{-\theta (s+t)}(e^{2\theta \min(s,t)}-1)\\[5pt]&={\frac {\sigma ^{2}}{2\theta }}\left(e^{-\theta |t-s|}-e^{-\theta (t+s)}\right).\end{aligned}}}$

Поскольку интеграл Ито детерминированного интегранта распределен нормально, отсюда следует, что ^{[ необходима ссылка ]}

${\displaystyle x_{t}=x_{0}e^{-\theta t}+\mu (1-e^{-\theta t})+{\tfrac {\sigma }{\sqrt {2\theta }}}W_{1-e^{-2\theta t}}}$

Уравнения Колмогорова

Бесконечно малый генератор процесса равен ^[8] Если мы допустим , то уравнение собственных значений упрощается до: которое является определяющим уравнением для полиномов Эрмита . Его решениями являются , причем , что подразумевает, что среднее время первого прохождения для частицы, чтобы достичь точки на границе, имеет порядок . $${\displaystyle Lf=-\theta (x-\mu )f'+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}f''}$$ ${\displaystyle y=x{\sqrt {\frac {2\mu }{\sigma ^{2}}}}}$ $${\displaystyle {\frac {d^{2}}{dy^{2}}}\phi -y{\frac {d}{dy}}\phi +{\frac {\lambda }{\mu }}\phi =0}$$ ${\displaystyle \phi (y)=He_{n}(y)}$ ${\displaystyle \lambda =n\mu }$ ${\displaystyle \mu ^{-1}}$

Численное моделирование

Используя дискретно отобранные данные на временных интервалах шириной , оценки максимального правдоподобия для параметров процесса Орнштейна–Уленбека асимптотически нормальны к их истинным значениям. ^[9] Точнее, ^{[ неудачная проверка ]} ${\displaystyle t}$ $${\displaystyle {\sqrt {n}}\left({\begin{pmatrix}{\widehat {\theta }}_{n}\\{\widehat {\mu }}_{n}\\{\widehat {\sigma }}_{n}^{2}\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}\theta \\\mu \\\sigma ^{2}\end{pmatrix}}\right)\xrightarrow {d} \ {\mathcal {N}}\left({\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}{\frac {e^{2t\theta }-1}{t^{2}}}&0&{\frac {\sigma ^{2}(e^{2t\theta }-1-2t\theta )}{t^{2}\theta }}\\0&{\frac {\sigma ^{2}\left(e^{t\theta }+1\right)}{2\left(e^{t\theta }-1\right)\theta }}&0\\{\frac {\sigma ^{2}(e^{2t\theta }-1-2t\theta )}{t^{2}\theta }}&0&{\frac {\sigma ^{4}\left[\left(e^{2t\theta }-1\right)^{2}+2t^{2}\theta ^{2}\left(e^{2t\theta }+1\right)+4t\theta \left(e^{2t\theta }-1\right)\right]}{t^{2}\left(e^{2t\theta }-1\right)\theta ^{2}}}\end{pmatrix}}\right)}$$

Четыре примера путей различных OU-процессов с θ  = 1, σ  =  : синий : начальное значение a  = 10, μ  = 0 оранжевый : начальное значение a  = 0, μ  = 0 зеленый : начальное значение a  = −10, μ  = 0 красный : начальное значение a  = 0, μ  = −10 ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

Для численного моделирования процесса OU со стандартным отклонением и временем корреляции одним из методов является применение формулы конечных разностей ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \tau =1/\Theta }$

$${\displaystyle x(t+dt)=x(t)-\Theta \,dt\,x(t)+\Sigma {\sqrt {2\,dt\,\Theta }}\nu _{i}}$$где — нормально распределенное случайное число с нулевым средним значением и единичной дисперсией, выбираемое независимо на каждом временном шаге . ^[10] ${\displaystyle \nu _{i}}$ ${\displaystyle dt}$

Интерпретация предела масштабирования

Процесс Орнштейна–Уленбека можно интерпретировать как предел масштабирования дискретного процесса, так же как броуновское движение является пределом масштабирования случайных блужданий . Рассмотрим урну, содержащую синие и желтые шары. На каждом шаге шар выбирается случайным образом и заменяется шаром противоположного цвета. Пусть будет числом синих шаров в урне после шагов. Тогда сходится по закону к процессу Орнштейна–Уленбека, когда стремится к бесконечности. Это было получено Марком Кацем . ^[11] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle X_{k}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle {\frac {X_{[nt]}-n/2}{\sqrt {n}}}}$ ${\displaystyle n}$

Эвристически это можно получить следующим образом.

Пусть , и мы получим стохастическое дифференциальное уравнение в пределе. Сначала выведем С помощью этого мы можем вычислить среднее значение и дисперсию , что оказывается и . Таким образом, в пределе мы имеем , с решением (предполагая, что распределение является стандартным нормальным) . ${\displaystyle X_{t}^{(n)}:={\frac {X_{[nt]}-n/2}{\sqrt {n}}}}$ ${\displaystyle n\to \infty }$ $${\displaystyle \Delta t=1/n,\quad \Delta X_{t}^{(n)}=X_{t+\Delta t}^{(n)}-X_{t}^{(n)}.}$$ ${\displaystyle \Delta X_{t}^{(n)}}$ ${\displaystyle -2X_{t}^{(n)}\Delta t}$ ${\displaystyle \Delta t}$ ${\displaystyle n\to \infty }$ ${\displaystyle dX_{t}=-2X_{t}\,dt+dW_{t}}$ ${\displaystyle X_{0}}$ ${\displaystyle X_{t}=e^{-2t}W_{e^{4t}}}$

Приложения

В физике: шумовая релаксация

Процесс Орнштейна-Уленбека является прототипом шумного релаксационного процесса . Каноническим примером является пружина Гука ( гармонический осциллятор ) с жесткостью пружины , динамика которой сверхдемпфирована коэффициентом трения . При наличии тепловых колебаний с температурой длина пружины колеблется вокруг длины покоя пружины ; ее стохастическая динамика описывается процессом Орнштейна-Уленбека с ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle x_{0}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\theta &=k/\gamma ,\\\mu &=x_{0},\\\sigma &={\sqrt {2k_{B}T/\gamma }},\end{aligned}}}$

где выводится из уравнения Стокса–Эйнштейна для эффективной константы диффузии. ^{[12] [13]} Эта модель использовалась для характеристики движения броуновской частицы в оптической ловушке . ^{[13] [14]} ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle D=\sigma ^{2}/2=k_{B}T/\gamma }$

В состоянии равновесия пружина сохраняет среднюю энергию в соответствии с теоремой о равнораспределении . ^[15] ${\displaystyle \langle E\rangle =k\langle (x-x_{0})^{2}\rangle /2=k_{B}T/2}$

В финансовой математике

Процесс Орнштейна-Уленбека используется в модели процентной ставки Васичека . ^[16] Процесс Орнштейна-Уленбека является одним из нескольких подходов, используемых для моделирования (с модификациями) процентных ставок, валютных курсов и цен на сырьевые товары стохастически. Параметр представляет собой равновесное или среднее значение, поддерживаемое фундаментальными факторами ; степень волатильности вокруг него, вызванную шоками , и скорость, с которой эти шоки рассеиваются, а переменная возвращается к среднему значению. Одним из применений процесса является торговая стратегия, известная как парная торговля . ^{[17] [18] [19]} ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \theta }$

Дальнейшая реализация процесса Орнштейна–Уленбека была получена Марчелло Миненна для моделирования доходности акций в соответствии с динамикой логнормального распределения . Это моделирование направлено на определение доверительного интервала для прогнозирования явлений рыночных злоупотреблений . ^{[20] [21]}

В эволюционной биологии

Процесс Орнштейна-Уленбека был предложен в качестве усовершенствования модели броуновского движения для моделирования изменения фенотипов организмов с течением времени. ^[22] Модель броуновского движения подразумевает, что фенотип может двигаться без ограничений, тогда как для большинства фенотипов естественный отбор налагает плату за слишком большое перемещение в любом направлении. Метаанализ 250 временных рядов ископаемых фенотипов показал, что модель Орнштейна-Уленбека лучше всего подходит для 115 (46%) исследованных временных рядов, поддерживая стазис как распространенную эволюционную модель. ^[23] При этом существуют определенные проблемы с ее использованием: механизмы выбора модели часто склоняются к предпочтению процесса OU без достаточной поддержки, и неверная интерпретация легко может быть допущена ничего не подозревающим ученым. ^[24]

Обобщения

Можно определить процесс Орнштейна–Уленбека, управляемый Леви , в котором фоновый управляющий процесс является процессом Леви вместо процесса Винера: ^{[25] [26]}

${\displaystyle dx_{t}=-\theta \,x_{t}\,dt+\sigma \,dL_{t}}$

Здесь дифференциал процесса Винера заменен дифференциалом процесса Леви . ${\displaystyle W_{t}}$ ${\displaystyle L_{t}}$

Кроме того, в финансах используются стохастические процессы, в которых волатильность увеличивается для больших значений . В частности, процесс CKLS (Chan–Karolyi–Longstaff–Sanders) ^[27] с членом волатильности, замененным на , может быть решен в замкнутой форме для , а также для , что соответствует обычному процессу OU. Другим частным случаем является , что соответствует модели Кокса–Ингерсолла–Росса (CIR-модель). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \sigma \,x^{\gamma }\,dW_{t}}$ ${\displaystyle \gamma =1}$ ${\displaystyle \gamma =0}$ ${\displaystyle \gamma =1/2}$

Более высокие измерения

Многомерная версия процесса Орнштейна–Уленбека, обозначаемая N -мерным вектором , может быть определена из ${\displaystyle \mathbf {x} _{t}}$

${\displaystyle d\mathbf {x} _{t}=-{\boldsymbol {\beta }}\,\mathbf {x} _{t}\,dt+{\boldsymbol {\sigma }}\,d\mathbf {W} _{t}.}$

где — N -мерный винеровский процесс, а и — постоянные матрицы размера N × N. ^[28] Решение имеет вид ${\displaystyle \mathbf {W} _{t}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$

${\displaystyle \mathbf {x} _{t}=e^{-{\boldsymbol {\beta }}t}\mathbf {x} _{0}+\int _{0}^{t}e^{-{\boldsymbol {\beta }}(t-t')}{\boldsymbol {\sigma }}\,d\mathbf {W} _{t'}}$

и среднее значение равно

${\displaystyle \operatorname {E} (\mathbf {x} _{t})=e^{-{\boldsymbol {\beta }}t}\operatorname {E} (\mathbf {x} _{0}).}$

В этих выражениях используется матричная экспонента .

Процесс также можно описать с помощью функции плотности вероятности , которая удовлетворяет уравнению Фоккера–Планка ^[29] ${\displaystyle P(\mathbf {x} ,t)}$

${\displaystyle {\frac {\partial P}{\partial t}}=\sum _{i,j}\beta _{ij}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}(x_{j}P)+\sum _{i,j}D_{ij}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial x_{i}\,\partial x_{j}}}.}$

где матрица с компонентами определяется как . Что касается 1d случая, процесс является линейным преобразованием гауссовых случайных величин, и, следовательно, сам должен быть гауссовым. Из-за этого вероятность перехода является гауссовой, которую можно записать явно. Если действительные части собственных значений больше нуля, то стационарное решение, кроме того, существует, заданное как ${\displaystyle {\boldsymbol {D}}}$ ${\displaystyle D_{ij}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {D}}={\boldsymbol {\sigma }}{\boldsymbol {\sigma }}^{T}/2}$ ${\displaystyle P(\mathbf {x} ,t\mid \mathbf {x} ',t')}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}}$ ${\displaystyle P_{\text{st}}(\mathbf {x} )}$

${\displaystyle P_{\text{st}}(\mathbf {x} )=(2\pi )^{-N/2}(\det {\boldsymbol {\omega }})^{-1/2}\exp \left(-{\frac {1}{2}}\mathbf {x} ^{T}{\boldsymbol {\omega }}^{-1}\mathbf {x} \right)}$

где матрица определяется из уравнения Ляпунова . ^[5] ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}{\boldsymbol {\omega }}+{\boldsymbol {\omega }}{\boldsymbol {\beta }}^{T}=2{\boldsymbol {D}}}$

Смотрите также

• Стохастическое исчисление
• процесс Винера
• Гауссовский процесс
• Математические финансы
• Модель процентных ставок Васичека
• Модель краткосрочной ставки
• Диффузия
• Теорема флуктуации-диссипации
• Уравнение Клейна–Крамерса

Примечания

1. Дуб 1942.
2. Карацас и Шрив 1991, с. 358.
3. Гард 1988, стр. 115.
4. Гардинер 1985.
5. Рискен 1989.
6. Лоулер 2006.
7. Гардинер 1985, стр. 106.
8. Холмс-Серфон, Миранда (2022). «Лекция 12: Методы детального баланса и собственных функций» (PDF) .
9. Айт-Сахалия 2002, стр. 223–262.
10. Клоден, Платен и Шурц 1994.
11. Иглхарт 1968.
12. Нёрреликке и Фливбьерг 2011.
13. Goerlich et al. 2021.
14. Ли и др. 2019.
15. Нельсон 1967.
16. Бьорк 2009, стр. 375, 381.
17. Лёнг и Ли 2016.
18. Преимущества парной торговли: нейтральность рынка
19. Структура Орнштейна-Уленбека для парной торговли
20. «Обнаружение злоупотреблений на рынке». Журнал Risk. 2 ноября 2004 г.
21. «Выявление рыночных злоупотреблений на финансовых рынках: количественный подход». Consob – Итальянская комиссия по ценным бумагам и биржам.
22. Мартинс 1994, стр. 193–209.
23. Хант 2007.
24. Корнуо 2022.
25. Йесперсен, Мецлер и Фогедби 1999.
26. Финк и Клюппельберг 2011.
27. Чан и др. 1992.
28. Гардинер 1985, стр. 109.
29. Гардинер 1985, стр. 97.

Ссылки

• Айт-Сахалия, Й. (апрель 2002 г.). «Оценка максимального правдоподобия дискретно выбранной диффузии: подход с аппроксимацией в закрытой форме». Эконометрика . 70 (1): 223–262. doi :10.1111/1468-0262.00274.
• Биббона, Э.; Панфило, Г.; Тавелла, П. (2008). «Процесс Орнштейна–Уленбека как модель белого шума с фильтром нижних частот». Metrologia . 45 (6): S117–S126. Bibcode :2008Metro..45S.117B. doi :10.1088/0026-1394/45/6/S17. hdl : 2318/58227 . S2CID  56160285.
• Бьорк, Томас (2009). Теория арбитража в непрерывном времени (3-е изд.). Oxford University Press. ISBN 978-0-19-957474-2.
• Чан, К. К.; Кароли, Г. А.; Лонгстафф, Ф. А.; Сандерс, А. Б. (1992). «Эмпирическое сравнение альтернативных моделей краткосрочной процентной ставки». Журнал финансов . 47 (3): 1209–1227. doi : 10.1111/j.1540-6261.1992.tb04011.x .
• Корнуо, Жослен (2022). «Байесовский анализ сравнительных данных с моделью Орнштейна–Уленбека: потенциальные подводные камни». Systematic Biology . 71 (6): 1524–1540. doi :10.1093/sysbio/syac036. PMC  9558839 . PMID  35583306.
• Дуб, Дж. Л. (апрель 1942 г.). «Броуновское движение и стохастические уравнения». Annals of Mathematics . 43 (2): 351–369. doi :10.2307/1968873. ISSN  0003-486X. JSTOR  1968873.
• Финк, Хольгер; Клюппельберг, Клаудия (01.02.2011). "Дробные процессы Орнштейна–Уленбека, управляемые Леви, и стохастические дифференциальные уравнения". Бернулли . 17 (1). arXiv : 1102.1830 . doi :10.3150/10-bej281. ISSN  1350-7265. S2CID  9269536.
• Хант, Г. (14.11.2007). «Относительная важность направленного изменения, случайных блужданий и стазиса в эволюции ископаемых линий». Труды Национальной академии наук . 104 (47): 18404–18408. doi : 10.1073/pnas.0704088104 . ISSN  0027-8424. PMC 2141789.  PMID 18003931  .
• Гард, Томас С. (1988), Введение в стохастические дифференциальные уравнения , Марсель Деккер, ISBN 978-0-8247-7776-0
• Гардинер, Криспин В. (1985), Справочник по стохастическим методам (2-е изд.), Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-15607-1
• Gillespie, DT (1996). «Точное численное моделирование процесса Орнштейна–Уленбека и его интеграла». Phys. Rev. E. 54 ( 2): 2084–2091. Bibcode : 1996PhRvE..54.2084G. doi : 10.1103/PhysRevE.54.2084. PMID  9965289.
• Иглхарт, Дональд Л. (июнь 1968 г.). «Предельные теоремы для многоурновой модели Эренфеста». Анналы математической статистики . 39 (3): 864–876. doi : 10.1214/aoms/1177698318 . ISSN  0003-4851.
• Карацас, Иоаннис; Шрив, Стивен Э. (1991), Броуновское движение и стохастическое исчисление (2-е изд.), Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-97655-6
• Goerlich, Rémi; Li, Minghao; Albert, Samuel; Manfredi, Giovanni; Hervieux, Paul-Antoine; Genet, Cyriaque (19.03.2021). «Шум и эргодические свойства броуновского движения в оптическом пинцете: рассмотрение кроссоверов режимов в процессе Орнштейна-Уленбека». Physical Review E. 103 ( 3): 032132. arXiv : 2007.12246 . Bibcode : 2021PhRvE.103c2132G. doi : 10.1103/physreve.103.032132. ISSN  2470-0045. PMID  33862817. S2CID  220768666.
• Йесперсен, Суне; Метцлер, Ральф; Фогедбю, Ханс К. (1999-03-01). «Полеты Леви во внешних силовых полях: уравнения Ланжевена и дробные уравнения Фоккера-Планка и их решения». Physical Review E. 59 ( 3): 2736–2745. arXiv : cond-mat/9810176 . Bibcode : 1999PhRvE..59.2736J. doi : 10.1103/physreve.59.2736. ISSN  1063-651X. S2CID  51944991.
• Клоден, Питер Э.; Платен, Экхард; Шурц, Анри (1994). Численное решение СДУ посредством компьютерных экспериментов . Берлин: Springer-Verlag. ISBN 3-540-57074-8. OCLC  29788831.
• Лоулер, Грегори Ф. (2006). Введение в стохастические процессы (2-е изд.). Chapman & Hall/CRC. ISBN 978-1584886518.
• Leung, Tim; Li, Xin (2016). Оптимальная торговля с возвратом к среднему: математический анализ и практическое применение . World Scientific Publishing Co. ISBN 978-9814725910.
• Leung, Tim; Li, Xin (2015). «Оптимальная торговля с возвратом к среднему с транзакционными издержками и выходом по стоп-лоссу». Международный журнал теоретических и прикладных финансов . 18 (3): 1550020. arXiv : 1411.5062 . doi : 10.1142/S021902491550020X.
• Ли, Минхао; Сентисси, Усама; Аццини, Стефано; Шнеринг, Габриэль; Канагье-Дюран, Антуан; Жене, Сириак (10 декабря 2019 г.). «Субфемтоньютоновые силовые поля, измеренные с помощью эргодических броуновских ансамблей». Физический обзор А. 100 (6): 063816. arXiv : 1908.00610 . Бибкод : 2019PhRvA.100f3816L. doi :10.1103/physreva.100.063816. ISSN  2469-9926. S2CID  199405409.
• Мартинс, Эмилия П. (1994). «Оценка скорости фенотипической эволюции по сравнительным данным». The American Naturalist . 144 (2): 193–209. doi :10.1086/285670. ISSN  0003-0147. S2CID  85300707.
• Nørrelykke, Simon F.; Flyvbjerg, Henrik (2011-04-04). "Гармонический осциллятор в тепловой ванне: точное моделирование данных, записанных в режиме покадровой съемки, и точная аналитическая контрольная статистика". Physical Review E . 83 (4): 041103. arXiv : 1102.0524 . Bibcode :2011PhRvE..83d1103N. doi :10.1103/physreve.83.041103. ISSN  1539-3755. PMID  21599111. S2CID  18518657.
• Рискен, Х. (1989). Уравнение Фоккера–Планка: методы решения и приложения . Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 978-0387504988.
• Нельсон, Эдвард (1967). Динамические теории броуновского движения (PDF) . Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press. ISBN 0-691-07950-1. OCLC  769464.
• Уленбек, GE; Орнштейн, LS (1930). «О теории броуновского движения». Phys. Rev. 36 ( 5): 823–841. Bibcode :1930PhRv...36..823U. doi :10.1103/PhysRev.36.823.

Внешние ссылки

• Набор инструментов стохастических процессов для управления рисками, Дамиано Бриго, Антонио Далессандро, Маттиас Нойгебауэр и Фарес Трики
• Моделирование и калибровка процесса Орнштейна-Уленбека, М.А. ван ден Берг
• Оценка максимального правдоподобия процессов возврата к среднему, Хосе Карлос Гарсия Франко
• "Интерактивное веб-приложение: стохастические процессы, используемые в количественных финансах". Архивировано из оригинала 20-09-2015 . Получено 03-07-2015 .