В математике числа Евклида — это целые числа вида E n = p n # + 1 , где p n # — n- й ипримориал , т. е. произведение первых n простых чисел . Они названы в честь древнегреческого математика Евклида , в связи с теоремой Евклида о том, что существует бесконечно много простых чисел.
Например, первые три простых числа — 2, 3, 5; их произведение равно 30, а соответствующее число Евклида равно 31.
Первые несколько чисел Евклида — это 3 , 7 , 31 , 211 , 2311, 30031, 510511, 9699691, 223092871, 6469693231, 200560490131, ... (последовательность A006862 в OEIS ).
Иногда ошибочно утверждается, что знаменитое доказательство Евклида бесконечности простых чисел опиралось на эти числа. [1] Евклид не начинал с предположения, что множество всех простых чисел конечно. Вместо этого он сказал: рассмотрим любое конечное множество простых чисел (он не предполагал, что оно содержит только первые n простых чисел, например, это могли быть {3, 41, 53} ) и рассуждал отсюда о том, что существует по крайней мере одно простое число, не входящее в это множество. [2] Тем не менее, аргумент Евклида, примененный к множеству первых n простых чисел, показывает, что n -е число Евклида имеет простой множитель , не входящий в это множество.
Не все числа Евклида являются простыми. E 6 = 13# + 1 = 30031 = 59 × 509 — первое составное число Евклида.
Каждое число Евклида сравнимо с 3 по модулю 4, поскольку первообраз, из которого оно состоит, является удвоенным произведением только нечетных простых чисел и, таким образом, сравнимо с 2 по модулю 4. Это свойство подразумевает, что никакое число Евклида не может быть квадратом .
Для всех n ≥ 3 последняя цифра числа En равна 1, так как En − 1 делится на 2 и 5. Другими словами, поскольку все изначальные числа, большие E 2 , имеют 2 и 5 в качестве простых множителей, они делятся на 10, поэтому все En ≥ 3 + 1 имеют конечную цифру 1.
Неизвестно, существует ли бесконечное число простых чисел Евклида ( изначальных простых чисел ). [3] Также неизвестно, является ли каждое число Евклида числом, свободным от квадратов . [4]
Число Евклида второго рода (также называемое числом Куммера ) — это целое число вида E n = p n # − 1, где p n # — n- й ипримориал. Первые несколько таких чисел:
Как и в случае с числами Евклида, неизвестно, существует ли бесконечно много простых чисел Куммера. Первое из этих чисел, которое является составным, — это 209. [5 ]