Квадратный номер

Произведение целого числа само на себя

Квадрат числа 16 как сумма гномонов .

В математике квадратное число или идеальный квадрат — это целое число , которое является квадратом целого числа; ^[1] другими словами, это произведение некоторого целого числа само на себя. Например, 9 — квадратное число, поскольку оно равно 3 ² и может быть записано как 3 × 3 .

Обычным обозначением квадрата числа n является не произведение n  ×  n , а эквивалентное возведение в степень n ² , обычно произносимое как « n в квадрате». Название квадрата происходит от названия фигуры. Единица площади определяется как площадь единичного квадрата ( 1 × 1 ). Следовательно, квадрат со стороной n имеет площадь n ² . Если квадратное число представлено n точками, точки можно расположить рядами в виде квадрата, каждая сторона которого имеет то же количество точек, что и квадратный корень из n ; таким образом, квадратные числа являются разновидностью фигурных чисел (другими примерами являются кубические числа и треугольные числа ).

В действительной системе счисления квадратные числа неотрицательны . Неотрицательное целое число является квадратным числом, если его квадратный корень снова является целым числом. Например, так 9 – квадратное число. ${\displaystyle {\sqrt {9}}=3,}$

Положительное целое число, не имеющее квадратных делителей , кроме 1, называется свободным от квадратов .

Для неотрицательного целого числа n n - е квадратное число равно n ² , причем 0 ² = 0 является нулевым . Понятие квадрата можно распространить и на некоторые другие системы счисления. Если включены рациональные числа, то квадрат — это отношение двух квадратных целых чисел, и, наоборот, отношение двух квадратных целых чисел — это квадрат, например, . ${\displaystyle \textstyle {\frac {4}{9}}=\left({\frac {2}{3}}\right)^{2}}$

Начиная с 1, существуют квадратные числа до m включительно , где выражение представляет собой нижнюю часть числа  x . ${\displaystyle \lfloor {\sqrt {m}}\rfloor }$ ${\displaystyle \lfloor x\rfloor }$

Примеры

Квадраты (последовательность A000290 в OEIS ) меньше 60 ²  = 3600:

0 ² = 0

1 ² = 1

2 ² = 4

3 ² = 9

4 ² = 16

5 ² = 25

6 ² = 36

7 ² = 49

8 ² = 64

9 ² = 81

10 ² = 100

11 ² = 121

12 ² = 144

13 ² = 169

14 ² = 196

15 ² = 225

16 ² = 256

17 ² = 289

18 ² = 324

19 ² = 361

20 ² = 400

21 ² = 441

22 ² = 484

23 ² = 529

24 ² = 576

25 ² = 625

26 ² = 676

27 ² = 729

28 ² = 784

29 ² = 841

30 ² = 900

31 ² = 961

32 ² = 1024

33 ² = 1089

34 ² = 1156

35 ² = 1225

36 ² = 1296

37 ² = 1369

38 ² = 1444

39 ² = 1521

40 ² = 1600

41 ² = 1681

42 ² = 1764

43 ² = 1849

44 ² = 1936 год

45 ² = 2025

46 ² = 2116

47 ² = 2209

48 ² = 2304

49 ² = 2401

50 ² = 2500

51 ² = 2601

52 ² = 2704

53 ² = 2809

54 ² = 2916

55 ² = 3025

56 ² = 3136

57 ² = 3249

58 ² = 3364

59 ² = 3481

Разница между любым идеальным квадратом и его предшественником определяется тождеством n ² − ( n − 1) ² = 2 n − 1 . Эквивалентно, можно посчитать квадратные числа, сложив последний квадрат, корень последнего квадрата и текущий корень, то есть n ² = ( n - 1) ² + ( n - 1) + n .

Характеристики

Число m является квадратным тогда и только тогда, когда можно расположить m точек в квадрате:

Выражение для n- го квадратного числа равно n ² . Это также равно сумме первых n нечетных чисел , как видно на рисунках выше, где квадрат получается из предыдущего путем добавления нечетного количества точек (показано пурпурным цветом). Формула следующая:

$${\displaystyle n^{2}=\sum _{k=1}^{n}(2k-1).}$$

5 ² = 25 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9

Сумма первых n нечетных целых чисел равна n ² . 1 + 3 + 5 + ... + (2 п - 1) знак равно п ² . Анимированная 3D визуализация тетраэдра.

Существует несколько рекурсивных методов вычисления квадратных чисел. Например, n -е квадратное число можно вычислить из предыдущего квадрата по формуле n ² = ( n - 1) ² + ( n - 1) + n = ( n - 1) ² + (2 n - 1) . В качестве альтернативы, n -е квадратное число можно вычислить из двух предыдущих, удвоив ( n  - 1) -й квадрат, вычитая ( n  - 2) -е квадратное число и прибавляя 2, поскольку n ² = 2( n - 1) ² - ( п - 2) ² + 2 . Например,

2 × 5 ² - 4 ² + 2 знак равно 2 × 25 - 16 + 2 знак равно 50 - 16 + 2 знак равно 36 знак равно 6 ² .

Квадрат минус один числа m всегда является произведением и то есть ${\displaystyle m-1}$ ${\displaystyle m+1;}$

$${\displaystyle m^{2}-1=(m-1)(m+1).}$$

7 ² = 49простое число1m = 2m133 знак равно 2 ² - 1 ${\displaystyle 6\times 8=48}$

В более общем смысле, разность квадратов двух чисел равна произведению их суммы и разности. То есть,

$${\displaystyle a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)}$$

формула разности квадратов47 × 5350 ² - 3 ² = 2500 - 9 = 2491треугольных чиселцентрированное квадратное числоцентрированным восьмиугольным числом

Еще одним свойством квадратного числа является то, что (кроме 0) оно имеет нечетное количество положительных делителей, в то время как другие натуральные числа имеют четное количество положительных делителей. Целочисленный корень — единственный делитель, который соединяется сам с собой, образуя квадратное число, в то время как другие делители входят в пары.

Теорема Лагранжа о четырех квадратах утверждает, что любое положительное целое число можно записать как сумму четырех или менее полных квадратов. Для чисел вида 4k (8m ⁺ 7) трех квадратов недостаточно . Положительное целое число можно представить в виде суммы двух квадратов именно в том случае, если его факторизация простых чисел не содержит нечетных степеней простых чисел вида 4 k + 3 . Это обобщено проблемой Уоринга .

В системе счисления 10 квадратное число может заканчиваться только цифрами 0, 1, 4, 5, 6 или 9 следующим образом:

• если последняя цифра числа равна 0, его квадрат заканчивается на 00;
• если последняя цифра числа — 1 или 9, его квадрат заканчивается четной цифрой, за которой следует 1;
• если последняя цифра числа 2 или 8, его квадрат заканчивается четной цифрой, за которой следует 4;
• если последняя цифра числа 3 или 7, его квадрат заканчивается четной цифрой, за которой следует 9;
• если последняя цифра числа 4 или 6, его квадрат заканчивается нечетной цифрой, за которой следует 6; и
• если последняя цифра числа 5, то его квадрат оканчивается цифрой 25.

В системе счисления 12 квадратное число может заканчиваться только квадратными цифрами (как и в системе счисления 12, простое число может заканчиваться только простыми цифрами или 1), то есть 0, 1, 4 или 9, следующим образом:

• если число делится и на 2, и на 3 (т. е. делится на 6), его квадрат заканчивается на 0, а его предыдущая цифра должна быть 0 или 3;
• если число не делится ни на 2, ни на 3, его квадрат оканчивается на 1, а предыдущая цифра должна быть четной;
• если число делится на 2, но не делится на 3, его квадрат заканчивается на 4, а его предыдущая цифра должна быть 0, 1, 4, 5, 8 или 9; и
• если число делится не на 2, а на 3, его квадрат заканчивается на 9, а его предыдущая цифра должна быть 0 или 6.

Аналогичные правила могут быть даны для других оснований или для более ранних цифр (например, десятков вместо цифр единиц). ^{[ нужна цитата ]} Все такие правила могут быть доказаны путем проверки фиксированного числа случаев и использования модульной арифметики .

В общем, если простое число  p делит квадрат числа  m , то квадрат p также должен делить m ; если p не может разделитьм/п, то m заведомо не квадратно. Повторяя деление предыдущего предложения, можно прийти к выводу, что каждое простое число должно делить данный полный квадрат четное число раз (включая, возможно, 0 раз). Таким образом, число m является квадратным числом тогда и только тогда, когда в его каноническом представлении все показатели степени четны.

Проверка квадратичности может использоваться как альтернативный способ факторизации больших чисел. Вместо проверки на делимость проверьте на квадратность: для заданного m и некоторого числа  k , если k ² − m — квадрат целого числа  n , то k − n делит m . (Это применение факторизации разности двух квадратов .) Например, 100 ² - 9991 является квадратом 3, следовательно, 100 - 3 делит 9991. Этот тест является детерминированным для нечетных делителей в диапазоне от k - от n до k + n , где k охватывает некоторый диапазон натуральных чисел ${\displaystyle k\geq {\sqrt {m}}.}$

Квадратное число не может быть совершенным числом .

Сумма n первых квадратных чисел равна

$${\displaystyle \sum _{n=0}^{N}n^{2}=0^{2}+1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}+\cdots +N^{2}={\frac {N(N+1)(2N+1)}{6}}.}$$

квадратные пирамидальные числаA000330OEIS

0, 1, 5, 14, 30, 55, 91, 140, 204, 285, 385, 506, 650, 819, 1015, 1240, 1496, 1785, 2109, 2470, 2870, 3311, 3795, 4324, 490 0, 5525, 6201...

Доказательство без слов теоремы о сумме нечетных чисел

Сумма первых нечетных целых чисел, начиная с единицы, представляет собой полный квадрат: 1, 1+3, 1+3+5, 1+3+5+7 и т. д. Этим объясняется закон нечетных чисел Галилея : если тело падение из состояния покоя проходит одну единицу расстояния в первый произвольный интервал времени, оно преодолевает 3, 5, 7 и т. д. единицы расстояния в последующие интервалы времени той же длины. Из , для u = 0 и постоянной a (ускорение свободного падения без учета сопротивления воздуха); поэтому s пропорционально t ² , а расстояние от начальной точки представляет собой последовательные квадраты для целых значений прошедшего времени. ^[2] ${\displaystyle s=ut+{\tfrac {1}{2}}at^{2}}$

Сумма n первых кубиков — это квадрат суммы n первых положительных целых чисел; это теорема Никомаха .

Все четвертые степени, шестые степени, восьмые степени и т. д. являются правильными квадратами.

Уникальная связь с треугольными числами : ${\displaystyle T_{n}}$

$${\displaystyle (T_{n})^{2}+(T_{n+1})^{2}=T_{(n+1)^{2}}}$$

Нечетные и четные квадратные числа

Квадраты четных чисел являются четными и делятся на 4, поскольку (2 n ) ² = 4 n ² . Квадраты нечетных чисел нечетны и конгруэнтны 1 по модулю 8, поскольку (2 n + 1) ² = 4 n ( n + 1) + 1 , а n ( n + 1) всегда четно. Другими словами, все нечетные квадратные числа имеют остаток 1 при делении на 8.

Каждый нечетный полный квадрат представляет собой центрированное восьмиугольное число . Разница между любыми двумя нечетными совершенными квадратами кратна 8. Разница между 1 и любым совершенным квадратом с большей нечетностью всегда в восемь раз превышает треугольное число, а разница между 9 и любым совершенным квадратом с большей нечетностью равна восьмикратному треугольному числу минус восемь. Поскольку все треугольные числа имеют нечетный множитель, но никакие два значения 2 ⁿ не отличаются на величину, содержащую нечетный множитель, единственный полный квадрат вида 2 ⁿ − 1 равен 1, а единственный полный квадрат вида 2 ⁿ + 1 это 9.

Особые случаи

• Если число имеет форму m 5 , где m представляет собой предыдущие цифры, его квадрат равен n 25 , где n = m ( m + 1) , и представляет цифры до 25. Например, квадрат 65 можно вычислить по формуле n = 6. × (6 + 1) = 42 , что делает квадрат равным 4225.
• Если число имеет форму m 0 , где m представляет предыдущие цифры, его квадрат равен n 00 , где n = m ² . Например, квадрат 70 равен 4900.
• Если число состоит из двух цифр и имеет вид 5 m , где m представляет цифру единиц, его квадрат равен aabb , где aa = 25 + m и bb = m ² . Например, чтобы вычислить квадрат числа 57, m = 7 и 25 + 7 = 32 и 7 ² = 49 , то есть 57 ² = 3249 .
• Если число оканчивается на 5, его квадрат оканчивается на 5; аналогично для окончаний на 25, 625, 0625, 90625, ... 8212890625 и т. д. Если число заканчивается на 6, его квадрат заканчивается на 6, аналогично для окончаний на 76, 376, 9376, 09376, ... 1787109376. Например, квадрат числа 55376 равен 3066501376, оба оканчиваются на 376 . (Числа 5, 6, 25, 76 и т. д. называются автоморфными числами . В OEIS это последовательность A003226 . ^[3] )
• В системе счисления 10 последние две цифры квадратных чисел следуют повторяющемуся шаблону, зеркально симметрично кратному 25. В примере 24 и 26 обе цифры отличаются от 25, 24 ² = 576 и 26 ² = 676 , оба заканчиваются на 76. . В общем, . Аналогичный шаблон применяется для последних трех цифр, кратных 250, и так далее. Как следствие, из 100 возможных последних 2 цифр только 22 встречаются среди квадратных чисел (поскольку 00 и 25 повторяются). ${\textstyle (25n+x)^{2}-(25n-x)^{2}=100nx}$

Смотрите также

• Тождество Брахмагупты – Фибоначчи  - выражение произведения сумм квадратов в виде суммы квадратов.
• Кубическое число  – число, возведенное в третью степень.
• Четырехквадратное тождество Эйлера  - произведение сумм четырех квадратов, выраженное как сумма четырех квадратов.
• Теорема Ферма о суммах двух квадратов  - Условие, при котором нечетное простое число является суммой двух квадратов.
• Некоторые тождества, включающие несколько квадратов
• Целочисленный квадратный корень  – наибольшее целое число, меньшее или равное квадратному корню.
• Методы вычисления квадратных корней  - Алгоритмы вычисления квадратных корней
• Степень двойки  - двойка возведена в целую степень.
• Тройка Пифагора  – целые длины сторон прямоугольного треугольника.
• Квадратичный остаток  - целое число, которое является точным квадратом по модулю некоторого целого числа.
• Квадратичная функция  – Полиномиальная функция второй степени.
• Квадратное треугольное число  - целое число, которое является одновременно идеальным квадратом и треугольным числом.

Примечания

1. Некоторые авторы также называют квадраты рациональных чисел совершенными квадратами.
2. Оленик, Ричард П.; Апостол, Том М.; Гудштейн, Дэвид Л. (14 января 2008 г.). Механическая Вселенная: Введение в механику и тепло. Издательство Кембриджского университета. п. 18. ISBN 978-0-521-71592-8.
3. Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A003226 (Автоморфные числа: n^2 заканчивается на n.)». Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС.

дальнейшее чтение

• Конвей Дж. Х. и Гай Р. К. Книга чисел . Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. 30–32, 1996. ISBN 0-387-97993-X. 
• Киран Парулекар. Удивительные свойства квадратов и их вычисления . Киран Анил Парулекар, 2012 г. https://books.google.com/books?id=njEtt7rfexEC