Числовая апертура

Характеристика оптической системы

Числовая апертура относительно точки P зависит от половины угла θ ₁ максимального светового конуса, который может войти или выйти из линзы, и показателя преломления окружающей среды. Когда луч света проходит через плоскую плоскость стекла, его полуугол изменяется на θ ₂ . Согласно закону Снеллиуса числовая апертура остается прежней:
${\displaystyle {\text{NA}}=n_{1}\sin \theta _{1}=n_{2}\sin \theta _{2}.}$

В оптике числовая апертура ( NA ) оптической системы — безразмерное число , характеризующее диапазон углов, в которых система может принимать или излучать свет. Благодаря включению в определение показателя преломления NA обладает свойством, заключающимся в том, что он постоянен для луча при переходе от одного материала к другому, при условии, что на границе раздела нет преломляющей силы . Точное определение этого термина немного различается в разных областях оптики. Числовая апертура обычно используется в микроскопии для описания приемного конуса объектива ( и, следовательно, его светосиловой способности и разрешения ), а также в волоконной оптике , где она описывает диапазон углов, в пределах которых свет, падающий на волокно, будет передаваться по нему.

Общая оптика

Простая лучевая диаграмма, показывающая типичные главные и краевые лучи.

В большинстве областей оптики, и особенно в микроскопии , числовая апертура оптической системы, такой как объектив, определяется выражением

${\displaystyle \mathrm {NA} =n\sin \theta ,}$

где n — показатель преломления среды, в которой работает линза (1,00 для воздуха , 1,33 для чистой воды и обычно 1,52 для иммерсионного масла ; ^[1] см. также список показателей преломления ), а θ — полу- угол максимального светового конуса, который может войти или выйти из линзы. В общем, это угол реального краевого луча в системе. Поскольку показатель преломления включен, числовая апертура пучка лучей является инвариантом, поскольку пучок лучей проходит из одного материала в другой через плоскую поверхность. Это легко показать, изменив закон Снелла и обнаружив, что n sin θ постоянно на границе интерфейса.

На воздухе угловая апертура линзы примерно вдвое превышает эту величину (в параксиальном приближении ). Числовая апертура обычно измеряется относительно конкретного объекта или точки изображения и будет меняться по мере перемещения этой точки. В микроскопии NA обычно относится к NA в объектном пространстве, если не указано иное.

В микроскопии числовая апертура важна, поскольку она указывает на разрешающую способность линзы. Размер мельчайших деталей, которые можно разрешить (разрешение ) , пропорционаленλ/2НА, где λ — длина волны света. Объектив с большей числовой апертурой сможет визуализировать более мелкие детали, чем объектив с меньшей числовой апертурой. Предполагая качественную ( ограниченную дифракцией ) оптику, линзы с большей числовой апертурой собирают больше света и, как правило, обеспечивают более яркое изображение, но обеспечивают меньшую глубину резкости .

Числовая апертура используется для определения «размера ямы» в форматах оптических дисков . ^[2]

Увеличение увеличения и числовой апертуры объектива уменьшает рабочее расстояние, т.е. расстояние между передней линзой и образцом.

Числовая апертура в зависимости от числа f

Числовая апертура тонкой линзы

Числовая апертура обычно не используется в фотографии . Вместо этого угловая апертура объектива ( или зеркала изображения) выражается числом f , записаннымж/N , где N — f-число, определяемое отношением фокусного расстояния f к диаметру входного зрачка D :

${\displaystyle N={\frac {f}{D}}.}$

Это соотношение связано с числовой апертурой пространства изображения, когда объектив фокусируется на бесконечности. ^[3] Судя по диаграмме справа, числовая апертура объектива в пространстве изображения равна:

${\displaystyle {\text{NA}}_{\text{i}}=n\sin \theta =n\sin \left[\arctan \left({\frac {D}{2f}}\right)\right]\approx n{\frac {D}{2f}},}$

таким образом, N ≈1/2NA _я, при условии нормального использования на воздухе ( n = 1 ).

Приближение справедливо, когда числовая апертура мала, но оказывается, что для хорошо скорректированных оптических систем, таких как объективы фотоаппаратов, более детальный анализ показывает, что N почти точно равно1/2NA _ядаже при больших числовых апертурах. Как объясняет Рудольф Кингслейк: «Распространенной ошибкой является предположение, что соотношениеД/2 ж] на самом деле равен tan θ , а не sin θ ... Касательная, конечно, была бы правильной, если бы главные плоскости действительно были плоскими. Однако полная теория синуса Аббе показывает, что если в объективе исправлена ​​кома и сферическая аберрация , как это должно быть со всеми хорошими фотографическими объективами, вторая главная плоскость становится частью сферы радиуса f с центром вокруг фокальной точки». ^[4] В этом смысле традиционное определение тонкой линзы и иллюстрация числа f вводят в заблуждение, и определение его с точки зрения числовой апертуры может быть более значимым.

Рабочее (эффективное) f -число

Число f характеризует светособирающую способность линзы в случае, когда краевые лучи со стороны объекта параллельны оси линзы. Этот случай часто встречается в фотографии, где фотографируемые объекты часто находятся далеко от камеры. Однако, когда объект не находится далеко от объектива, изображение больше не формируется в фокальной плоскости объектива , и число f больше не описывает точно светосилу объектива или числовую апертуру на стороне изображения. В этом случае числовая апертура связана с тем, что иногда называют « рабочим диафрагменным числом » или «эффективным диафрагменным числом».

Рабочее число f определяется путем изменения приведенного выше соотношения с учетом увеличения от объекта к изображению:

${\displaystyle {\frac {1}{2{\text{NA}}_{\text{i}}}}=N_{\text{w}}=\left(1-{\frac {m}{P}}\right)N,}$

где N _w — рабочее число f , m — увеличение линзы для объекта, находящегося на определенном расстоянии, P — увеличение зрачка , а числовая апертура определяется как угол краевого луча, как и раньше. ^{[3] [5]} Увеличение здесь обычно отрицательное, а увеличение зрачка чаще всего принимается равным 1 — как объясняет Аллен Р. Гринлиф: «Освещенность изменяется обратно пропорционально квадрату расстояния между выходным зрачком линзы и положение пластинки или пленки. Поскольку положение выходного зрачка обычно неизвестно пользователю объектива, вместо него используется заднее сопряженное фокусное расстояние; возникающая таким образом теоретическая ошибка незначительна для большинства типов фотообъективов». ^[6]

В фотографии коэффициент иногда записывают как 1 + m , где m представляет собой абсолютное значение увеличения; в любом случае поправочный коэффициент равен 1 или больше. Каждое из двух равенств в приведенном выше уравнении используется разными авторами в качестве определения рабочего f -числа, как иллюстрируют цитируемые источники. Они не обязательно оба точны, но часто к ним относятся так, как будто они точны.

И наоборот, числовая апертура на стороне объекта связана с числом f посредством увеличения (стремящегося к нулю для удаленного объекта):

${\displaystyle {\frac {1}{2{\text{NA}}_{\text{o}}}}={\frac {m-P}{mP}}N.}$

Лазерная физика

В лазерной физике числовая апертура определяется несколько иначе. Лазерные лучи распространяются по мере распространения, но медленно. Вдали от самой узкой части луча распространение примерно линейно зависит от расстояния — лазерный луч образует конус света в «дальнем поле». Соотношение, используемое для определения числовой апертуры лазерного луча, такое же, как и для оптической системы:

${\displaystyle {\text{NA}}=n\sin \theta ,}$

но θ определяется по-другому. Лазерные лучи обычно не имеют острых краев, как конус света, проходящий через апертуру линзы. Вместо этого интенсивность излучения постепенно падает по мере удаления от центра луча. Очень часто луч имеет гауссов профиль. Лазерные физики обычно предпочитают считать θ расходимостью луча : углом в дальней зоне между осью луча и расстоянием от оси, на котором интенсивность излучения падает до e ^-2- кратного значения излучения на оси. Тогда числовая апертура гауссовского лазерного луча связана с его минимальным размером пятна («перетяжкой луча») соотношением

${\displaystyle {\text{NA}}\simeq {\frac {\lambda _{0}}{\pi w_{0}}},}$

где λ ₀ — вакуумная длина волны света, а 2 w ₀ — диаметр луча в самом узком месте, измеренный между точками освещенности e ^-2 («Полная ширина при максимуме интенсивности e ^-2 »). Это означает, что лазерный луч, сфокусированный в небольшом пятне, будет быстро распространяться по мере удаления от фокуса, в то время как лазерный луч большого диаметра может оставаться примерно того же размера на очень большом расстоянии. См. также: Ширина гауссова луча .

Волоконная оптика

Многомодовое волокно индекса n ₁ с оболочкой индекса n ₂ .

Многомодовое оптическое волокно будет распространять свет, попадающий в волокно, только в определенном диапазоне углов, известном как приемный конус волокна. Полуугол этого конуса называется приемным углом , θ _max . Для ступенчатого многомодового волокна в данной среде приемный угол определяется только показателями преломления сердцевины, оболочки и среды:

${\displaystyle n\sin \theta _{\max }={\sqrt {n_{\text{core}}^{2}-n_{\text{clad}}^{2}}},}$

где n — показатель преломления среды вокруг волокна, n _core — показатель преломления сердцевины волокна, а n _clad — показатель преломления оболочки . Хотя сердцевина будет принимать свет под большими углами, эти лучи не будут полностью отражаться от границы раздела сердцевина-оболочка и поэтому не будут передаваться на другой конец волокна. Вывод этой формулы приведен ниже.

Когда луч света падает из среды с показателем преломления n в ядро ​​с показателем _n под максимальным углом приема, закон Снелла на границе раздела среда-ядро дает

${\displaystyle n\sin \theta _{\max }=n_{\text{core}}\sin \theta _{r}.\ }$

Из геометрии приведенного выше рисунка имеем:

${\displaystyle \sin \theta _{r}=\sin \left({90^{\circ }}-\theta _{c}\right)=\cos \theta _{c}}$

где

${\displaystyle \theta _{c}=\arcsin {\frac {n_{\text{clad}}}{n_{\text{core}}}}}$

– критический угол полного внутреннего отражения .

Заменив cos θ _c на sin θ _r в законе Снеллиуса, получим:

${\displaystyle {\frac {n}{n_{\text{core}}}}\sin \theta _{\max }=\cos \theta _{c}.}$

Возведя в квадрат обе стороны

${\displaystyle {\frac {n^{2}}{n_{\text{core}}^{2}}}\sin ^{2}\theta _{\max }=\cos ^{2}\theta _{c}=1-\sin ^{2}\theta _{c}=1-{\frac {n_{\text{clad}}^{2}}{n_{\text{core}}^{2}}}.}$

Решая, находим формулу, указанную выше:

${\displaystyle n\sin \theta _{\max }={\sqrt {n_{\text{core}}^{2}-n_{\text{clad}}^{2}}},}$

Она имеет ту же форму, что и числовая апертура (ЧА) в других оптических системах, поэтому стало обычным определять ЧА любого типа волокна как

${\displaystyle \mathrm {NA} ={\sqrt {n_{\text{core}}^{2}-n_{\text{clad}}^{2}}},}$

где n _core — показатель преломления вдоль центральной оси волокна. Обратите внимание, что при использовании этого определения связь между числовой апертурой и приемным углом волокна становится лишь приближением. В частности, производители часто указывают «NA» для одномодового волокна, основываясь на этой формуле, хотя угол принятия одномодового волокна совершенно другой и не может быть определен только на основе показателей преломления.

Количество связанных мод , объем моды , связано с нормализованной частотой и, следовательно, с числовой апертурой.

В многомодовых волокнах иногда используется термин « равновесная числовая апертура» . Это относится к числовой апертуре относительно крайнего угла выхода луча, выходящего из волокна, в котором установлено равновесное распределение мод .

Смотрите также

• f -число
• Запуск числовой апертуры
• Направляемый луч , контекст оптоволокна
• Угол приема (солнечный концентратор) , дальнейший контекст

Рекомендации

1. Каргилл, Джон Дж. (1985). «Иммерсионное масло и микроскоп» (PDF) (2-е изд.). Архивировано (PDF) из оригинала 9 октября 2022 г. Проверено 16 октября 2019 г.
2. «Обновление диска высокой четкости: положение дел с HD DVD и Blu-ray». Архивировано 10 января 2008 г. в Wayback Machine Стивом Киндигом, консультантом Crutchfield . По состоянию на 18 января 2008 г.
3. Грейвенкамп, Джон Э. (2004). Полевое руководство по геометрической оптике. Полевые руководства SPIE, том. ФГ01 . ШПИОН. ISBN 0-8194-5294-7.п. 29.
4. Рудольф Кингслейк (1951). Объективы в фотографии: практическое руководство по оптике для фотографов . Кейс-Хойт, для Garden City Books. стр. 97–98.
5. Анджело V Арекки; Тахар Мессади и Р. Джон Кошель (2007). Полевое руководство по освещению. ШПИОН. п. 48. ИСБН 978-0-8194-6768-3.
6. Аллен Р. Гринлиф (1950). Фотооптика. Компания Макмиллан. п. 24.

•  Эта статья включает общедоступные материалы из Федерального стандарта 1037C. Управление общего обслуживания . Архивировано из оригинала 22 января 2022 г. (в поддержку MIL-STD-188 ).

Внешние ссылки

• «Цели микроскопа: числовая апертура и разрешение», Мортимер Абрамовиц и Майкл В. Дэвидсон, « Молекулярные выражения: учебник по оптической микроскопии» (веб-сайт), Университет штата Флорида , 22 апреля 2004 г.
• «Основные понятия и формулы в микроскопии: числовая апертура», Майкл В. Дэвидсон, Nikon MicrographyU (веб-сайт).
• «Численная апертура», Энциклопедия лазерной физики и техники (веб-сайт).
• «Численная апертура и разрешение», Основные объекты микроскопии Института исследования мозга Калифорнийского университета в Лос-Анджелесе (веб-сайт), 2007.