Номер Гранвилля

В математике , особенно в теории чисел , числа Гранвилля , также известные как -совершенные числа, являются расширением совершенных чисел . ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$

Набор Гранвилля

В 1996 году Эндрю Грэнвилл предложил следующую конструкцию множества : [ ^1] ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$

Пусть , и для любого целого числа, большего 1, пусть если ${\displaystyle 1\in {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n\in {\mathcal {S}}}$

${\displaystyle \sum _{d\mid n,\;d<n,\;d\in {\mathcal {S}}}d\leq n.}$

Число Гранвилля — это элемент , для которого выполняется равенство, то есть является числом Гранвилля, если оно равно сумме своих собственных делителей, также находящихся в . Числа Гранвилля еще называют -совершенными числами. ^[2] ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$

Общие свойства

Элементы могут быть k -дефицитными, k -совершенными или k -избыточными. В частности, 2-совершенные числа являются собственным подмножеством . ^[1] ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$

S-дефицитные числа

Числа, которые удовлетворяют строгой форме неравенства в приведенном выше определении, известны как -дефицитные числа. То есть -дефицитные числа — это натуральные числа, у которых сумма их делителей строго меньше их самих: ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$

${\displaystyle \sum _{d\mid {n},\;d<n,\;d\in {\mathcal {S}}}d<{n}}$

S-совершенные числа

Числа, которые удовлетворяют равенству в приведенном выше определении, известны как -совершенные числа. ^[1] То есть -совершенные числа — это натуральные числа, которые равны сумме своих делителей в . Первые несколько -совершенных чисел: ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$

6, 24, 28, 96, 126, 224, 384, 496, 1536, 1792, 6144, 8128, 14336, ... (последовательность A118372 в OEIS )

Каждое совершенное число также -совершенно. ^[1] Однако есть числа, такие как 24, которые являются совершенными, но не идеальными. Единственное известное -совершенное число с тремя различными простыми делителями — это 126 = 2 · 3 ² · 7. ^[2] ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$

Каждое число формы 2^(n - 1) * (2^n - 1) * (2^n)^m, где m >= 0, где 2^n - 1 — простое число, является числом Гранвилля. Итак, чисел Гранвилля бесконечно много, и бесконечное семейство имеет 2 простых делителя — 2 и простое число Мерсенна. Другие включают 126, 5540590, 9078520, 22528935, 56918394 и 246650552, имеющие 3, 5, 5, 5, 5 и 5 простых делителей.

S-обильные числа

Числа, которые нарушают неравенство в приведенном выше определении, известны как -избыточные числа. То есть -обильные числа — это натуральные числа, у которых сумма их делителей строго больше их самих: ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$

${\displaystyle \sum _{d\mid {n},\;d<n,\;d\in {\mathcal {S}}}d>{n}}$

Они принадлежат к дополнению . Первые несколько -обильных цифр: ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$

12, 18, 20, 30, 42, 48, 56, 66, 70, 72, 78, 80, 84, 88, 90, 102, 104, ... (последовательность A181487 в OEIS )

Примеры

Каждое неполное число и каждое совершенное число входят в число, потому что ограничение суммы делителей членами числа либо уменьшает сумму делителей, либо оставляет ее неизменной. Первое натуральное число, не входящее в число, — это наименьшее избыточное число , равное 12. Следующие два избыточных числа, 18 и 20, также не входят в число . Однако четвертое число, 24, находится в числе, поскольку сумма его собственных делителей равна : ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$

1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 8 = 24

Другими словами, 24 — это много, но не -изобильно, потому что 12 нет в . На самом деле 24 — совершенное — это наименьшее число, которое является совершенным, но не идеальным. ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$

Наименьшее нечетное число, входящее в число, — 2835, а наименьшая пара последовательных чисел, не входящих в число, — 5984 и 5985. ^[1] ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$

Рекомендации

1. Де Конинк Дж. М., Ивич А. (1996). «О задаче о сумме делителей» (PDF) . Публикации математического института . 64 (78): 9–20 . Проверено 27 марта 2011 г.
2. де Конинк, Жан-Мари (2008). Эти очаровательные цифры . Перевод де Конинка, Дж. М. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . п. 40. ИСБН 978-0-8218-4807-4. МР  2532459. OCLC  317778112.