stringtranslate.com

Число Лейланда

В теории чисел число Лейланда — это число вида

где x и y — целые числа, большие 1. [1] Они названы в честь математика Пола Лейланда . Первые несколько чисел Лейланда — это

8 , 17 , 32 , 54 , 57 , 100 , 145 , 177 , 320 , 368 , 512 , 593 , 945 , 1124 (последовательность A076980 в OEIS ).

Требование, чтобы x и y оба были больше 1, важно, так как без него каждое положительное целое число было бы числом Лейланда вида x 1 + 1 x . Кроме того, из-за коммутативного свойства сложения условие x ≥ y обычно добавляется, чтобы избежать двойного покрытия множества чисел Лейланда (поэтому мы имеем 1 < y ≤ x ).

Лейланд простые числа

Простое число Лейланда — это число Лейланда, которое также является простым числом. Первые такие простые числа:

17 , 593 , 32993, 2097593, 8589935681, 59604644783353249, 523347633027360537213687137, 43143988327398957279342419750374600193, ... (последовательность A094133 в OEIS )

соответствующий

3 2 +2 3 , 9 2 +2 9 , 15 2 +2 15 , 21 2 +2 21 , 33 2 +2 33 , 24 5 +5 24 , 56 3 +3 56 , 32 15 +15 32 . [2]

Можно также зафиксировать значение y и рассмотреть последовательность значений x , которая дает простые числа Лейланда, например, x 2 + 2 x является простым числом для x = 3, 9, 15, 21, 33, 2007, 2127, 3759, ... ( OEIS : A064539 ).

К ноябрю 2012 года наибольшее число Лейланда, которое, как было доказано, является простым, было 5122 6753 + 6753 5122 с25 050 цифр. С января 2011 года по апрель 2011 года это было самое большое простое число, простота которого была доказана методом доказательства простоты эллиптической кривой . [3] В декабре 2012 года это было улучшено путем доказательства простоты двух чисел 3110 63 + 63 3110 (5596 цифр) и 8656 2929 + 2929 8656 (30 008 цифр), последний из которых превзошел предыдущий рекорд. [4] В феврале 2023 года 104824 5 + 5 104824 (73 269 цифр) было доказано как простое число, [5] и это было также самое большое простое число, доказанное с помощью ECPP, пока три месяца спустя с помощью ECPP не было доказано большее (не Лейландово) простое число. [6] Существует много больших известных вероятных простых чисел, таких как 314738 9 + 9 314738 , [7] но простоту больших чисел Лейланда трудно доказать. Пол Лейланд пишет на своем веб-сайте: «Совсем недавно было осознано, что числа этой формы являются идеальными тестовыми примерами для программ доказательства простоты общего назначения. Они имеют простое алгебраическое описание, но не имеют очевидных циклотомических свойств, которые могли бы использовать специальные алгоритмы».

Существует проект под названием XYYXF по факторизации составных чисел Лейланда. [8]

Число Лейланда второго рода

Число Лейланда второго рода — это число вида

где x и y — целые числа, большие 1. Первые такие числа:

0, 1, 7 , 17 , 28 , 79 , 118 , 192 , 399 , 431 , 513, 924, 1844, 1927, 2800, 3952, 6049, 7849, 8023, 13983, 16188, 18954, 32543, 58049, 61318, 61440, 65280, 130783, 162287, 175816, 255583, 261820, ... (последовательность A045575 в OEIS )

Простое число Лейланда второго рода — это число Лейланда второго рода, которое также является простым. Первые несколько таких простых чисел:

7, 17, 79, 431, 58049, 130783, 162287, 523927, 2486784401, 6102977801, 8375575711, 13055867207, 83695120256591, 375700268413577, 2251799813682647, ... (последовательность A123206 в OEIS ). Мы также можем рассмотреть 145 в виде 4 в степени 3 плюс 4 в степени 4.

Для вероятных простых чисел см. Анри Лифшиц и Рено Лифшиц, поиск PRP Top Records. [7]

Ссылки

  1. ^ Ричард Крэндалл и Карл Померанс (2005), Простые числа: вычислительная перспектива , Springer
  2. ^ "Primes and Strong Pseudoprimes of the form xy + yx". Пол Лейланд. Архивировано из оригинала 2007-02-10 . Получено 2007-01-14 .
  3. ^ "Доказательство простоты эллиптической кривой". Крис Колдуэлл . Получено 2011-04-03 .
  4. ^ "СИДЕ Михайлеску" . mersenneforum.org. 11 декабря 2012 г. Проверено 26 декабря 2012 г.
  5. ^ "Простое число Лейланда вида 1048245+5104824". Prime Wiki . Получено 26.11.2023 .
  6. ^ "Доказательство простоты эллиптической кривой". Prime Pages . Получено 2023-11-26 .
  7. ^ ab Анри Лифшиц и Рено Лифшиц, поиск лучших записей PRP.
  8. ^ "Разложения xy + yx для 1 < y < x < 151". Андрей Кульша . Получено 2008-06-24 .

Внешние ссылки