Мощное число

Числа, все простые множители которых делят число более одного раза

${\displaystyle {\begin{aligned}144000&=2^{7}\times 3^{2}\times 5^{3}\\&=2^{3}\times 2^{4}\times 3^{2}\times 5^{3}\\&=(2\times 5)^{3}\times (2^{2}\times 3)^{2}\end{aligned}}}$

144000 — мощное число.
Каждый показатель степени в его разложении на простые множители больше 1.
Это произведение квадрата и куба.

Мощное число — это положительное целое число m, такое что для любого простого числа p, делящего m , p ² также делит m . Эквивалентно, мощное число — это произведение квадрата и куба , то есть число m вида m = a ² b ³ , где a и b — положительные целые числа. Мощные числа также известны как квадратные , квадратно-полные или 2-полные . Пол Эрдёш и Джордж Секереш изучали такие числа, а Соломон В. Голомб назвал такие числа мощными .

Ниже приведен список всех мощных чисел от 1 до 1000:

1, 4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49, 64, 72, 81, 100, 108, 121, 125, 128, 144, 169, 196, 200, 216, 225, 243, 256, 288, 289, 324, 343, 361, 392, 400, 432, 441, 484, 500, 512, 529, 576, 625, 648, 675, 676, 729, 784, 800, 841, 864, 0, 961, 968, 972, 1000, ... (последовательность A001694 в OEIS ).

Мощные числа до 100 с простыми множителями, обозначенными цветом – 1 является особым случаем

Эквивалентность двух определений

Если m = a ² b ³ , то каждое простое число в разложении числа a появляется в разложении числа m со степенью не менее двух, а каждое простое число в разложении числа b появляется в разложении числа m со степенью не менее трех; следовательно, число m является мощным.

В другом направлении предположим, что m — мощное число с разложением на простые множители

${\displaystyle m=\prod p_{i}^{\alpha _{i}},}$

где каждое α _i ≥ 2. Определим γ _i как три, если α _i нечетно, и ноль в противном случае, и определим β _i = α _i − γ _i . Тогда все значения β _i являются неотрицательными четными целыми числами, а все значения γ _i равны либо нулю, либо трем, поэтому

${\displaystyle m=\left(\prod p_{i}^{\beta _{i}}\right)\left(\prod p_{i}^{\gamma _{i}}\right)=\left(\prod p_{i}^{\beta _{i}/2}\right)^{2}\left(\prod p_{i}^{\gamma _{i}/3}\right)^{3}}$

обеспечивает желаемое представление m как произведения квадрата и куба.

Неформально, учитывая разложение m на простые множители , возьмем b как произведение простых множителей m , которые имеют нечетную степень (если таковых нет, то возьмем b равным 1). Поскольку m мощное число, каждый простой множитель с нечетной степенью имеет степень, которая не меньше 3, поэтому m / b ³ является целым числом. Кроме того, каждый простой множитель m / b ³ имеет четную степень, поэтому m / b ³ является полным квадратом, поэтому назовем это a ² ; тогда m = a ² b ³ . Например:

${\displaystyle m=21600=2^{5}\times 3^{3}\times 5^{2}\,,}$

${\displaystyle b=2\times 3=6\,,}$

${\displaystyle a={\sqrt {\frac {m}{b^{3}}}}={\sqrt {2^{2}\times 5^{2}}}=10\,,}$

${\displaystyle m=a^{2}b^{3}=10^{2}\times 6^{3}\,.}$

Представление m = a ² b ³ , вычисленное таким образом, обладает тем свойством, что b является бесквадратным , и однозначно определяется этим свойством.

Математические свойства

Сумма обратных чисел мощных чисел сходится. Значение этой суммы можно записать несколькими другими способами, в том числе как бесконечное произведение

${\displaystyle \prod _{p}\left(1+{\frac {1}{p(p-1)}}\right)={\frac {\zeta (2)\zeta (3)}{\zeta (6)}}={\frac {315}{2\pi ^{4}}}\zeta (3)=1.9435964368\ldots ,}$

где p пробегает все простые числа, ζ ( s ) обозначает дзета-функцию Римана , а ζ (3) — константа Апери . ^[1] (последовательность A082695 в OEIS ) В более общем смысле сумма обратных величин s -х степеней мощных чисел ( производящая функция ряда Дирихле ) равна

${\displaystyle {\frac {\zeta (2s)\zeta (3s)}{\zeta (6s)}}}$

всякий раз, когда он сходится.

Пусть k ( x ) обозначает число мощных чисел в интервале [1, x ]. Тогда k ( x ) пропорционально квадратному корню из x . Точнее,

${\displaystyle cx^{1/2}-3x^{1/3}\leq k(x)\leq cx^{1/2},c=\zeta (3/2)/\zeta (3)=2.173\ldots }$

(Голомб, 1970).

Два наименьших последовательных мощных числа — это 8 и 9. Поскольку уравнение Пелля x ² − 8 y ² = 1 имеет бесконечно много целых решений, существует бесконечно много пар последовательных мощных чисел (Голомб, 1970); в более общем смысле, можно найти последовательные мощные числа, решив аналогичное уравнение Пелля x ² − ny ² = ±1 для любого совершенного куба n . Однако одно из двух мощных чисел в паре, образованной таким образом, должно быть квадратом. По словам Гая, Эрдёш задался вопросом, существует ли бесконечно много пар последовательных мощных чисел, таких как (23 ³ , 2 ³ 3 ² 13 ² ) , в которых ни одно число в паре не является квадратом. Уокер (1976) показал, что таких пар действительно бесконечно много, показав, что 3 ³ c ² + 1 = 7 ³ d ² имеет бесконечно много решений. Решения Уокера для этого уравнения генерируются для любого нечетного целого числа k путем рассмотрения числа

${\displaystyle (2{\sqrt {7}}+3{\sqrt {3}})^{7k}=a{\sqrt {7}}+b{\sqrt {3}},}$

для целых чисел a, делящихся на 7, и b, делящихся на 3, и построения из a и b последовательных мощных чисел 7 a ² и 3 b ² с 7 a ² = 1 + 3 b ^2. Наименьшая последовательная пара в этом семействе генерируется для k = 1 , a = 2637362 и b = 4028637 как

${\displaystyle 7\cdot 2637362^{2}=2^{2}\cdot 7^{3}\cdot 13^{2}\cdot 43^{2}\cdot 337^{2}=48689748233308}$

и

${\displaystyle 3\cdot 4028637^{2}=3^{3}\cdot 139^{2}\cdot 9661^{2}=48689748233307.}$

Нерешенная задача по математике :

Могут ли три последовательные цифры иметь силу?

(еще нерешенные проблемы по математике)

Это гипотеза Эрдёша, Моллина и Уолша, что не существует трёх последовательных мощных чисел. Если существует триплет последовательных мощных чисел, то его наименьший член должен быть сравним с 7, 27 или 35 по модулю 36. ^[2]

Если гипотеза abc верна, то существует лишь конечное число наборов из трех последовательных мощных чисел.

Суммы и разности мощных чисел

Любое нечетное число является разностью двух последовательных квадратов: ( k + 1) ² = k ² + 2 k + 1, поэтому ( k + 1) ²  −  k ² = 2 k + 1. Аналогично, любое кратное четырем является разностью квадратов двух чисел, которые отличаются на два: ( k + 2) ²  −  k ² = 4 k + 4. Однако однозначно четное число , то есть число, делящееся на два, но не на четыре, не может быть выражено как разность квадратов. Это мотивирует вопрос определения того, какие однозначно четные числа могут быть выражены как разности мощных чисел. Голомб продемонстрировал некоторые представления этого типа:

2 = 3 ³  − 5 ²

10 = 13 ³  − 3 ⁷

18 знак равно 19 ²  - 7 ³ знак равно 3 ⁵  - 15 ² .

Было высказано предположение, что 6 не может быть представлено таким образом, и Голомб предположил, что существует бесконечно много целых чисел, которые не могут быть представлены как разность двух мощных чисел. Однако Наркевич показал, что 6 может быть представлено таким образом бесконечным количеством способов, например

6 = 5 ⁴ 7 ³  − 463 ² ,

и Макдэниел показал, что каждое целое число имеет бесконечно много таких представлений (Макдэниел, 1982).

Эрдёш предположил, что каждое достаточно большое целое число представляет собой сумму не более трёх мощных чисел; это было доказано Роджером Хит-Брауном (1987).

Обобщение

В более общем смысле мы можем рассматривать целые числа, все простые множители которых имеют показатели степени не менее k . Такое целое число называется k -степенным числом, k -полным числом или k -полным числом.

(2k ^{+1 −}  1) ^k , 2k ⁽ 2k ^{+1 −}  1) ^k , (2k ^{+1 −}  1) ^{k +1}

являются k -степенными числами в арифметической прогрессии . Более того, если a ₁ , a ₂ , ..., a _s являются k -степенными числами в арифметической прогрессии с общей разностью d , то

а ₁ ( а _с + д ) ^к ,  

а ₂ ( а _с  +  д ) ^к , ..., а _с ( а _с  +  д ) ^к , ( а _с  +  д ) ^{к +1}

являются s + 1 k -степенными числами в арифметической прогрессии.

У нас есть тождество, включающее k -степенные числа:

а ^к ( а ^ℓ + ... + 1) ^к + а ^{к + 1} ( а ^ℓ + ... + 1) ^к + ... + а ^{к + ℓ} ( а ^ℓ + ... + 1) ^к = а ^к ( а ^ℓ + ... +1) ^{к +1} .

Это дает бесконечно много l +1-кортежей k -степенных чисел, сумма которых также k -степенна. Нитай показывает, что существует бесконечно много решений x  +  y  =  z в относительно простых 3-степенных числах (Нитай, 1995). Кон строит бесконечное семейство решений x  +  y  =  z в относительно простых некубических 3-степенных числах следующим образом: триплет

X = 9712247684771506604963490444281, Y = 32295800804958334401937923416351, Z = 27474621855216870941749052236511

является решением уравнения 32 X ³ + 49 Y ³ = 81 Z ^3. Мы можем построить другое решение, положив X ′ = X (49 Y ³  + 81 Z ³ ), Y ′ = − Y (32 X ³  + 81 Z ³ ), Z ′ = Z (32 X ³  − 49 Y ³ ) и опустив общий делитель.

Смотрите также

• число Ахилла
• Очень мощное число

Примечания

1. (Голомб, 1970)
2. Бекон, Эдвард (2019). «О последовательных тройках мощных чисел». Журнал бакалавриата Rose-Hulman . 20 (2): 25–27.

Ссылки

• Кон, Дж. Х. Э. (1998). «Гипотеза Эрдёша о 3-степенных числах». Math. Comp . 67 (221): 439–440. doi : 10.1090/S0025-5718-98-00881-3 .
• Эрдеш, Пол и Секерес, Джордж (1934). «Über die Anzahl der Abelschen Gruppen gegebener Ordnung und über ein verwandtes zahlentheoretisches Issue». Акта Литт. наук. Сегед . 7 : 95–102.
• Голомб, Соломон В. (1970). «Мощные числа». American Mathematical Monthly . 77 (8): 848–852. doi :10.2307/2317020. JSTOR  2317020.
• Гай, Ричард К. (2004). Нерешенные проблемы теории чисел (3-е изд.). Springer-Verlag. Раздел B16. ISBN 978-0-387-20860-2.
• Хит-Браун, Роджер (1988). «Тернарные квадратичные формы и суммы трех квадратов полных чисел». Séminaire de Théorie des Nombres, Париж, 1986-7 . Бостон: Birkhäuser. стр. 137–163.
• Хит-Браун, Роджер (1990). «Суммы трех квадратных чисел». Теория чисел, I (Будапешт, 1987) . Colloq. Math. Soc. János Bolyai, № 51. С. 163–171.
• Ивич, Александр (1985). Дзета-функция Римана. Теория дзета-функции Римана с приложениями . Публикация Wiley-Interscience. Нью-Йорк и т. д.: John Wiley & Sons. стр. 33–34, 407–413. ISBN 978-0-471-80634-9. Збл  0556.10026.
• Макдэниел, Уэйн Л. (1982). «Представление каждого целого числа как разности мощных чисел». Fibonacci Quarterly . 20 : 85–87. doi :10.1080/00150517.1982.12430037.
• Нитадж, Абдеррахман (1995). «О гипотезе Эрдёша о 3-степенных числах». Bull. London Math. Soc. 27 (4): 317–318. CiteSeerX  10.1.1.24.563 . doi :10.1112/blms/27.4.317.
• Уокер, Дэвид Т. (1976). «Последовательные целые пары мощных чисел и связанные с ними диофантовы уравнения» (PDF) . The Fibonacci Quarterly . 14 (2): 111–116. doi :10.1080/00150517.1976.12430562. MR  0409348.

Внешние ссылки

• Число, возведенное в степень, в Энциклопедии математики .
• Вайсштейн, Эрик В. "Мощное число". MathWorld .
• Гипотеза abc
• Последовательность OEIS A060355 (Числа n, такие что n и n+1 являются парой последовательных мощных чисел)