Номер Скьюза

Нерешенная задача по математике :

Каково наименьшее число Скьюза?

(еще нерешенные задачи по математике)

Большое число, используемое в теории чисел

В теории чисел число Скьюза — это любое из нескольких больших чисел, использованных южноафриканским математиком Стэнли Скьюзом в качестве верхней границы наименьшего натурального числа , для которого ${\displaystyle x}$

${\displaystyle \pi (x)>\operatorname {li} (x),}$

где π — функция подсчета простых чисел , а li — логарифмическая интегральная функция . Число Скьюза намного больше, но теперь известно, что между ними и рядом есть пересечение . Неизвестно, является ли это самым маленьким пересечением. ${\displaystyle \pi (x)<\operatorname {li} (x)}$ ${\displaystyle \pi (x)>\operatorname {li} (x)}$ ${\displaystyle e^{727.95133}<1.397\times 10^{316}.}$

Числа Скьюза

Дж. Э. Литтлвуд , который был научным руководителем Скьюза , доказал в Литтлвуде (1914), что такое число существует (и, следовательно, первое такое число); и действительно обнаружил, что знак разности меняется бесконечно много раз. Все доступные тогда численные данные, казалось, предполагали, что это число всегда было меньше, чем доказательство Литтлвуда, однако, не выявило конкретного такого числа . ${\displaystyle \pi (x)-\operatorname {li} (x)}$ ${\displaystyle \pi (x)}$ ${\displaystyle \operatorname {li} (x).}$ ${\displaystyle x}$

Скьюс (1933) доказал, что, если предположить, что гипотеза Римана верна, существует число, нарушающее ниже ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \pi (x)<\operatorname {li} (x),}$

${\displaystyle e^{e^{e^{79}}}<10^{10^{10^{34}}}.}$

Не принимая гипотезу Римана, Скьюс (1955) доказал, что существует значение ниже ${\displaystyle x}$

${\displaystyle e^{e^{e^{e^{7.705}}}}<10^{10^{10^{964}}}.}$

Задача Скьюза заключалась в том, чтобы сделать доказательство существования Литтлвуда эффективным : указать конкретную верхнюю границу для первой смены знака. По словам Георга Крайзеля , в то время это не считалось очевидным даже в принципе.

Более поздние оценки

Эти верхние границы с тех пор были значительно уменьшены за счет использования крупномасштабных компьютерных расчетов нулей дзета-функции Римана . Первую оценку фактического значения точки пересечения дал Леман (1966), который показал, что где-то между и существует более чем последовательные целые числа с . Не принимая гипотезу Римана, HJJ te Riele  (1987) доказал верхнюю границу . Более точная оценка была получена Бэйсом и Хадсоном (2000), которые показали, что где-то рядом с этим значением есть, по крайней мере, последовательные целые числа, где . Бэйс и Хадсон обнаружили несколько гораздо меньших значений, близких к ; возможность существования точек пересечения вблизи этих значений, по-видимому, еще не полностью исключена, хотя компьютерные расчеты показывают, что они вряд ли существуют. Чао и Плимен (2010) немного улучшили и скорректировали результат Бэйса и Хадсона. Саутер и Демишель (2010) обнаружили меньший интервал для пересечения, который был немного улучшен Зеговицем (2010). Тот же источник показывает, что существует ряд нарушений, указанных ниже . Это можно свести к предположению гипотезы Римана. Столл и Демишель (2011) дали . ${\displaystyle 1.53\times 10^{1165}}$ ${\displaystyle 1.65\times 10^{1165}}$ ${\displaystyle 10^{500}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \pi (x)>\operatorname {li} (x)}$ ${\displaystyle 7\times 10^{370}}$ ${\displaystyle 1.39822\times 10^{316}}$ ${\displaystyle 10^{153}}$ ${\displaystyle \pi (x)>\operatorname {li} (x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \pi (x)}$ ${\displaystyle \operatorname {li} (x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \pi (x)<\operatorname {li} (x),}$ ${\displaystyle e^{727.9513468}<1.39718\times 10^{316}}$ ${\displaystyle e^{727.9513386}<1.39717\times 10^{316}}$ ${\displaystyle 1.39716\times 10^{316}}$

Строго говоря, Россер и Шенфельд (1962) доказали, что не существует точек пересечения ниже , улучшенных Брентом (1975) до , Котником (2008) до , Платтом и Трудгианом (2014) до , и Бюте (2015) до . ${\displaystyle x=10^{8}}$ ${\displaystyle 8\times 10^{10}}$ ${\displaystyle 10^{14}}$ ${\displaystyle 1.39\times 10^{17}}$ ${\displaystyle 10^{19}}$

Не существует точного значения , которое бы наверняка обладало этим свойством, хотя компьютерные расчеты предполагают некоторые явные числа, которые вполне вероятно удовлетворяют этому свойству. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \pi (x)>\operatorname {li} (x),}$

Хотя естественная плотность целых положительных чисел не существует, Винтнер (1941) показал, что логарифмическая плотность этих целых положительных чисел существует и положительна. Рубинштейн и Сарнак (1994) показали, что эта пропорция составляет около 0,00000026, что удивительно велико, учитывая, как далеко нужно зайти, чтобы найти первый пример. ${\displaystyle \pi (x)>\operatorname {li} (x)}$

Формула Римана

Риман дал явную формулу для , главные члены которой (игнорируя некоторые тонкие вопросы сходимости) ${\displaystyle \pi (x)}$

${\displaystyle \pi (x)=\operatorname {li} (x)-{\tfrac {1}{2}}\operatorname {li} ({\sqrt {x\,}})-\sum _{\rho }\operatorname {li} (x^{\rho })+{\text{smaller terms}}}$

где сумма находится по всем множеству нетривиальных нулей дзета-функции Римана . ${\displaystyle \rho }$

Самый большой член ошибки в приближении (если гипотеза Римана верна) является отрицательным , показывая, что обычно больше, чем . Другие термины, приведенные выше, несколько меньше и, кроме того, имеют тенденцию иметь разные, казалось бы, случайные сложные аргументы , поэтому в большинстве случаев они сокращаются. Однако иногда несколько более крупных из них могут иметь примерно один и тот же сложный аргумент, и в этом случае они будут усиливать друг друга, а не отменять и подавлять термин . ${\displaystyle \pi (x)\approx \operatorname {li} (x)}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\operatorname {li} ({\sqrt {x\,}})}$ ${\displaystyle \operatorname {li} (x)}$ ${\displaystyle \pi (x)}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\operatorname {li} ({\sqrt {x\,}})}$

Причина, по которой число Скьюса так велико, заключается в том, что эти меньшие члены намного меньше , чем главный член ошибки, главным образом потому, что первый комплексный ноль дзета-функции имеет довольно большую мнимую часть , поэтому большое число (несколько сотен) из них должны иметь примерно одинаковые аргументы, чтобы подавить доминирующий термин. Вероятность того, что случайные комплексные числа будут иметь примерно одинаковый аргумент, составляет около 1 в . Это объясняет, почему иногда значение больше, а также почему такое случается редко. Это также показывает, почему поиск мест, где это происходит, зависит от крупномасштабных вычислений миллионов высокоточных нулей дзета-функции Римана. ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle 2^{N}}$ ${\displaystyle \pi (x)}$ ${\displaystyle \operatorname {li} (x),}$

Приведенный выше аргумент не является доказательством, поскольку предполагает, что нули дзета-функции Римана случайны, что неверно. Грубо говоря, доказательство Литтлвуда состоит из аппроксимационной теоремы Дирихле, призванной показать, что иногда многие термины имеют примерно один и тот же аргумент. В случае, если гипотеза Римана неверна, аргументация намного проще, главным образом потому, что члены для нулей, нарушающие гипотезу Римана (с действительной частью больше ⁠ ${\displaystyle \operatorname {li} (x^{\rho })}$1/2⁠ ) в конечном итоге больше, чем . ${\displaystyle \operatorname {li} (x^{1/2})}$

Причина этого термина в том, что, грубо говоря, на самом деле он учитывает степени простых чисел , а не сами простые числа, с весом . Этот термин примерно аналогичен поправке второго порядка, учитывающей квадраты простых чисел. ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\mathrm {li} (x^{1/2})}$ ${\displaystyle \mathrm {li} (x)}$ ${\displaystyle p^{n}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{n}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\mathrm {li} (x^{1/2})}$

Эквивалент для простогок-кортежи

Эквивалентное определение числа Скьюза существует для простых k -кортежей (Тот (2019)). Пусть обозначает простой ( k  + 1)-кортеж, количество простых чисел ниже , все из которых являются простыми, пусть и пусть обозначают его константу Харди – Литтлвуда (см. Первую гипотезу Харди – Литтлвуда ). Тогда первое простое число , которое нарушает неравенство Харди–Литтлвуда для ( k  + 1)-кортежа , т. е. первое простое число такое, что ${\displaystyle P=(p,p+i_{1},p+i_{2},...,p+i_{k})}$ ${\displaystyle \pi _{P}(x)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle p,p+i_{1},p+i_{2},...,p+i_{k}}$ ${\displaystyle \operatorname {li_{P}} (x)=\int _{2}^{x}{\frac {dt}{(\ln t)^{k+1}}}}$ ${\displaystyle C_{P}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle p}$

${\displaystyle \pi _{P}(p)>C_{P}\operatorname {li} _{P}(p),}$

(если такое простое число существует) является числом Скьюса для ${\displaystyle P.}$

В таблице ниже показаны известные на данный момент числа Скьюса для простых k -кортежей:

Число Скьюса (если оно существует) для сексуальных простых чисел до сих пор неизвестно. ${\displaystyle (p,p+6)}$

Также неизвестно, все ли допустимые k -кортежи имеют соответствующее число Скьюса.

Смотрите также

• Теоремы Мертенса § Изменение знака

Рекомендации

• Бэйс, К.; Хадсон, Р.Х. (2000), «Новая оценка наименьшего значения с π ( x ) > li ⁡ ( x ) {\displaystyle \pi (x)>\operatorname {li} (x)} " (PDF) , Математика вычислений , 69 (231): 1285–1296, doi : 10.1090/S0025-5718-99-01104-7 , MR  1752093, Zbl  1042.11001
• Брент, Р.П. (1975), «Неравномерности в распределении простых чисел и простых чисел-близнецов», Mathematics of Computation , 29 (129): 43–56, doi : 10.2307/2005460 , JSTOR  2005460, MR  0369287, Zbl  0295.10002
• Бюте, Ян (2015), Аналитический метод определения ${\displaystyle \psi (x)}$ , arXiv : 1511.02032 , Бибкод : 2015arXiv151102032B
• Чао, Куок Фай; Плимен, Роджер (2010), «Новая граница для наименьшего с », Международный журнал теории чисел , 6 (3): 681–690, arXiv : math/0509312 , doi : 10.1142/S1793042110003125, MR  2652902, Zbl  1215.11084 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \pi (x)>\operatorname {li} (x)}$
• Котник, Т. (2008), «Функция подсчета простых чисел и ее аналитические аппроксимации», « Достижения в области вычислительной математики » , 29 (1): 55–70, doi : 10.1007/s10444-007-9039-2, MR  2420864, ​​S2CID  18991347, Збл  1149.11004
• Леман, Р. Шерман (1966), «О разнице π ( Икс ) - ли ⁡ ( Икс ) {\ displaystyle \ pi (x)-\operatorname {li} (x)}», Acta Arithmetica , 11 : 397– 410, doi : 10.4064/aa-11-4-397-410 , MR  0202686, Збл  0151.04101
• Литтлвуд, Дж. Э. (1914), «Sur la Distribution des nombres premiers», Comptes Rendus , 158 : 1869–1872, JFM  45.0305.01
• Платт, диджей; Трудджиан, Т.С. (2014), При первой смене знака ${\displaystyle \theta (x)-x}$ , arXiv : 1407.1914 , Бибкод : 2014arXiv1407.1914P
• те Риле, HJJ (1987), «О знаке разницы », Mathematics of Computation , 48 (177): 323–328, doi : 10.1090/s0025-5718-1987-0866118-6 , JSTOR  2007893, MR  0866118 ${\displaystyle \pi (x)-\operatorname {li} (x)}$
• Россер, Дж. Б. ; Шенфельд, Л. (1962), «Приблизительные формулы для некоторых функций простых чисел», Illinois Journal of Mathematics , 6 : 64–94, doi : 10.1215/ijm/1255631807 , MR  0137689
• Саутер, Янник; Демишель, Патрик (2010), «Острая область с положительным результатом», Mathematics of Computation , 79 (272): 2395–2405, doi : 10.1090/S0025-5718-10-02351-3 , MR  2684372 ${\displaystyle \pi (x)-\operatorname {li} (x)}$
• Рубинштейн, М.; Сарнак, П. (1994), «Смещение Чебышева», Экспериментальная математика , 3 (3): 173–197, doi : 10.1080/10586458.1994.10504289, MR  1329368
• Скьюс, С. (1933), «О разнице », Журнал Лондонского математического общества , 8 : 277–283, doi : 10.1112/jlms/s1-8.4.277, JFM  59.0370.02, Zbl  0007.34003 ${\displaystyle \pi (x)-\operatorname {li} (x)}$
• Скьюс, С. (1955), «О разнице (II)», Труды Лондонского математического общества , 5 : 48–70, doi : 10.1112/plms/s3-5.1.48, MR  0067145 ${\displaystyle \pi (x)-\operatorname {li} (x)}$
• Столл, Дуглас; Демишель, Патрик (2011), «Влияние комплексных нулей на » , Mathematics of Computation , 80 (276): 2381–2394, doi : 10.1090/S0025-5718-2011-02477-4 , MR  2813366 ${\displaystyle \zeta (s)}$ ${\displaystyle \pi (x)}$ ${\displaystyle x<10^{10^{13}}}$
• Тот, Ласло (2019), «Об асимптотической плотности простых k-кортежей и гипотезе Харди и Литтлвуда» (PDF) , Computational Methods in Science and Technology , 25 (3), doi :10.12921/cmst.2019.0000033, S2CID  203836016.
• Винтнер, А. (1941), «О функции распределения остаточного члена теоремы о простых числах», American Journal of Mathematics , 63 (2): 233–248, doi : 10.2307/2371519, JSTOR  2371519, MR  0004255
• Вольф, Марек (2011), «Число Скьюса для простых чисел-близнецов: подсчет изменений знака π2(x) − C2Li2(x)» (PDF) , Computational Methods in Science and Technology , 17 : 87–92, doi : 10.12921/ cmst.2011.17.01.87-92, S2CID  59578795.
• Зеговиц, Стефани (2010), О положительной области π ( x ) - li ⁡ ( x ) {\displaystyle \pi (x)-\operatorname {li} (x)} (магистры), магистерская диссертация, Манчестерский институт исследований Математические науки, Школа математики, Манчестерский университет

Внешние ссылки

• Демичелс, Патрик. «Функция подсчета простых чисел и связанные с ней темы» (PDF) . Демишель . Архивировано из оригинала (PDF) 8 сентября 2006 г. Проверено 29 сентября 2009 г.
• Азимов, И. (1976). «На вертеле!». О делах больших и малых . Нью-Йорк: Ace Books. ISBN 978-0441610723.