Шестидесятеричная система , также известная как система счисления с основанием 60 , [1] — это система счисления с основанием шестьдесят . Она возникла у древних шумеров в 3-м тысячелетии до нашей эры, была передана древним вавилонянам и до сих пор используется — в измененной форме — для измерения времени , углов и географических координат .
Число 60, высшее высоко составное число , имеет двенадцать делителей , а именно 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 и 60, из которых 2, 3 и 5 являются простыми числами . При таком количестве множителей многие дроби , включающие шестидесятеричные числа, упрощаются. Например, один час можно разделить на равные части по 30 минут, 20 минут, 15 минут, 12 минут, 10 минут, 6 минут, 5 минут, 4 минуты, 3 минуты, 2 минуты и 1 минута. 60 — наименьшее число, которое делится на каждое число от 1 до 6; то есть это наименьшее общее кратное 1, 2, 3, 4, 5 и 6.
В этой статье все шестидесятеричные цифры представлены в виде десятичных чисел, если не указано иное. Например, самая большая шестидесятеричная цифра — «59».
По словам Отто Нойгебауэра , происхождение шестидесятеричной системы не так просто, последовательно или единично во времени, как это часто изображают. На протяжении многих столетий использования, которое продолжается и сегодня для таких специализированных тем, как время, углы и астрономические системы координат, шестидесятеричные обозначения всегда содержали в себе сильный подтекст десятичной записи, например, в том, как пишутся шестидесятеричные цифры. Их использование также всегда включало (и продолжает включать) несоответствия в том, где и как различные основания должны представлять числа даже в пределах одного текста. [2]
Самым мощным стимулом для строгого, полностью самосогласованного использования шестидесятеричной системы всегда были ее математические преимущества для записи и вычисления дробей. В древних текстах это проявляется в том факте, что шестидесятеричная система используется наиболее единообразно и последовательно в математических таблицах данных. [2] Другим практическим фактором, который помог расширить использование шестидесятеричной системы в прошлом, даже если и менее последовательно, чем в математических таблицах, были ее определенные преимущества для торговцев и покупателей для упрощения повседневных финансовых операций, когда они включали торг и раздел больших количеств товаров. В конце 3-го тысячелетия до н. э. шумерские/аккадские единицы веса включали каккару ( талант , приблизительно 30 кг), разделенный на 60 ману ( мина ), который далее подразделялся на 60 шиклу ( шекель ); Потомки этих единиц сохранялись на протяжении тысячелетий, хотя позднее греки изменили это соотношение на более совместимое с основанием 10 соотношение, при котором шекель равен одной пятидесятой мины .
Помимо математических таблиц, несоответствия в том, как числа были представлены в большинстве текстов, распространялись вплоть до самых основных клинописных символов, используемых для представления числовых величин. [2] Например, клинописный символ для 1 был эллипсом, сделанным путем приложения закругленного конца стилуса под углом к глине, в то время как шестидесятеричный символ для 60 был большим овалом или «большой 1». Но в тех же текстах, в которых использовались эти символы, число 10 было представлено в виде круга, сделанного путем применения круглого конца стилуса перпендикулярно глине, а больший круг или «большая 10» использовался для представления 100. Такие многоосновные числовые символы количества могли смешиваться друг с другом и с сокращениями, даже в пределах одного числа. Детали и даже подразумеваемые величины (поскольку ноль не использовался последовательно ) были идиоматичны для конкретных временных периодов, культур и количеств или представленных концепций. Хотя такие контекстно-зависимые представления числовых величин легко критиковать в ретроспективе, в наше время у нас все еще есть десятки регулярно используемых примеров тематически-зависимого смешивания оснований, включая недавнее нововведение добавления десятичных дробей к шестидесятеричным астрономическим координатам. [2]
Шестидесятеричная система, использовавшаяся в древней Месопотамии , не была чисто 60-ричной системой в том смысле, что она не использовала 60 отдельных символов для своих цифр . Вместо этого клинописные цифры использовали десять в качестве подосновы в стиле знаково-значимой нотации : шестидесятеричная цифра состояла из группы узких клиновидных знаков, представляющих единицы до девяти (
,
,
,
, ...,
) и группа широких клиновидных знаков, представляющих до пяти десятков (
,
,
,
,
). Значение цифры представляло собой сумму значений ее составных частей:
Числа больше 59 обозначались несколькими блоками символов этой формы в нотации значений места . Поскольку не было символа для нуля, не всегда сразу очевидно, как следует интерпретировать число, и его истинное значение иногда должно было определяться его контекстом. Например, символы для 1 и 60 идентичны. [3] [4] Более поздние вавилонские тексты использовали заполнитель (
) для представления нуля, но только в средних позициях, а не с правой стороны числа, как в таких числах, как13 200 . [4]
В китайском календаре обычно используется система, в которой дни или годы именуются по позициям в последовательности из десяти стволов и в другой последовательности из 12 ветвей. Один и тот же ствол и ветвь повторяются каждые 60 шагов в этом цикле.
Восьмая книга « Государства » Платона содержит аллегорию брака, сосредоточенную на числе 60 4 =12 960 000 и его делители. Это число имеет особенно простое шестидесятеричное представление 1,0,0,0,0. Более поздние ученые прибегали как к вавилонской математике, так и к теории музыки в попытке объяснить этот отрывок. [5]
Альмагест Птолемея , трактат по математической астрономии, написанный во втором веке нашей эры, использует основание 60 для выражения дробных частей чисел. В частности, его таблица хорд , которая была по сути единственной обширной тригонометрической таблицей на протяжении более чем тысячелетия, имеет дробные части градуса в основании 60 и была практически эквивалентна современной таблице значений функции синуса .
Средневековые астрономы также использовали шестидесятеричные числа для обозначения времени. Аль-Бируни впервые разделил час шестидесятеричным способом на минуты , секунды , терции и четверти в 1000, обсуждая еврейские месяцы. [6] Около 1235 года Иоанн Сакробоско продолжил эту традицию, хотя Нотхафт считал, что Сакробоско был первым, кто сделал это. [7] Парижская версия таблиц Альфонсина (около 1320 года) использовала день в качестве основной единицы времени, записывая кратные и дробные части дня в шестидесятеричной системе счисления. [8]
Шестидесятеричная система счисления продолжала часто использоваться европейскими астрономами для выполнения вычислений вплоть до 1671 года. [9] Например, Йост Бюрги в работе Fundamentum Astronomiae (представленной императору Рудольфу II в 1592 году), его коллега Урсус в работе Fundamentum Astronomicum и, возможно, также Генри Бриггс использовали таблицы умножения, основанные на шестидесятеричной системе, в конце XVI века для вычисления синусов. [10]
В конце XVIII и начале XIX веков было обнаружено, что тамильские астрономы производили астрономические расчеты, считая с помощью раковин, используя смесь десятичных и шестидесятеричных обозначений, разработанных эллинистическими астрономами. [11]
Системы счисления с основанием 60 также использовались в некоторых других культурах, не связанных с шумерами, например, народом экари в Западной Новой Гвинее . [12] [13]
Современное использование шестидесятеричной системы включает измерение углов , географических координат , электронной навигации и времени . [14]
Один час времени делится на 60 минут , а одна минута делится на 60 секунд. Таким образом, измерение времени, такое как 3:23:17 (3 часа, 23 минуты и 17 секунд), можно интерпретировать как целое шестидесятеричное число (без шестидесятеричной точки), то есть 3 × 60 2 + 23 × 60 1 + 17 × 60 0 секунд . Однако каждая из трех шестидесятеричных цифр в этом числе (3, 23 и 17) записана с использованием десятичной системы.
Аналогично, практической единицей измерения угла является градус , которых в окружности 360 (шесть шестидесятых). В градусе 60 угловых минут , а в минуте 60 угловых секунд .
В версии 1.1 [15] формата хранения данных YAML шестидесятеричные числа поддерживаются для простых скаляров и формально указаны как для целых чисел [16], так и для чисел с плавающей точкой. [17] Это привело к путанице, так как, например, некоторые MAC-адреса распознавались как шестидесятеричные и загружались как целые числа, тогда как другие — нет и загружались как строки. В YAML 1.2 поддержка шестидесятеричных чисел была прекращена. [18]
В эллинистических греческих астрономических текстах, таких как труды Птолемея , шестидесятеричные числа записывались с использованием греческих алфавитных цифр , причем каждая шестидесятеричная цифра рассматривалась как отдельное число. Эллинистические астрономы приняли новый символ для нуля,, которая на протяжении столетий трансформировалась в другие формы, включая греческую букву омикрон, ο, обычно означающую 70, но допустимую в шестидесятеричной системе, где максимальное значение в любой позиции равно 59. [19] [20] Греки ограничивали использование шестидесятеричных чисел дробной частью числа. [21]
В средневековых латинских текстах шестидесятеричные числа записывались арабскими цифрами ; различные уровни дробей обозначались minuta (т. е. дробь), minuta secunda , minuta tertia и т. д. К XVII веку стало обычным обозначать целую часть шестидесятеричных чисел надстрочным нулем, а различные дробные части — одним или несколькими знаками ударения. Джон Уоллис в своем труде Mathesis universalis обобщил эту нотацию, включив в нее более высокие кратные 60; приведя в качестве примера число 49‵‵‵‵36‵‵‵25‵‵15‵1°15′2″36‴49⁗ ; где числа слева умножаются на более высокие степени 60, числа справа делятся на степени 60, а число, отмеченное верхним индексом ноль, умножается на 1. [22] Эта нотация приводит к современным знакам для градусов, минут и секунд. Та же самая номенклатура минут и секунд используется также для единиц времени, и современная нотация для времени с часами, минутами и секундами, записанными в десятичной системе и отделенными друг от друга двоеточиями, может быть интерпретирована как форма шестидесятеричной записи.
В некоторых системах использования каждая позиция после шестидесятеричной точки была пронумерована, используя латинские или французские корни: prime или primus , seconde или secundus , tierce , quatre , quinte и т. д. По сей день мы называем вторую часть часа или градуса «секундой». По крайней мере до 18 века, 1/60 секунды назывался «терцией» или «третьей». [23] [24]
В 1930-х годах Отто Нойгебауэр ввел современную систему обозначений для вавилонских и эллинистических чисел, которая заменяет современную десятичную запись от 0 до 59 в каждой позиции, используя точку с запятой (;) для разделения целой и дробной частей числа и запятую (,) для разделения позиций внутри каждой части. [25] Например, средний синодический месяц, используемый как вавилонскими, так и эллинистическими астрономами и до сих пор используемый в еврейском календаре , составляет 29;31,50,8,20 дней. Эта запись используется в этой статье.
В шестидесятеричной системе любая дробь , в которой знаменатель является обычным числом (имеющим только 2, 3 и 5 в своем разложении на простые множители ), может быть выражена точно. [26] Здесь показаны все дроби этого типа, в которых знаменатель меньше или равен 60:
Однако числа, которые не являются регулярными, образуют более сложные повторяющиеся дроби . Например:
Тот факт, что два числа, соседние с числом шестьдесят, 59 и 61, являются простыми числами, означает, что дроби, повторяющиеся с периодом в одну или две шестидесятеричные цифры, могут иметь в качестве знаменателей только правильные числа, кратные 59 или 61, и что другие неправильные числа имеют дроби, повторяющиеся с более длинным периодом.
Представления иррациональных чисел в любой позиционной системе счисления (включая десятичную и шестидесятеричную) не заканчиваются и не повторяются .
Квадратный корень из 2 , длина диагонали единичного квадрата , была приблизительно определена вавилонянами древневавилонского периода ( 1900 г. до н.э. – 1650 г. до н.э. ) как
Потому что √ 2 ≈ 1,414 213 56 ... — иррациональное число , его нельзя точно выразить в шестидесятеричной системе (или вообще в любой целочисленной системе), но его шестидесятеричное разложение начинается с 1;24,51,10,7,46,6,4,44... ( OEIS : A070197 )
Значение числа π , используемое греческим математиком и ученым Птолемеем, было 3;8,30 = 3 + 8/60 + 30/60 2 = 377/120 ≈3,141 666 .... [28] Джамшид аль-Каши , персидский математик XV века , вычислил 2π как шестидесятеричное выражение до его правильного значения, если округлить его до девяти подцифр (таким образом, до 1/60 9 ); его значение для 2 π было 6;16,59,28,1,34,51,46,14,50. [29] [30] Как и √ 2 выше, 2 π является иррациональным числом и не может быть точно выражено в шестидесятеричной системе. Его шестидесятеричное разложение начинается с 6;16,59,28,1,34,51,46,14,49,55,12,35... ( OEIS : A091649 )
но сделал их более удобными для вычислительного использования, применив их не к дню, а к часу, тем самым положив начало использованию часов, минут и секунд, которое по-прежнему преобладает в двадцать первом веке.
из примечательных особенностей Альфонсовых таблиц в их латино-парижском воплощении является строгая «шестидесятеричная система исчисления» всех табличных параметров, поскольку… движения и временные интервалы последовательно разлагались на кратные и дробные числа с основанием 60 и доли дней или градусов.
Наиболее примечательной из них является шестидесятеричная или шестидесятеричная шкала арифметики, часто используемая астрономами, которая выражает все возможные числа, целые или дробные, рациональные или иррациональные, степенями
шестидесяти
и некоторыми числовыми коэффициентами, не превышающими пятидесяти девяти.
