Эйкональное приближение

В теоретической физике эйкональное приближение ( греческое εἰκών означает подобие, значок или изображение) — это аппроксимативный метод, полезный в уравнениях рассеяния волн, которые встречаются в оптике , сейсмологии , квантовой механике , квантовой электродинамике и частичном волновом расширении .

Неофициальное описание

Основное преимущество приближения эйконала состоит в том, что уравнения сводятся к дифференциальному уравнению с одной переменной. Это сведение к одной переменной является результатом аппроксимации прямой линии или аппроксимации эйконала, которая позволяет нам выбрать прямую линию в качестве особого направления.

Связь с приближением ВКБ

Первые шаги в приближении эйконала в квантовой механике очень тесно связаны с приближением ВКБ для одномерных волн. Метод ВКБ, как и приближение эйконала, сводит уравнения к дифференциальному уравнению с одной переменной. Но сложность приближения ВКБ состоит в том, что эта переменная описывается траекторией частицы, которая, вообще говоря, сложна.

Формальное описание

Используя приближение ВКБ, мы можем записать волновую функцию рассеянной системы через действие S :

${\displaystyle \Psi =e^{iS/{\hbar }}}$

Подставляя волновую функцию Ψ в уравнение Шредингера без присутствия магнитного поля, получаем

${\displaystyle -{\frac {{\hbar }^{2}}{2m}}{\nabla }^{2}\Psi =(E-V)\Psi }$

${\displaystyle -{\frac {{\hbar }^{2}}{2m}}{\nabla }^{2}{e^{iS/{\hbar }}}=(E-V)e^{iS/{\hbar }}}$

${\displaystyle {\frac {1}{2m}}{(\nabla S)}^{2}-{\frac {i\hbar }{2m}}{\nabla }^{2}S=E-V}$

Запишем S как степенной ряд по ħ.

${\displaystyle S=S_{0}+{\frac {\hbar }{i}}S_{1}+...}$

Для нулевого порядка:

${\displaystyle {\frac {1}{2m}}{(\nabla S_{0})}^{2}=E-V}$

Если рассматривать одномерный случай, то . ${\displaystyle {\nabla }^{2}\rightarrow {\partial _{z}}^{2}}$

Получаем дифференциальное уравнение с граничным условием :

${\displaystyle {\frac {S(z=z_{0})}{\hbar }}=kz_{0}}$

для , . ${\displaystyle V\rightarrow 0}$ ${\displaystyle z\rightarrow -\infty }$

${\displaystyle {\frac {d}{dz}}{\frac {S_{0}}{\hbar }}={\sqrt {k^{2}-2mV/{\hbar }^{2}}}}$

${\displaystyle {\frac {S_{0}(z)}{\hbar }}=kz-{\frac {m}{{\hbar }^{2}k}}\int _{-\infty }^{z}{Vdz'}}$

Смотрите также

• Уравнение Эйконала
• Принцип соответствия
• Принцип наименьшего действия

Рекомендации

Примечания

• [1] Эйкональное приближение К.В. Шаджеш, факультет физики и астрономии, Университет Оклахомы.

дальнейшее чтение

• Р. Р. Дубей (1995). Сравнение точного решения с приближением Эйконала для упругого рассеяния тяжелых ионов (3-е изд.). НАСА.
• В. Цянь; Х. Наруми; Н. Дайгаку. П. Кенкюдзё (1989). Эйкональное приближение в парциальной версии (3-е изд.). Нагоя.{{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )
• М. Леви; Дж. Сачер (1969). «Эйкональное приближение в квантовой теории поля». Физ. Преподобный . Мэриленд, США. 186 (5): 1656–1670. Бибкод : 1969PhRv..186.1656L. дои : 10.1103/PhysRev.186.1656.
• И. Т. Тодоров (1970). «Квазипотенциальное уравнение, соответствующее релятивистскому приближению эйконала». Физ. Преподобный Д. Нью-Джерси, США. 3 (10): 2351–2356. Бибкод : 1971PhRvD...3.2351T. doi : 10.1103/PhysRevD.3.2351. Архивировано из оригинала 23 февраля 2013 г.
• Д. Р. Харрингтон (1969). «Множественное рассеяние, глауберовское приближение и эйкональное приближение вне оболочки». Физ. Преподобный . Нью-Джерси, США. 184 (5): 1745–1749. Бибкод : 1969PhRv..184.1745H. дои : 10.1103/PhysRev.184.1745.