Теорема Тевенена

Теорема анализа электрических цепей

Рис. 1. Любой черный ящик , содержащий только сопротивления, источники напряжения и источники тока, можно заменить эквивалентной схемой Тевенена , состоящей из последовательно включенного эквивалентного источника напряжения с эквивалентным сопротивлением.

Как первоначально утверждалось только в отношении резистивных цепей постоянного тока, теорема Тевенена утверждает, что «Любая линейная электрическая сеть , содержащая только источники напряжения , источники тока и сопротивления, может быть заменена на клеммах A – B эквивалентной комбинацией источника напряжения V _th в последовательное соединение с сопротивлением R _th ».

• Эквивалентное напряжение Vth — _это напряжение, полученное на клеммах A–B сети при разомкнутых клеммах A–B .
• Эквивалентное сопротивление Rth — _это сопротивление, которое имела бы цепь между клеммами А и В , если бы все идеальные источники напряжения в цепи были заменены коротким замыканием, а все идеальные источники тока — разомкнутой цепью.
• Если клеммы A и B соединены друг с другом, ток, протекающий из _A и B , будет равен. Это означает, что Rth альтернативно может быть рассчитан как _Vth , разделенный на ток короткого замыкания между A и B , когда они соединены вместе. ${\displaystyle {\tfrac {V_{\mathrm {th} }}{R_{\mathrm {th} }}}.}$

С точки зрения теории цепей , эта теорема позволяет свести любую однопортовую сеть к одному источнику напряжения и одному импедансу.

Теорема также применима к цепям переменного тока в частотной области, состоящим из реактивных (индуктивных и емкостных) и резистивных импедансов . Это означает, что теорема применима к переменному току точно так же, как и к постоянному току, за исключением того, что сопротивления обобщаются на импедансы.

Теорема была независимо выведена в 1853 году немецким ученым Германом фон Гельмгольцем и в 1883 году Леоном Шарлем Тевененом (1857–1926), инженером-электриком французской национальной телекоммуникационной организации Postes et Télégraphes . ^{[1] [2] [3] [4] [5] [6] [7]}

Теорема Тевенена и двойственная ей теорема Нортона широко используются для упрощения анализа цепей и для изучения начального состояния схемы и установившегося отклика. ^{[8] [9]} Теорему Тевенена можно использовать для преобразования источников и импедансов любой схемы в эквивалент Тевенена ; использование теоремы может в некоторых случаях быть более удобным, чем использование законов цепи Кирхгофа . ^{[7] [10]}

Доказательство теоремы

Были даны различные доказательства теоремы Тевенена. Возможно, самым простым из них было доказательство из оригинальной статьи Тевенена. ^[3] Это доказательство не только элегантно и легко для понимания, но существует консенсус ^[4] о том, что доказательство Тевенена одновременно правильное и общее в своей применимости. Доказательство выглядит следующим образом:

Рассмотрим активную сеть, содержащую импедансы, источники (постоянного) напряжения и источники (постоянного) тока. Конфигурация сети может быть любой. Доступ к сети обеспечивается парой терминалов. Обозначьте напряжение, измеренное между клеммами, как V _θ , как показано в рамке слева на рисунке 2.

Рис. 2. Рисунок, использованный при доказательстве теоремы Тевенена.

Предположим, что источники напряжения внутри коробки заменены короткими замыканиями, а источники тока – разомкнутыми. Если это сделать, на клеммах не появится напряжение и можно будет измерить полное сопротивление между клеммами. Назовите это сопротивление Z _θ .

Теперь предположим, что к клеммам коробки подключена некоторая линейная сеть, имеющая полное сопротивление Z _e , как показано на рисунке 2а. Мы хотим найти ток I через Z _e . Ответ не очевиден, поскольку после подключения Z _e напряжение на клеммах не будет равно V _{θ .}

Вместо этого мы представляем, что мы присоединяем последовательно с импедансом Z _e источник с электродвижущей силой E , равной V _θ , но направленной против V _θ , как показано на рисунке 2b. Тогда ток через Z _e не будет течь, поскольку E уравновешивает V _θ .

Затем мы вставляем другой источник электродвижущей силы, E ₁ , последовательно с Z _e , где E ₁ имеет ту же величину, что и E , но противоположно по направлению (см. Рисунок 2c). Ток I ₁ можно определить следующим образом: это ток, который возникает в результате действия E ₁ в одиночку, когда все остальные источники (внутри активной сети и внешней сети) установлены на ноль. Следовательно, этот ток

$${\displaystyle I_{1}={\frac {E_{1}}{Z_{e}+Z_{\theta }}}={\frac {V_{\theta }}{Z_{e}+Z_{\theta }}}}$$

потому что Z _e — это импеданс, внешний по отношению к ящику, а Z _θ, смотрящий внутрь ящика, когда его источники равны нулю.

Наконец, отметим, что E и E ₁ можно удалить вместе, не меняя ток, и когда они будут удалены, мы вернемся к рисунку 2а. Следовательно, I ₁ — это ток I , который мы ищем, т.е.

$${\displaystyle I={\frac {V_{\theta }}{Z_{e}+Z_{\theta }}}}$$

тем самым завершая доказательство. На рисунке 2d показана эквивалентная схема Тевенена.

Вычисление эквивалента Тевенена

Эквивалентная схема представляет собой источник напряжения Vth _, включенный последовательно с сопротивлением Rth _.

Эквивалентное напряжение Тевенена Vth _{представляет} собой напряжение холостого хода на выходных клеммах исходной цепи. При расчете напряжения, эквивалентного Тевенену, часто бывает полезен принцип делителя напряжения , объявляя одну клемму V - _{выходом} , а другую - точкой заземления.

Эквивалентное сопротивление Тевенена R _Th — это сопротивление, измеренное в точках A и B , «смотря назад» на цепь. Сопротивление измеряется после замены всех источников напряжения и тока их внутренними сопротивлениями. Это означает, что идеальный источник напряжения заменяется коротким замыканием, а идеальный источник тока заменяется разомкнутой цепью. Затем можно рассчитать сопротивление между клеммами, используя формулы для последовательных и параллельных цепей . Этот метод справедлив только для цепей с независимыми источниками. Если в цепи есть зависимые источники , необходимо использовать другой метод, например, подключить тестовый источник к точкам A и B и вычислить напряжение или ток через тестовый источник.

В качестве мнемоники замены Тевенина для источников напряжения и тока можно запомнить, поскольку значения источников (то есть их напряжение или ток) установлены на ноль. Источник напряжения с нулевым значением создаст разность потенциалов в ноль вольт между своими клеммами, как это произошло бы при идеальном коротком замыкании при соприкосновении двух выводов; поэтому источник заменяется коротким замыканием. Аналогично, источник тока с нулевым значением и разомкнутая цепь пропускают нулевой ток.

Пример

Рис. 3.

1. Оригинальная схема
2. Эквивалентное напряжение
3. Эквивалентное сопротивление
4. Эквивалентная схема

В примере расчет эквивалентного напряжения:

$${\displaystyle {\begin{aligned}V_{\mathrm {Th} }&={R_{2}+R_{3} \over (R_{2}+R_{3})+R_{4}}\cdot V_{\mathrm {1} }\\&={1\,\mathrm {k} \Omega +1\,\mathrm {k} \Omega \over (1\,\mathrm {k} \Omega +1\,\mathrm {k} \Omega )+2\,\mathrm {k} \Omega }\cdot 15\,\mathrm {V} \\&={1 \over 2}\cdot 15\,\mathrm {V} =7.5\,\mathrm {V} \end{aligned}}}$$

R ₁AB , поэтому ток через эту часть не течет, что означает, что ток через R ₁

Расчет эквивалентного сопротивления ( R _x || R _y — общее сопротивление двух параллельных резисторов ):

$${\displaystyle {\begin{aligned}R_{\mathrm {Th} }&=R_{1}+\left[\left(R_{2}+R_{3}\right)\|R_{4}\right]\\&=1\,\mathrm {k} \Omega +\left[\left(1\,\mathrm {k} \Omega +1\,\mathrm {k} \Omega \right)\|2\,\mathrm {k} \Omega \right]\\&=1\,\mathrm {k} \Omega +\left({1 \over (1\,\mathrm {k} \Omega +1\,\mathrm {k} \Omega )}+{1 \over (2\,\mathrm {k} \Omega )}\right)^{-1}=2\,\mathrm {k} \Omega .\end{aligned}}}$$

Преобразование в эквивалент Norton

Рис. 4. Преобразование Нортона-Тевенина

Эквивалентная схема Нортона связана с эквивалентом Тевенена соотношением

$${\displaystyle {\begin{aligned}R_{\mathrm {Th} }&=R_{\mathrm {No} }\!\\V_{\mathrm {Th} }&=I_{\mathrm {No} }R_{\mathrm {No} }\!\\I_{\mathrm {No} }&={\frac {V_{\mathrm {Th} }}{R_{\mathrm {Th} }}}\!\end{aligned}}}$$

Практические ограничения

• Многие схемы линейны только в определенном диапазоне значений, поэтому эквивалент Тевенена действителен только в этом линейном диапазоне.
• Эквивалент Тевенена имеет эквивалентную ВАХ только с точки зрения нагрузки.
• Рассеяние мощности эквивалента Тевенена не обязательно идентично рассеиванию мощности реальной системы. Однако мощность, рассеиваемая внешним резистором между двумя выходными клеммами, одинакова независимо от того, как реализована внутренняя схема.

В трехфазных цепях

В 1933 году А. Т. Старр опубликовал обобщение теоремы Тевенена в статье журнала Institute of Electrical Engineers Journal под названием «Новая теорема для активных сетей» [ ^11] , в которой утверждается, что любая трехполюсная активная линейная сеть может быть заменена трехполюсной активной линейной сетью. источники с соответствующими импедансами, соединенные звездой или треугольником.

Смотрите также

• Теорема о дополнительном элементе
• Теорема о максимальной передаче мощности
• Теорема Миллмана
• Преобразование источника

Рекомендации

1. фон Гельмгольц, Герман (1853). «Ueber einige Gesetze der Vertheilung elektrischer Ströme in körperlichen Leitern mit Anwendung auf die thierisch-elektrischen Versuche» [Некоторые законы распределения электрических токов в проводниках с применением к экспериментам с животным электричеством]. Annalen der Physik und Chemie (на немецком языке). 89 (6): 211–233. Бибкод : 1853AnP...165..211H. дои : 10.1002/andp.18531650603.
2. Тевенен, Леон Шарль (1883). «Распространение закона Ома на сложные электродвижущие цепи». Телеграфные Анналы . 3 ^серия (на французском языке). 10 : 222–224.
3. Тевенен, Леон Шарль (1883). «Sur un nouveau theorème d'électricité dynamique» [О новой теореме динамического электричества]. Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des Sciences (на французском языке). 97 : 159–161.
4. Джонсон, Дон Х. (2003). «Истоки концепции эквивалентной схемы: эквивалент источника напряжения» (PDF) . Труды IEEE . 91 (4): 636–640. doi :10.1109/JPROC.2003.811716. HDL : 1911/19968 .
5. Джонсон, Дон Х. (2003). «Истоки концепции эквивалентной схемы: эквивалент источника тока» (PDF) . Труды IEEE . 91 (5): 817–821. doi :10.1109/JPROC.2003.811795.
6. Бриттен, Джеймс Э. (март 1990 г.). «Теорема Тевенена». IEEE-спектр . 27 (3): 42. дои : 10.1109/6.48845. S2CID  2279777 . Проверено 1 февраля 2013 г.
7. Дорф, Ричард С .; Свобода, Джеймс А. (2010). «Глава 5: Цепные теоремы». Введение в электрические цепи (8-е изд.). Хобокен, Нью-Джерси, США: John Wiley & Sons . стр. 162–207. ISBN 978-0-470-52157-1.
8. Бреннер, Эгон; Джавид, Мансур (1959). «Глава 12: Сетевые функции». Анализ электрических цепей. МакГроу-Хилл . стр. 268–269.
9. Элгерд, Олле Ингемар [на немецком языке] (2007). «Глава 10: Переходные процессы в энергетической системе - явления перенапряжения и симметричный анализ неисправностей». Теория электроэнергетических систем: Введение. Тата МакГроу-Хилл . стр. 402–429. ISBN 978-0-07019230-0.
10. Дуайт, Герберт Бристоль (1949). «Раздел 2: Электрические и магнитные цепи». В Ноултоне, Арчер Э. (ред.). Стандартный справочник для инженеров-электриков (8-е изд.). МакГроу-Хилл . п. 26.
11. Старр, AT (1933). «Новая теорема для активных сетей». Журнал Института инженеров-электриков . 73 (441): 303–308. дои : 10.1049/jiee-1.1933.0129.

дальнейшее чтение

• Веннер, Франк (1926). «Принцип распределения тока в системах линейных проводников». Труды Физического общества . 39 (1). Вашингтон, округ Колумбия: Бюро стандартов : 124–144. Бибкод : 1926PPS....39..124W. дои : 10.1088/0959-5309/39/1/311. hdl : 2027/mdp.39015086551663 . Научная статья S531.
• Фильтры первого порядка: ярлык через эквивалентный источник Тевенена – показано на стр. 4. Упрощение теоремы Тевенена для сложной схемы до фильтра нижних частот первого порядка и соответствующего делителя напряжения , постоянной времени и коэффициента усиления .

Внешние ссылки

• СМИ, связанные с теоремой Тевенена, на Викискладе?