В математике эквивариантность — это форма симметрии функций из одного пространства , обладающих симметрией к другому (например, симметричным пространствам ). Функция называется эквивариантным отображением , если на ее область определения и кодомен действует одна и та же группа симметрии и когда функция коммутирует с действием группы. То есть применение преобразования симметрии и последующее вычисление функции дает тот же результат, что и вычисление функции и последующее применение преобразования.
Эквивариантные карты обобщают концепцию инвариантов — функций, значение которых не меняется при преобразовании симметрии их аргумента. Значение эквивариантного отображения часто (неточно) называют инвариантом.
В статистическом выводе эквивалентность при статистических преобразованиях данных является важным свойством различных методов оценки; подробности см. в инвариантной оценке . В чистой математике эквивариантность является центральным объектом изучения эквивариантной топологии и ее подтем, эквивариантных когомологий и эквивариантной стабильной теории гомотопий .
В геометрии треугольников площадь и периметр треугольника являются инвариантами относительно евклидовых преобразований : перемещение, вращение или отражение треугольника не изменяет его площадь или периметр . Однако центры треугольников, такие как центроид , центр описанной окружности , центр и ортоцентр , не являются инвариантными, поскольку перемещение треугольника также приведет к перемещению его центров. Вместо этого эти центры эквивариантны: применение любого евклидова сравнения (комбинации перемещения и вращения) к треугольнику, а затем построение его центра дает ту же точку, что и сначала построение центра, а затем применение того же сравнения к центру. В более общем смысле, все центры треугольников также эквивариантны относительно преобразований подобия (комбинации перемещения, вращения, отражения и масштабирования) [1] , а центроид эквивариантен относительно аффинных преобразований . [2]
Одна и та же функция может быть инвариантом для одной группы симметрий и эквивариантом для другой группы симметрий. Например, при преобразованиях подобия вместо сравнений площадь и периметр перестают быть инвариантными: масштабирование треугольника также изменяет его площадь и периметр. Однако эти изменения происходят предсказуемым образом: если треугольник масштабируется в s раз , периметр также масштабируется в s , а площадь — в s 2 . Таким образом, функцию, отображающую каждый треугольник в его площадь или периметр, можно рассматривать как эквивариантную для мультипликативного группового действия масштабирующих преобразований над положительными действительными числами.
Другой класс простых примеров связан со статистической оценкой . Среднее значение выборки (набор действительных чисел) обычно используется в качестве центральной тенденции выборки. Он эквивариантен относительно линейных преобразований действительных чисел, поэтому, например, на него не влияет выбор единиц, используемых для представления чисел. Напротив, среднее значение не эквивариантно по отношению к нелинейным преобразованиям, таким как экспоненты.
Медиана выборки эквивариантна для гораздо большей группы преобразований — (строго) монотонных функций действительных чисел. Этот анализ показывает, что медиана более устойчива к определенным видам изменений в наборе данных и что (в отличие от среднего значения) она имеет смысл для порядковых данных . [3]
Понятия инвариантной оценки и эквивариантной оценки использовались для формализации этого стиля анализа.
В теории представлений конечных групп векторное пространство, снабженное группой, действующей линейными преобразованиями пространства, называется линейным представлением группы. Линейное отображение , коммутирующее с действием, называется переплетателем . То есть переплетчик — это просто эквивариантное линейное отображение между двумя представлениями. Альтернативно , переплетчик для представлений группы G над полем K — это то же самое, что гомоморфизм модулей K [ G ] -модулей , где K [ G ] — групповое кольцо группы G. [4]
При некоторых условиях, если X и Y являются неприводимыми представлениями , то переплетатель (кроме нулевого отображения ) существует только в том случае, если два представления эквивалентны (то есть изоморфны как модули ). Тогда этот переплетатель уникален с точностью до мультипликативного множителя (ненулевого скаляра из K ). Эти свойства сохраняются, когда образ K [ G ] является простой алгеброй с центром K (согласно так называемой лемме Шура : см. простой модуль ). Как следствие, в важных случаях построения переплетателя достаточно, чтобы показать, что представления фактически одинаковы. [5]
Эквивариантность можно формализовать , используя понятие G - множества группы G. Это математический объект, состоящий из математического множества S и группового действия (слева) G на S. Если X и Y оба являются G -множествами для одной и той же группы G , то функция f : X → Y называется эквивариантной, если
для всех g ∈ G и всех x в X. [6]
Если одно или оба действия являются правильными, условие эквивалентности можно соответствующим образом модифицировать:
Эквивариантные отображения являются гомоморфизмами в категории G -множеств (при фиксированном G ). [7] Следовательно, они также известны как G -морфизмы , [7] G -отображения , [8] или G -гомоморфизмы . [9] Изоморфизмы G -множеств — это просто биективные эквивариантные отображения. [7]
Условие эквивалентности можно также понимать как следующую коммутативную диаграмму . Обратите внимание, что это обозначает карту, которая принимает элемент и возвращает .
Эквивариантные карты можно легко обобщить на произвольные категории . Каждую группу G можно рассматривать как категорию с одним объектом ( морфизмы в этой категории — это просто элементы G ). Для произвольной категории C представление G в категории C является функтором из G в C. Такой функтор выбирает объект C и подгруппу автоморфизмов этого объекта . Например, G -множество эквивалентно функтору из G в категорию множеств Set , а линейное представление эквивалентно функтору в категорию векторных пространств над полем Vect K .
Учитывая два представления G в C , ρ и σ , эквивариантное отображение между этими представлениями является просто естественным преобразованием ρ в σ. Используя естественные преобразования как морфизмы, можно сформировать категорию всех представлений G в C. Это и есть функторная категория C G .
В качестве другого примера возьмем C = Top , категорию топологических пространств . Представление G в Top — это топологическое пространство , на котором G действует непрерывно . Тогда эквивариантное отображение — это непрерывное отображение f : X → Y между представлениями, которое коммутирует с действием G .
